歐橋

【摘要】本文探究了波利亞解題理論在中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用，介紹了波利亞的“怎樣解題表”，結(jié)合新課標(biāo)淺談波利亞解題表的意義，從波利亞解題四階段出發(fā)分析中學(xué)生解題常見錯(cuò)誤類型，借波利亞解題思想幫助學(xué)生掌握解題的方法，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，讓學(xué)生能夠熟練運(yùn)用波利亞解題理論對(duì)問題進(jìn)行思考從而解答問題.

【關(guān)鍵詞】波利亞解題理論;解題錯(cuò)誤;培養(yǎng)解題能力

1 波利亞的“怎樣解題表”

1.1 波利亞的簡(jiǎn)介

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞是美國科學(xué)院、法國科學(xué)院和匈牙利科學(xué)院的院士.1940年移居美國，并擔(dān)任布朗大學(xué)和斯坦福大學(xué)教授.他長(zhǎng)期從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)有著極深的造詣，其在數(shù)學(xué)教育方面的成就對(duì)我國的數(shù)學(xué)教學(xué)改革及數(shù)學(xué)教師的培養(yǎng)與培訓(xùn)具有重要的指導(dǎo)意義.最著名的作品分別是《怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》《數(shù)學(xué)與猜想》，這些著作被翻譯成各種語言，并且廣泛傳播于各大高校，其中《怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》一書更是被譯成了17種文字，僅平裝本就銷售了一百萬冊(cè)以上.其著作中的“怎樣解題表”以文字的形式揭示了人們?cè)诮獯饐栴}時(shí)的思維形式和思維過程，為解題指明了大概方向，使得解題有法可依.

1.2 新課標(biāo)背景下，“怎樣解題表”的意義

新課標(biāo)提出：學(xué)習(xí)者在獲得知識(shí)技能的過程中，只有親身參與了教師認(rèn)真設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng)，才能在數(shù)學(xué)思考、問題解決和情感態(tài)度這三個(gè)方面得到應(yīng)有的發(fā)展.在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，解題是最主要的活動(dòng)形式之一.教師必須通過解決問題的教學(xué)來讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，并借此培養(yǎng)技能及發(fā)展學(xué)生的智力.波利亞的“怎樣解題表”為我們提供了解決問題的有效途徑.解決問題的本質(zhì)就是不斷改變問題，從而引發(fā)靈感.對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)來說，解題就是要不斷創(chuàng)設(shè)新的問題情境，借用新的情境來激發(fā)學(xué)生的思維，從而進(jìn)一步得到正確的答案.波利亞的解題理論還指明了對(duì)數(shù)學(xué)問題解決活動(dòng)具有重要意義的思維模式，如合理的推理模式、笛卡兒模式、遞歸模式、疊加模式等.教師可以使用“解決方案”中的思想來指導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)有問題轉(zhuǎn)換為類似或更具體的問題，讓學(xué)生自己去探索，充分發(fā)揮他們的主體作用，提高他們解決問題的能力，從而更好地體現(xiàn)新課程理念.

2 從波利亞解題四階段看中學(xué)生解題常見錯(cuò)誤

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)及解題過程中，數(shù)學(xué)自身的性質(zhì)——嚴(yán)謹(jǐn)性、科學(xué)性使學(xué)生在解題過程中都會(huì)或多或少地產(chǎn)生錯(cuò)誤，這是難以避免的，也是情有可原的.因此，對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行系統(tǒng)的分析和研究就變得十分重要且必要，下面筆者將對(duì)實(shí)習(xí)中所帶班級(jí)學(xué)生的作業(yè)中的錯(cuò)誤情況進(jìn)行分析.所給的案例是筆者在麗水市外國語學(xué)校實(shí)習(xí)期間的上課內(nèi)容，兩個(gè)班學(xué)生的作業(yè)都是筆者親自批改的，對(duì)兩個(gè)班學(xué)生的做題情況有大致掌握，對(duì)錯(cuò)誤率最高的一些題目也看了每位學(xué)生的解題過程，并與他們有過交流溝通，對(duì)他們的解題思路與過程有一定的了解.

2.1 理解題目階段

理解題意即了解問題，是解題的基礎(chǔ).學(xué)生在將所給的題目語句轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言上總存在一些困難，有時(shí)容易曲解題意，有時(shí)對(duì)文字較多的題目的處理會(huì)抓不住重點(diǎn)，無法挖掘文字背后的數(shù)學(xué)含義.例如在解答二次函數(shù)問題時(shí)，對(duì)自變量取值范圍的考慮要求學(xué)生不僅要知道數(shù)學(xué)意義上的范圍，還要綜合考慮它所代表的實(shí)際意義.

案例1 拋物線y=2x2-22x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

正確答案是C，易錯(cuò)選項(xiàng)是B.這是一道非常簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)題，在批改作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)班級(jí)里有三位學(xué)生做錯(cuò)了，理由是題目中問的是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，即x軸、y軸，他們卻想當(dāng)然地只算了x軸上的交點(diǎn)而忽視了y軸.在二次函數(shù)專題大多數(shù)討論的都是x軸上的交點(diǎn)，這使得他們對(duì)于坐標(biāo)軸中的x軸更敏感.這種錯(cuò)誤就是沒有審清題目導(dǎo)致的.

2.2 擬訂方案階段

波利亞認(rèn)為在四大步驟的解題全過程中這一步是最重要的也是最困難的，因?yàn)樵谔剿饕坏李}的解題途徑中如果最后證實(shí)這個(gè)方案是錯(cuò)誤的，那么就又要回到這一環(huán)節(jié)重新擬定.在這一階段里學(xué)生對(duì)題目的處理會(huì)出現(xiàn)以下幾種常見錯(cuò)誤：分類不當(dāng)、沒有數(shù)形結(jié)合的觀念、缺乏整體意識(shí)、受思維定式的影響.

案例2 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖1所示，對(duì)稱軸為x=-1，下列四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）.

①4ac-b2<0;

②3b+2c<0;

③4a+c<2b;

④m（am+b）+b

正確答案是①②④.在統(tǒng)計(jì)錯(cuò)題時(shí)發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生無法判定④是否正確，這里重點(diǎn)分析④的判定，首先根據(jù)給出的圖像我們能得到的信息有：a<0，b<0，c>0，經(jīng)過與學(xué)生的交流，筆者發(fā)現(xiàn)他們的疑惑是不能理解m（am+b）+b表示的意思，這里其實(shí)用到的還是數(shù)形結(jié)合思想，我們發(fā)現(xiàn)將x=m代入解析式中會(huì)得到am2+bm+c，將式子變形一下得到m（am+b）+c，這與④中的式子已經(jīng)有很大的相似之處了，將④式左右兩邊同時(shí)加上c，得到等價(jià)不等式m（am+b）+b+c

2.3 執(zhí)行方案階段

在這一階段，有些學(xué)生不能進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，在證明題目時(shí)容易陷入循環(huán)論證的死胡同里，更多的學(xué)生（這里尤指低年級(jí)學(xué)生）容易犯些非智力因素的錯(cuò)誤，比如：計(jì)算粗心，作圖隨意等.在實(shí)習(xí)期間，筆者也在初二班級(jí)旁聽過程中發(fā)現(xiàn)在合并同類項(xiàng)時(shí)總有學(xué)生出現(xiàn)合并錯(cuò)誤，不是次數(shù)出錯(cuò)就是單項(xiàng)式抄寫出錯(cuò).

案例3 若二次函數(shù)y=x2+mx圖像的對(duì)稱軸是直線x=3，則關(guān)于x的方程x2+mx=7的解為（ ）.

A.x1=0，x2=6 B.x1=1，x2=7

C.x1=1，x2=-7

D.x1=-1，x2=7

正確答案是D.這道題是一道基礎(chǔ)題，更多的還是檢驗(yàn)學(xué)生的計(jì)算能力.班級(jí)中有3位學(xué)生錯(cuò)選了C，從選項(xiàng)中看C與D十分相似，這也意味著出題人知道學(xué)生在解題時(shí)會(huì)在某一步驟出錯(cuò)從而得出與正確答案一步之遙的錯(cuò)誤答案.通過詢問學(xué)生得知，他們出錯(cuò)是在將x2+mx=7化成x2+mx-7=0之后，用十字相乘法進(jìn)行因式分解這一步.

2.4 回顧與反思階段

張奠宙教授在《數(shù)學(xué)教育概論》一書中提道：與前兩個(gè)階段相比這一階段是最容易被忽視的階段.大多數(shù)學(xué)生在解題后缺乏檢查的意識(shí)，但是在數(shù)學(xué)的解題過程中，解題者不重視檢驗(yàn)導(dǎo)致的功虧一簣現(xiàn)象時(shí)有發(fā)生，這就告誡我們?yōu)榱吮ＷC解題的正確性，檢驗(yàn)是很重要的.也有學(xué)生不善于回顧檢驗(yàn)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤的，有的時(shí)候由于思維定式的束縛，他們?nèi)匀话凑赵瓉淼慕忸}思路進(jìn)行驗(yàn)證檢查，因此當(dāng)問題出現(xiàn)在方法上而不是在具體運(yùn)算上時(shí)，他們很難察覺出錯(cuò)誤.對(duì)此，在日常教學(xué)中，教師須有意識(shí)地要求學(xué)生養(yǎng)成答完題再去回顧的習(xí)慣，并且要嘗試用多種方法、從多種角度去進(jìn)行檢驗(yàn).回顧是最容易被人們忽視的階段，波利亞將其作為解題的必要環(huán)節(jié)固定下來，是一個(gè)非常有遠(yuǎn)見且正確的做法.回顧反思不僅僅是檢查這道題做對(duì)了沒有，更重要的是學(xué)會(huì)總結(jié)，總結(jié)做題方法、做題思路，在日后的學(xué)習(xí)中是否能用到今日所學(xué)內(nèi)容，又能否將所總結(jié)的結(jié)論推廣到其他類型的問題上，這才是波利亞解題理論第四階段最重要的學(xué)習(xí)目的.

3 波利亞解題思想的反思

波利亞的“怎樣解題表”中的問句、提示語都是一種引導(dǎo)，是用來促發(fā)念頭的.在解題時(shí)最難的往往是對(duì)一道題目毫無思緒不知如何下手.這時(shí)，任何一個(gè)有可能對(duì)解決問題有指引作用的問題都是對(duì)我們有幫助的，它可以引起我們繼續(xù)思考下去的興趣與信心，可以使我們繼續(xù)探索.

波利亞的解題思想為中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)提供了一種理論模式.波利亞的解題思想并不一定很明顯地表現(xiàn)在數(shù)學(xué)教材之中，在大多數(shù)情況下，它是隱含于數(shù)學(xué)知識(shí)和解題過程中的.因此若要以讓學(xué)生更能接受的方式展示出來，則需要教師通過對(duì)教材的鉆研來提煉和概括.

波利亞認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的是“教會(huì)中學(xué)生思考”.教會(huì)他們?nèi)ニ伎季鸵髷?shù)學(xué)教師不能只是簡(jiǎn)單地傳授知識(shí)，還應(yīng)努力培養(yǎng)學(xué)生在更廣的范圍中運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力，培養(yǎng)他們的自主意識(shí).教師應(yīng)該強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)解題的技能技巧、教會(huì)學(xué)生有益的思考方式和理想的思維習(xí)慣.提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力是一項(xiàng)持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)且實(shí)施有難度的工程，這不僅與學(xué)生的知識(shí)背景、智力水平有關(guān)，也與學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法有關(guān)，還與教師的教育思想、教學(xué)能力、教學(xué)方法、知識(shí)水平密切相關(guān).因此每位教師都應(yīng)該學(xué)習(xí)波利亞的解題理論，并在教學(xué)中教會(huì)學(xué)生如何思考問題、解決問題，從而培養(yǎng)他們良好的數(shù)學(xué)思維，提高他們的解題能力.教師對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤要充分發(fā)揮自己的教學(xué)智慧，去挖掘?qū)W生在錯(cuò)誤中體現(xiàn)的問題，因勢(shì)利導(dǎo)，使學(xué)生由失敗走向成功，給予他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，讓其體驗(yàn)和享受成功解題帶來的樂趣，從而愛上解題、愛上數(shù)學(xué).

【參考文獻(xiàn)】

[1]G·波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]丁潔.波利亞“怎樣解題表”在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的應(yīng)用[D].揚(yáng)州：揚(yáng)州大學(xué)，2015.

[4]向正凡.辨析中學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤與培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力的研究[D].長(zhǎng)沙：湖南師范大學(xué)，2006.

[5]梁紅娥.波利亞的數(shù)學(xué)解題思想及其在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[D].呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2005.

[6]井瀾.基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)案例研究[D].延吉：延邊大學(xué)，2018.

[7]朱丹丹.基于波利亞“怎樣解題表”培養(yǎng)初中生解題能力[D].武漢：華中師范大學(xué)，2018.

[8]吳維煊.數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)方法[M].鎮(zhèn)江：江蘇大學(xué)出版社，2008.

[9]任樟輝.數(shù)學(xué)思維理論[M].南寧：廣西教育出版社，2003.

[10]黃常健.運(yùn)用波利亞解題思想上提高思維能力與創(chuàng)新意識(shí)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（17）：65-67.

[11]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2016.

[12]賈娟.波利亞“怎樣解題表”中的元認(rèn)知分析[J].太原大學(xué)教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2009（03）：73-74.

[13]高宇.初中生數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤糾正策略效果研究[D].長(zhǎng)沙：湖南師范大學(xué)，2017.

[14]葉琳.合理利用波利亞解題模型于解題教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（19）：92-94.

[15]朱藝峰.初中生解題錯(cuò)誤歸類及教學(xué)對(duì)策[D].杭州：杭州師范大學(xué)，2012.