孟勇

[摘 ?要] 反思是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，高中的知識(shí)點(diǎn)多，題型多變，很多學(xué)生在題海中苦苦作戰(zhàn)卻始終不見成效，不會(huì)反思、提煉、總結(jié)、內(nèi)化是原因之一. 教學(xué)過程中，教師都會(huì)留一些時(shí)間讓學(xué)生整理、歸納，對(duì)于一些學(xué)生而言卻毫無收獲，所以教學(xué)中有必要做一些適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，教學(xué)生如何反思.

[關(guān)鍵詞] 學(xué)習(xí)反思;數(shù)學(xué)教學(xué);解析幾何;反思教學(xué)

筆者在2020年帶的高三班級(jí)為藝術(shù)班，高三上學(xué)期基本沒有上課，下學(xué)期第六周的數(shù)學(xué)檢測(cè)中，解析幾何的解答情況引發(fā)筆者進(jìn)行了思考.

題目再現(xiàn)：高三下學(xué)期第六周周練第18題

原題：如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：+=1經(jīng)過點(diǎn)（b，2e），其中e為橢圓C的離心率.過點(diǎn)T（1，0）作斜率為k（k>0）的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（A在x軸下方）.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）過點(diǎn)O且平行于l的直線交橢圓C于點(diǎn)M，N，求的值;

（3）記直線l與y軸的交點(diǎn)為P，若=，求直線l的斜率k.

1. 解答情況的反饋

本題選自2017屆南京市、鹽城市高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試第18題，屬于常見的直線與橢圓問題. 藝術(shù)班共42位學(xué)生，僅有13位學(xué)生能完成第一問的解答，第二問可以做到韋達(dá)定理;能夠做到第二問的答案、拿到10分的只有一位學(xué)生，但這位學(xué)生的解題過程比較煩瑣，沒有利用韋達(dá)定理整體代入的求值思路，而是用斜率k表示點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入兩點(diǎn)之間的距離公式進(jìn)行計(jì)算，整個(gè)計(jì)算過程相當(dāng)麻煩！萬幸的是“功夫不負(fù)有心人”，這位學(xué)生最后居然算出來了！本題共16分，該班的平均分是4.21分，得分率僅為26.3%.

這道題這么低的得分率，讀者們可能認(rèn)為對(duì)藝術(shù)班的學(xué)生來說是正常的，畢竟他們用于文化學(xué)習(xí)的時(shí)間相對(duì)較少，而且計(jì)算能力又普遍較弱. 但是，此題作為高考數(shù)學(xué)的必考題型，經(jīng)過六周的訓(xùn)練、評(píng)講，仍然只有部分學(xué)生能完成第一問的解答，這不得不讓筆者反思“教”“學(xué)”兩方面是否存在問題.

2. 舊題回顧

以上是六周內(nèi)筆者引導(dǎo)學(xué)生解決過的解析幾何問題，筆者在教學(xué)過程中，對(duì)藝術(shù)班解決解析幾何問題的得分定位是突破10分，在訓(xùn)練、講評(píng)過程中特別注意解題的規(guī)范化，注重“一題多解”，比較解題方法，強(qiáng)化學(xué)生優(yōu)化解題過程的意識(shí). 盡管解決過這么多的直線與橢圓問題，但學(xué)生在考試中仍然是普遍不會(huì)做解析幾何問題的第二問，因此“教”與“學(xué)”兩方面都需要反思.

（1）“教”的方面：教師在講評(píng)過程中易著重講解“如何算”，而忽略“如何分析”. 解析幾何問題的解決過程正是要關(guān)注好這兩個(gè)任務(wù)，才能保證學(xué)生良好的計(jì)算正確率及引發(fā)學(xué)生去思考如何優(yōu)化計(jì)算過程. 對(duì)于計(jì)算能力一般的學(xué)生，一但開始了計(jì)算，一般很少會(huì)有精力再去關(guān)注優(yōu)化的問題，所以教師在解析幾何的突破方面應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重視問題分析過程，通過分析確定好解題路徑. 原題的得分率較低的一個(gè)主要原因，就是學(xué)生對(duì)解題目標(biāo)不清晰，在解答之前沒有一個(gè)明確的解題路徑. 大部分學(xué)生是根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)猜測(cè)需要聯(lián)立方程、利用韋達(dá)定理，但并不清楚這一過程與解答問題之間的聯(lián)系，所以沒有繼續(xù)解答下去的信心和方向，更不要說學(xué)生在解答問題前會(huì)好好思考如何優(yōu)化計(jì)算過程.

（2）“學(xué)”的方面：學(xué)生的課后反思不到位，或者說學(xué)生不會(huì)反思. 筆者所在的學(xué)校比較重視學(xué)生的課后反思，每天都會(huì)有一節(jié)自修課引導(dǎo)學(xué)生自主整理、消化一天所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容. 但從檢測(cè)效果來看，學(xué)生并沒有在已經(jīng)解決過的問題中總結(jié)出實(shí)用的解題經(jīng)驗(yàn)去提升自己的解題能力. 學(xué)生對(duì)解析幾何問題的反思往往被煩瑣的計(jì)算過程所阻礙，即使能順利地自我反思，也往往是模仿教師再去計(jì)算一遍，而不是去思考為什么要這樣計(jì)算，解決過的問題之間的相同點(diǎn)有哪些、不同點(diǎn)有哪些，以及這些不同點(diǎn)在解決策略上有怎樣的區(qū)別.

基于該想法，筆者設(shè)計(jì)了一節(jié)“通過解題路徑的預(yù)設(shè)，確定解析幾何問題的解題目標(biāo)，優(yōu)化計(jì)算過程，增強(qiáng)學(xué)生解題信心”的專題反思課.

教學(xué)過程

展示學(xué)生對(duì)原題的解答過程，問：為什么不再算下去？

答：不知道該怎么算了.

問：前面我們已經(jīng)解決過的問題是如何處理的？

1. 舊題回顧，總結(jié)提升

通過學(xué)案的形式展示最近解決過的一些解析幾何問題（前文已經(jīng)羅列）. 筆者在課堂上留下了一些時(shí)間讓學(xué)生回顧各題的解決方法，并鼓勵(lì)學(xué)生在課堂上說出來，筆者把每道題的解答路徑在黑板上寫了出來.

問：以上問題的解決過程中比較重要的環(huán)節(jié)在哪里？

答：分析環(huán)節(jié)，能得到問題的解決方法.

問：你們的看法跟我一樣，為什么是分析環(huán)節(jié)比較重要呢？

答：通過分析得到解題方法后，計(jì)算就有了明確的目標(biāo).

問：通過對(duì)以上題目的回顧，你們發(fā)現(xiàn)了它們之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)嗎？

答：相同點(diǎn)是它們都是直線與橢圓問題;不同點(diǎn)是有些直線與橢圓已知一個(gè)交點(diǎn)，有些直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)都不確定.

問：那么在處理的過程中有什么不同？

答：一般情況下，已知一個(gè)交點(diǎn)，另一個(gè)交點(diǎn)比較容易求出;而若兩個(gè)交點(diǎn)都不確定，則可以使用韋達(dá)定理得到兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.

本環(huán)節(jié)花了大概25分鐘的時(shí)間，一共分析了6道解析幾何問題常規(guī)的解答思路，并總結(jié)了6道解析幾何問題解法的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)，目的是讓學(xué)生再遇到類似問題時(shí)能找到正確的解答方向.

2. 學(xué)以致用

問：通過以上的回顧小結(jié)，你們能告訴我試卷上這道題應(yīng)該從哪里開始解答嗎？

接下來，只需要在解題路徑的引導(dǎo)下，完成每一步計(jì)算就可以了. 前期的分析直接決定了解析幾何問題的解答成功率.

3. 教學(xué)反思

這是一節(jié)比較特殊的講解解析幾何的專題課，涉及了7道解析幾何問題. 經(jīng)過以上的分析，明確了直線和橢圓聯(lián)立方程的目的，明確了原題的解題路徑，更重要的是借助于直線方程優(yōu)化了計(jì)算過程，同時(shí)增強(qiáng)了學(xué)生的解題信心. 本節(jié)課的主要任務(wù)是克服學(xué)生不敢算的心理，計(jì)算能力的培養(yǎng)不是一兩節(jié)課就可以解決的，需要經(jīng)過一定的獨(dú)立解決解析幾何問題的經(jīng)驗(yàn)積累.

本節(jié)課通過對(duì)考題的講解及對(duì)舊題的回顧、反思、總結(jié)，第一個(gè)目的是讓學(xué)生對(duì)解析幾何中的直線與橢圓問題的解決形成一個(gè)固定的思維模式——先分析后演繹;第二個(gè)目的是通過對(duì)比讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同樣條件下的不同解法. 常見的直線與橢圓問題大致可以分為兩類：一類是直線與橢圓有一個(gè)已知交點(diǎn)，解決方法一般是直接解出另一個(gè)交點(diǎn);另一類是直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)都不確定，解決方法一般是通過韋達(dá)定理構(gòu)造兩根之積、兩根之和，然后用整體代入、設(shè)而不求的方法求解.

結(jié)束語(yǔ)

著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出，“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力”. 他強(qiáng)調(diào)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)、理解和反思的過程，其核心是數(shù)學(xué)過程的再現(xiàn). 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》也提到了“反思與建構(gòu)”及“關(guān)注學(xué)生能否不斷反思自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程”等詞條. 足見反思在學(xué)習(xí)過程中的重要性. 教師在平時(shí)的教學(xué)過程中，除了留足時(shí)間讓學(xué)生反思，還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生該如何反思！這樣的教學(xué)才能起到事半功倍的效果.