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        關(guān)于線性子空間直和幾個等價命題的證明

        2021-05-06 13:29:44趙云平
        數(shù)學學習與研究 2021年7期
        關(guān)鍵詞:證明

        趙云平

        【摘要】線性子空間直和理論是數(shù)學專業(yè)高等代數(shù)課程的重要內(nèi)容之一,也是難點之一,其中蘊含著線性空間分解思想,其在理論上和實際上有著重要的價值.許多教材對線性子空間直和問題進行了探討,并給出了一些重要結(jié)論,但對于子空間直和等價命題的證明卻不太詳細.本文以線性子空間直和的相關(guān)概念為基礎(chǔ),敘述了子空間直和的5個等價命題,并證明了這5個命題彼此等價.

        【關(guān)鍵詞】線性空間;子空間直和;等價命題;證明

        引 言

        子空間的直和是子空間和運算的一種特殊情形,是高等代數(shù)課程的重要概念之一,直和的概念強調(diào)首先是和,然后要求滿足每個向量分解是唯一的.對于這種特殊的子空間和運算,用定義證明或檢驗直和問題有時很困難、很抽象,需要更深入地研究它的性質(zhì).本文敘述了線性子空間直和的5個等價命題,先分析各等價命題的含義及相互關(guān)系,再通過循環(huán)論證的方法加以證明.這些命題以不同形式刻畫了子空間直和,為進一步認識和理解子空間直和提供了具體的模式,為高等代數(shù)中一系列重要定理提供了有力依據(jù).學好子空間直和對研究整個子空間及研究整個線性空間的結(jié)構(gòu)起到了非常重要的作用.

        一、預(yù)備概念

        定義1 數(shù)域K上線性空間V的一個非空子集U若對于V的加法與數(shù)量乘法也構(gòu)成K上的線性空間,則稱U是V的一個線性子空間,簡稱為子空間.

        結(jié) 語

        至此,子空間直和的5個等價命題得到了證明.這5個命題的描述形式雖然不同,但都刻畫了子空間的直和.這樣我們在解決有關(guān)子空間直和問題時,表述的方式就更加多樣化了,可用等價命題互相代替.事實上,線性子空間的直和可被推廣到有限多個子空間的直和,也可以推廣到無限多個子空間的直和.

        【參考文獻】

        [1]北京大學數(shù)學系前代數(shù)小組.高等代數(shù)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2015.

        [2]張禾瑞.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2007.

        [3]丘維聲.高等代數(shù)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2016.

        [4]邱森,朱林生.高等代數(shù)探究性課題集[M].武漢:武漢大學出版社,2012.

        [5]姚慕生,吳泉水.高等代數(shù)學[M].上海:復(fù)旦大學出版社,2014.

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