杜先云 任秋道

【摘要】利用極坐標計算二重積分，解決了一些被積函數(shù)在直角坐標系下不能積分的問題，但是確定積分區(qū)域常常比較復雜或困難.利用圓域參數(shù)方程既解決了一些被積函數(shù)不能積分的問題，又解決了確定積分限的問題，徹底解決了一些函數(shù)的重積分計算問題.

【關鍵詞】極坐標;圓域;重積分

一、圓域的參數(shù)方程

二重積分計算中，常常利用極坐標.

目前在《高等數(shù)學》《數(shù)學分析》教材中，對確定積分區(qū)域的講解很少.當積分區(qū)域為圓域（或部分圓域）時，若極點不是圓心，確定極徑ρ與極角 θ通常比較復雜或困難.例如，對于不過坐標原點的圓周，表示極徑ρ比較復雜;圓心不在坐標軸上，計算極角 θ也比較復雜.于是，我們將極點從直角坐標的原點平移到圓心，產生了圓域的參數(shù)方程（或類似于圓的參數(shù)方程）：

它表示圓心在點（x0，y0）處，半徑為R的圓面.在極坐標系下二重積分的面積元素ρdρd θ來源于圓的扇形面積公式，當然適應于圓域的參數(shù)方程.因此，利用坐標平移及圓域參數(shù)方程既解決了被積函數(shù)不能積分的問題，又解決了確定積分限的問題，最終解決了一些函數(shù)的重積分計算問題.

當積分區(qū)域為橢圓域（或部分橢圓域）時，需要伸縮變換才能確定面積元素.對于橢圓域：

【參考文獻】

[1]同濟大學數(shù)學系. 高等數(shù)學（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]何紅洲. 高等數(shù)學[M].北京：中國水利水電出版社，2014.

[3]陸慶樂，馬知恩. 高等數(shù)學（工專）[M].北京：高等教育出版社，2000.

[4]吳紀桃，漆毅. 高等數(shù)學（工專）[M].北京：北京大學出版社，2006.

[5]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等教育版社，2004.

[6]裴禮文. 數(shù)學分析中的典型問題與方法（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社， 2006.

[7]何紅洲. 高等數(shù)學課后習題詳解及考研題型解析[M].北京：中國水利水電出版社，2014.

[8]杜先云，任秋道.如何利用構造法培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維[J].綿陽師范學院學報（自然科學版），2015（11）：126-130.

[9]杜先云，任秋道，文華燕.條件極值與均值不等式求最值的比較[J].綿陽師范學院學報（自然科學版），2018，37（08）：30-33，46.

[10]林銀河.V-型函數(shù)的周期點[J].四川師范大學學報（自然科學版），2015（04）：518-522.

[11]周世新. 關于函數(shù)極限求法的探討[J]. 呼倫貝爾學院學報，2009（01）：70-72.

[12]杜先云，任秋道，王敏，等.單調有界準則的推廣與級數(shù)∑∞n=1sinm（an+b）nα的斂散性[J].四川理工學院學報，2017，30（03）.

[13]杜先云，任秋道，文華燕.樹的邊帶寬與葉子數(shù)[J].湖北民族學院學報（自然科學版），2016（01）：1-4，19.

[14]杜先云，任秋道.淺談邏輯推理及證明方法[J].數(shù)理化解題研究，2020（18）：1-3.