趙云平

【摘要】線性子空間直和理論是數(shù)學專業(yè)高等代數(shù)課程的重要內(nèi)容之一，也是難點之一，其中蘊含著線性空間分解思想，其在理論上和實際上有著重要的價值.許多教材對線性子空間直和問題進行了探討，并給出了一些重要結(jié)論，但對于子空間直和等價命題的證明卻不太詳細.本文以線性子空間直和的相關(guān)概念為基礎(chǔ)，敘述了子空間直和的5個等價命題，并證明了這5個命題彼此等價.

【關(guān)鍵詞】線性空間;子空間直和;等價命題;證明

引 言

子空間的直和是子空間和運算的一種特殊情形，是高等代數(shù)課程的重要概念之一，直和的概念強調(diào)首先是和，然后要求滿足每個向量分解是唯一的.對于這種特殊的子空間和運算，用定義證明或檢驗直和問題有時很困難、很抽象，需要更深入地研究它的性質(zhì).本文敘述了線性子空間直和的5個等價命題，先分析各等價命題的含義及相互關(guān)系，再通過循環(huán)論證的方法加以證明.這些命題以不同形式刻畫了子空間直和，為進一步認識和理解子空間直和提供了具體的模式，為高等代數(shù)中一系列重要定理提供了有力依據(jù).學好子空間直和對研究整個子空間及研究整個線性空間的結(jié)構(gòu)起到了非常重要的作用.

一、預(yù)備概念

定義1 數(shù)域K上線性空間V的一個非空子集U若對于V的加法與數(shù)量乘法也構(gòu)成K上的線性空間，則稱U是V的一個線性子空間，簡稱為子空間.

結(jié) 語

至此，子空間直和的5個等價命題得到了證明.這5個命題的描述形式雖然不同，但都刻畫了子空間的直和.這樣我們在解決有關(guān)子空間直和問題時，表述的方式就更加多樣化了，可用等價命題互相代替.事實上，線性子空間的直和可被推廣到有限多個子空間的直和，也可以推廣到無限多個子空間的直和.

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