文|方 芳

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版五年級(jí)下冊(cè)第96、97 頁(yè)。

【教學(xué)過(guò)程】

一、確定圓面積的范圍，初步感知極限思想

師：今天我們一起來(lái)研究“圓的面積”，先來(lái)完成一份《學(xué)習(xí)單》，通過(guò)數(shù)和算，你能發(fā)現(xiàn)圓的面積與它的半徑有什么關(guān)系嗎？

生：圓的面積大約是正方形面積的3 倍多。

生：圓的面積大約是r2的3倍多一些。

師：那如果半徑是20 呢？如果這個(gè)圓再大呢？如果這個(gè)圓無(wú)限大呢？

生：圓的面積大約在r2的3倍與4 倍之間。

小結(jié)：看來(lái)這種方法并不能準(zhǔn)確得到圓的面積，只能得到圓面積的范圍。

【設(shè)計(jì)意圖：在探究圓面積的過(guò)程中，首先引領(lǐng)學(xué)生感受圓面積的大小范圍，巧妙地將“圓的面積大約是它半徑平方的幾倍”轉(zhuǎn)化成“圓的面積大約是正方形面積的幾倍”，讓探究更具有可操作性和可視性。借助半徑為4、5、8的三個(gè)圓以及繼續(xù)想象半徑為20 的圓，通過(guò)數(shù)方格的方法，初步感知圓的面積和r2之間是“3倍多一些”的關(guān)系，但這還不是很準(zhǔn)確，因此教學(xué)中為了讓學(xué)生更加清晰地感受到半徑變大后圓的面積與r2的關(guān)系，隨后提出猜想，如果這個(gè)圓無(wú)限大呢？學(xué)生經(jīng)過(guò)思考后提出S=πr2的猜想。這樣的教學(xué)過(guò)程能夠讓學(xué)生初步接觸極限思想，感覺(jué)到無(wú)限大的圓就是一種極限情況，初步感知和體驗(yàn)極限思想的魅力?！?/p>

二、推導(dǎo)圓的面積公式，相機(jī)滲透極限思想

1.實(shí)踐運(yùn)用劉徽割圓術(shù)，探究圓與正多邊形的關(guān)系。

師：同學(xué)們，今天的研究將圍繞歷史上三位著名的數(shù)學(xué)家展開(kāi)。我們先來(lái)聽(tīng)第一則“劉徽與圓面積公式”的故事。公元263年，我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽在為《九章算術(shù)》作注時(shí)，稱(chēng)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣?！蹦銈兟?tīng)過(guò)嗎？

操作一：正向操作，將正方形的紙剪成一個(gè)圓形。

師：你能將正方形的紙剪成一個(gè)最大的圓形嗎？可以怎樣剪？

師：有的同學(xué)是對(duì)折剪一個(gè)半圓，有的同學(xué)對(duì)折兩次再剪，想一想，怎樣剪才能讓展開(kāi)的圖形更接近圓呢？

生：對(duì)折無(wú)數(shù)次。

師：的確，對(duì)折的次數(shù)越多，剪直線(xiàn)段，就越接近圓。如果能將紙片對(duì)折無(wú)數(shù)次，再用剪刀沿直線(xiàn)段剪開(kāi)，就會(huì)得到一個(gè)近似的圓。

幾何畫(huà)板演示正多邊形逼近圓的過(guò)程：

師：通過(guò)剪圓的過(guò)程我們感受到“方中有圓”，這對(duì)求圓的面積有啟發(fā)嗎？

生：可以把圓的面積看成一個(gè)正多邊形的面積。

操作二：反向操作，將圓形的紙剪成正多邊形。

師：現(xiàn)在反過(guò)來(lái)，你能把一張圓形紙片剪成正多邊形嗎？

（學(xué)生操作）

師：通過(guò)操作我們可以發(fā)現(xiàn)，圓對(duì)折的次數(shù)越多，正多邊形和圓面積的差值越小，如果無(wú)限次對(duì)折，那么面積就相等了。

師：現(xiàn)在你們能再說(shuō)說(shuō)數(shù)學(xué)家劉徽所說(shuō)的話(huà)是什么意思嗎？

生：“割之彌細(xì)，所失彌少”就是隨著圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)不斷增加，正多邊形的面積與圓的面積就越來(lái)越接近，當(dāng)邊數(shù)多到不能再加的時(shí)候，圓內(nèi)接正多邊形就與圓一樣了。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)歷兩次操作，探究圓和正多邊形的關(guān)系，利用正多邊形來(lái)不斷逼近圓的面積。兩次操作從圓的外部和內(nèi)部分別逼近圓，也涉及到阿基米德的“雙側(cè)逼近法”。通過(guò)幾何畫(huà)板的直觀(guān)演示和對(duì)劉徽割圓術(shù)的進(jìn)一步理解，讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)家也是利用求圓內(nèi)接正多邊形的面積來(lái)求圓的面積，圓被分割得越細(xì)，正多邊形的面積就越接近圓的面積，在極限狀態(tài)下，正多邊形的面積就等于圓的面積。正是有了兩次實(shí)際操作的經(jīng)歷，學(xué)生對(duì)“割圓術(shù)”的理解不僅僅停留在字面意思，還能在親身親歷中應(yīng)用割圓術(shù)的原理，對(duì)極限思想的運(yùn)用有更深的體會(huì)。】

2.經(jīng)歷開(kāi)普勒分割變形法，轉(zhuǎn)化圖形推導(dǎo)面積公式。

師：剛才數(shù)學(xué)家劉徽的故事告訴我們求圓面積的過(guò)程是把圓轉(zhuǎn)化成正多邊形來(lái)研究的，那怎樣計(jì)算圓的面積呢？我們來(lái)看第二個(gè)數(shù)學(xué)家的故事。17 世紀(jì)，德國(guó)著名天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒在一次喝酒時(shí)發(fā)現(xiàn)酒桶各異，于是開(kāi)始思考葡萄酒桶體積的算法，要解決這個(gè)問(wèn)題，就要先求出圓的面積公式。經(jīng)過(guò)思考，他想出了一種方法，叫做“分割變形法”，即把圓轉(zhuǎn)化成已經(jīng)熟悉的圖形。你們想直接看他的方法還是自己先試一試？

（學(xué)生自主活動(dòng)后匯報(bào)）

方法一：將圓轉(zhuǎn)化成平行四邊形。

生：我把圓平均分成8 份。

生：我平均分成了16 份。

生：我平均分成了32 份，更像長(zhǎng)方形了。

師：當(dāng)我們將圓平均分成8份，通過(guò)分割拼接可以得到這樣的圖形（圖a），當(dāng)圓被平均分成16 份時(shí)，我們可以將其轉(zhuǎn)化成這樣的圖形（圖b），當(dāng)圓被平均分成32 份時(shí)，就轉(zhuǎn)化成這樣（圖c）。仔細(xì)觀(guān)察，你有什么發(fā)現(xiàn)？（轉(zhuǎn)化后的圖形越來(lái)越接近于長(zhǎng)方形，轉(zhuǎn)化前和轉(zhuǎn)化后的圖形的面積相等）

師：如果再繼續(xù)分下去，轉(zhuǎn)化后的圖形會(huì)怎樣變化？面積呢？

師：將這個(gè)圓平均分成無(wú)數(shù)份時(shí)，轉(zhuǎn)化后的圖形就成了（長(zhǎng)方形）。此時(shí)轉(zhuǎn)化前的圖形和轉(zhuǎn)化后的圖形有什么聯(lián)系？（面積不變）求圓的面積就轉(zhuǎn)化成求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積。長(zhǎng)方形的面積怎么算？

生：長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，長(zhǎng)=圓周長(zhǎng)的一半，寬=圓的半徑，所以長(zhǎng)方形面積＝πr×r＝πr2。

師：剛才通過(guò)轉(zhuǎn)化的方法將圓轉(zhuǎn)化成與它等積的我們熟悉的長(zhǎng)方形來(lái)研究，推導(dǎo)出了圓的面積的計(jì)算方法。還有不同方法嗎？

方法二：將圓轉(zhuǎn)化成三角形。

生：正多邊形沿半徑分割出來(lái)的圖形可以看成一個(gè)一個(gè)等腰三角形，我們算出一個(gè)三角形的面積，再乘小三角形的個(gè)數(shù)。具體來(lái)說(shuō)就是小等腰三角形的底＝圓的周長(zhǎng)÷分成的份數(shù)n，它的高相當(dāng)于圓的半徑，所以S＝2πr÷n×r÷2×n＝πr×r＝πr2。

生：也可以轉(zhuǎn)化成三角形或梯形，都需要想象分成無(wú)數(shù)份進(jìn)行計(jì)算。

師：同學(xué)們特別厲害，自己想出了這么多轉(zhuǎn)化計(jì)算的方法，現(xiàn)在我們來(lái)看看開(kāi)普勒的方法。（出示圖，圖略）剛才這位同學(xué)的推導(dǎo)過(guò)程就有數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒的分割變形法的影子，很多同學(xué)都能想到極限的情況下可以把曲線(xiàn)看成直線(xiàn)，化曲為直，你們真了不起！

【設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生推導(dǎo)圓面積的計(jì)算公式時(shí)，開(kāi)普勒的分割變形法也已經(jīng)悄然發(fā)生，學(xué)生在不知不覺(jué)中親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)家的推導(dǎo)方法，體味到成功帶來(lái)的喜悅，也更加真切感受到數(shù)學(xué)的極限思想。數(shù)學(xué)家的方法就是學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想的一個(gè)有力支點(diǎn)，讓學(xué)生借助數(shù)學(xué)家們的探究過(guò)程了解、體會(huì)數(shù)學(xué)中的極限思想和化曲為直的思想。】

3.材料閱讀重溫?cái)?shù)學(xué)經(jīng)典，了解阿基米德同心圓法。

師：最后一起來(lái)看第三位數(shù)學(xué)家阿基米德與圓面積公式的故事。公元前3 世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《圓的度量》中說(shuō)：圓面積等于“一條直角邊長(zhǎng)等于圓半徑，另一條直角邊長(zhǎng)為圓周”的直角三角形面積。他是這樣發(fā)現(xiàn)圓面積計(jì)算公式的，如下圖，將圓從圓心開(kāi)始直到邊緣分成一些細(xì)窄的同心圓環(huán)，并逐一展開(kāi)疊成一個(gè)直角三角形，將圓無(wú)限細(xì)分時(shí)，圓面積與直角三角形面積就近似相等。

師：看完阿基米德的方法，你有什么收獲和感受？

生：我覺(jué)得不一定要拼成一個(gè)直角三角形，擺成等腰三角形也是一樣的道理。

生：阿基米德也要把圓進(jìn)行無(wú)限分割，找到一個(gè)極限狀態(tài)。

生：數(shù)學(xué)家們很厲害，想出了很多不同推導(dǎo)圓面積計(jì)算公式的方法。

【設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)史中，不同的數(shù)學(xué)家不斷創(chuàng)新，創(chuàng)造了很多方法探索圓面積的計(jì)算公式，在學(xué)生已經(jīng)了解不同的圓面積公式推導(dǎo)方法的基礎(chǔ)上，再次提出新的方法，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家們的創(chuàng)新精神，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家們對(duì)知識(shí)孜孜不倦追求的態(tài)度，同時(shí)也對(duì)圓面積計(jì)算公式的認(rèn)識(shí)進(jìn)行升華，進(jìn)一步體會(huì)極限思想?！?/p>

三、回顧探究活動(dòng)過(guò)程，深刻領(lǐng)悟極限思想

師：同學(xué)們今天研究得特別好，學(xué)習(xí)了這么多圓面積推導(dǎo)的方法，個(gè)個(gè)都是小數(shù)學(xué)家。那這么多的方法中你最喜歡哪種方法？為什么？在學(xué)習(xí)中感受到哪些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法和思想？

生：我喜歡轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的方法，我覺(jué)得長(zhǎng)方形的面積很好算，而且和圓的半徑很好關(guān)聯(lián)，計(jì)算方便，感受到了極限的思想方法。

生：我喜歡阿基米德的方法，很有創(chuàng)意，也要想象極限情況。

生：我覺(jué)得看成小三角形算再乘個(gè)數(shù)的方法簡(jiǎn)單，算其中一部分再算整體，算一個(gè)小三角形時(shí)也是按照極限情況算的。

師：的確，這幾位數(shù)學(xué)家和同學(xué)們的方法都蘊(yùn)含了一種重要的數(shù)學(xué)思想——極限思想。下面我們一起來(lái)看兩個(gè)問(wèn)題，看看你能不能解決。

問(wèn)題1：已知一個(gè)圓的周長(zhǎng)是31.4 米，求這個(gè)圓的面積。

問(wèn)題2：將一個(gè)圓沿半徑剪開(kāi)，平均分成若干個(gè)完全相同的小扇形，割拼成近似的長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形和圓相比，說(shuō)法正確的是：A.面積不變，周長(zhǎng)增加；B.面積不變，周長(zhǎng)減少；C.面積不變，周長(zhǎng)不變。

師：課后，給你的爸爸媽媽介紹一下圓面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，也去查一查還有哪些推導(dǎo)圓面積的方法，比如意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里的“棉線(xiàn)法”等等。

【設(shè)計(jì)意圖：課堂小結(jié)和練習(xí)環(huán)節(jié)讓學(xué)生回顧所有的推導(dǎo)過(guò)程，選出自己喜愛(ài)的方法，既是對(duì)計(jì)算方法的鞏固，又是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的再感悟。練習(xí)中仍然選擇經(jīng)典的歷史問(wèn)題，學(xué)生翻譯并解決，感受世界和中華古代文明的博大精深，同時(shí)注意把面積和周長(zhǎng)聯(lián)系在一起，讓學(xué)生利用周長(zhǎng)的一半×半徑的方法解決。最后查閱其他方法的任務(wù)則是引導(dǎo)學(xué)生向數(shù)學(xué)家們學(xué)習(xí)，不要停下研究的腳步，延續(xù)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史的興趣和熱情，延續(xù)對(duì)數(shù)學(xué)極限思想的感悟。】