侯海全 陳春雨

摘 ? 要：數(shù)學(xué)符號本身并沒有意識，數(shù)學(xué)符號意識特指學(xué)習(xí)者在感知、認識、運用數(shù)學(xué)符號時的一種主動性反應(yīng)，是對符號本身以及符號蘊含的數(shù)學(xué)原理的一個不斷假設(shè)、證明、想象、推理的積極能動的認知過程。每一個數(shù)學(xué)符號都有特定的含義，數(shù)學(xué)符號閱讀，也是一個完整的心理活動過程，是對數(shù)學(xué)符號的感知和認識、對符號表達的抽象了的數(shù)學(xué)內(nèi)容和推理過程的記憶和理解的心理活動。同時，也是一個不斷假設(shè)、證明、想象、推理的積極能動的認知過程，具有邏輯嚴(yán)謹、表達抽象等特點。

關(guān)鍵詞：符號意識 數(shù)學(xué)符號 閱讀能力

數(shù)學(xué)符號是特殊的文字，是一種含義高度概括，形態(tài)高度抽象的科學(xué)語言。我國數(shù)學(xué)史研究者梁宗巨先生曾經(jīng)說過：“一個較復(fù)雜的公式，如果不用符號而用日常語言來敘述，往往十分冗長而且含混不清”[1]。符號語言的使用，使數(shù)學(xué)思維過程表達更加準(zhǔn)確、簡明，更加易于揭示數(shù)學(xué)研究對象的本質(zhì)屬性。例如，愛因斯坦僅僅在幾頁布滿數(shù)學(xué)符號的紙張上就可以把相對論表達得清清楚楚，這足以表明數(shù)學(xué)符號表達嚴(yán)密邏輯的效力。不論是數(shù)理邏輯還是計算邏輯，符號的使用在其中都起到了至關(guān)重要的作用。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，無論是概念、命題學(xué)習(xí)還是問題解決，都涉及用符號表征數(shù)學(xué)對象，并用符號進行運算和推理，得到一般性的結(jié)論。在這個過程中，對于學(xué)習(xí)者來說數(shù)學(xué)符號意識主要的不是潛意識、直覺和感覺，而是一種主動使用符號的心理傾向。符號本身并沒有意識，符號意識特指學(xué)習(xí)者在感知、認識、運用數(shù)學(xué)符號時的一種主動性反應(yīng)，是對符號本身以及符號蘊含的數(shù)學(xué)原理的一個不斷假設(shè)、證明、想象、推理的積極能動的認知過程。[2]

每一個數(shù)學(xué)符號都有特定的含義，數(shù)學(xué)符號閱讀，也是一個完整的心理活動過程，是對數(shù)學(xué)符號的感知和認識、對符號表達的抽象了的數(shù)學(xué)內(nèi)容和推理過程的記憶和理解的心理活動。滲透符號意識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號閱讀能力，可以從以下幾個方面入手。

一、借助發(fā)展歷史理解數(shù)學(xué)符號

數(shù)學(xué)符號不是憑空產(chǎn)生的，每一種數(shù)學(xué)符號幾乎都經(jīng)歷了曲折的發(fā)展史。數(shù)學(xué)符號的簡潔、和諧、藝術(shù)美對于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人是不言而喻的，但是任何一個數(shù)學(xué)符號“看似尋常最奇崛，成如容易卻艱辛”。

即使是直觀感覺最簡單的數(shù)學(xué)符號“0”，也經(jīng)歷了漫長的發(fā)展，0的使用起源于位值制，也因為有0的使用，位值制才得以完善。但是在“上帝創(chuàng)造萬物”的西方世界，傳說第一個使用0的學(xué)者竟被釘在十字架上，罪名是否定了上帝的神力。在歷史上，0的哲學(xué)意義甚至超過了它的數(shù)學(xué)意義，如有“消失了量的靈魂”“無形的有，有形的無”種種說法[3]。恩格斯在《自然辯證法》一書中認為，0比任何一個數(shù)的內(nèi)容都豐富，并且給出了0的精辟定義，人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)教科書也引用了該定義：0既不是正數(shù)又不是負數(shù)。[4]

在我國，數(shù)學(xué)符號的發(fā)展源遠流長，約公元前11世紀(jì)成書的《周易系辭下》中有“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書契”，繩和書契相當(dāng)于今天記數(shù)或者記事的符號?！妒吠ā贩Q“伏羲始畫八卦，造書契，以代結(jié)繩之政”，八卦中爻辭的符號表示方法可能是最早的二進制模型[5]。后來歷經(jīng)3000年的算籌及珠算記數(shù)與運算，我國在算術(shù)領(lǐng)域和代數(shù)領(lǐng)域也長期居于世界領(lǐng)先地位。中國古代數(shù)學(xué)在發(fā)展過程中的一個遺憾是沒有創(chuàng)用先進完整的數(shù)學(xué)符號。直到清末時期，被譽為近代科技翻譯第一人的的李善蘭翻譯《代微積拾級》仍然嚴(yán)守“祖宗家法”，更多的用漢字代替了西算符號。

在數(shù)學(xué)符號發(fā)展的歷史長河中，符號是伴隨著數(shù)學(xué)發(fā)展本身的需要產(chǎn)生的。從第一個自覺使用符號的希臘數(shù)學(xué)家丟番圖，到16世紀(jì)出現(xiàn)真正的代數(shù)符號，現(xiàn)代符號的產(chǎn)生歷經(jīng)了幾千年的探索。一個小小的符號，凝聚了人類智慧的結(jié)晶，在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中，如果學(xué)習(xí)者能夠看到符號，聯(lián)想到歷史，對符號的理解和認識必然有更為深刻的感受。這種感受可能是對符號發(fā)展艱辛歷程的感慨，也可能是對數(shù)學(xué)家追求真理的肅然起敬，更可能是對未來無限發(fā)展的憧憬，人的必備品格、科學(xué)精神可能就在這一次次讀史的過程中得以錘煉。

二、借助特例理解數(shù)學(xué)符號

“舉個例子”不僅是數(shù)學(xué)中特有的語言，也是生活中常見的表達方式。符合存在一個元素，使得該元素在某個集合中的邏輯表述，也就是？堝x∈M，P（x），這里就需要我們舉出恰當(dāng)?shù)睦邮沟眠@個存在量詞命題成立，這種表達方式使抽象的內(nèi)容變得具體生動。

史寧中教授在《數(shù)學(xué)基本思想18講》一書中寫道：“由亞里士多德開創(chuàng)的借助語言的邏輯學(xué)是對人類思維活動的第一次抽象，由布爾開創(chuàng)的借助符號的邏輯學(xué)是在第一次抽象基礎(chǔ)上的第二次抽象”[6]。我們要完全理解這兩次抽象過程，就需要不斷地回到抽象前的具體實例來理解被抽象的對象，進而得到一般性結(jié)論。

例如，學(xué)齡前兒童要掌握1+1=2的抽象含義，往往從一個蘋果加上一個蘋果等于兩個蘋果開始學(xué)習(xí)，我們把蘋果去掉就得到了抽象的一般性符號結(jié)論：1+1=2，蘋果只是個特例，當(dāng)然也可以是芒果、梨子，這些都是舉例子，就是回到抽象前的具體實例來理解符號語言。再如，初中生關(guān)于“三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例”的學(xué)習(xí)，結(jié)合圖形，這個定理也是一種符號表達形式。它是學(xué)習(xí)相似三角形最基本、最重要的基礎(chǔ)知識之一。教材中并沒有證明，只是舉例說明了它的正確性。當(dāng)然這是因為它的證明對于初中生來說是一個難度很大的問題，初中生的基礎(chǔ)知識還不夠，在處理這部分知識時，通過度量和計算，作為一個基本事實呈現(xiàn)出來，不乏“舉例子”的功勞。

三、借助圖形語言理解數(shù)學(xué)符號

我們知道，明確研究對象、確定研究范圍是研究數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)。歐幾里得的《原理》開篇就給出了23個定義，這些定義描述了平面幾何的基本對象，其中包括：點、線、面、角、多邊形、三角形等。而《原理》中又明確規(guī)定點是沒有部分的，即數(shù)學(xué)的點是無大小的，線只有長度沒有寬度，可見這些定義已經(jīng)是高度抽象的了，我們需要用鉛筆、直尺、三角板等畫出可見的定義示意形象，也就是圖形，從而理解這些概念。[7]

希爾伯特認為，歐幾里得關(guān)于點、線、面的定義在數(shù)學(xué)上是不重要的，它們之所以成為討論的中心，是因為公理述說了它們之間的關(guān)系。換句話說，無論把它們稱為點、線、面，還是把它們稱為桌子、椅子、啤酒瓶，最終推理得到的結(jié)論都一樣。希爾伯特想表達的就是研究對象的形式化，也就是可以用符號來表達。在他的《幾何基礎(chǔ)》中對點、線、面的定義開宗明義：設(shè)想有三組不同的對象：第一組的對象叫作點，用A，B，C…表示;第二組的對象叫作直線，用a，b，c…表示;第三組的對象叫作面，用？琢，？茁，？酌…表示。[8]

擺脫研究對象的物理屬性，固然可能更容易得到一般性結(jié)論，但是在研究形式化表達，也就是數(shù)學(xué)符號所表示的含義的時候，學(xué)習(xí)初期仍然離不開對經(jīng)驗直覺的依賴，這就需要我們借助圖形語言來對符號語言進行有效翻譯。比如對于非常重要的絕對值概念，初中生在學(xué)習(xí)時，如何來理解形式化的a的表達，并且能夠有效地把a翻譯成文字語言？我們把數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫作數(shù)a的絕對值。這里就需要借助數(shù)軸這個具體圖形的橋梁功能，在符號語言和文字語言間建立必要聯(lián)系。也就是說，需要學(xué)習(xí)者在數(shù)軸上標(biāo)出具體的數(shù)字所表示的點，如-3、0、5、7等，最終理解表示數(shù)a的點到原點的距離的一種形式化表示方法，即為a。在閱讀一些符號時，借助圖形語言的這種把符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言的功能是顯而易見的，如集合論。集合論公理體系已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其中大量使用了數(shù)學(xué)符號，如∈、∪、∩、？哿、？奐、？勐、？勱等，我們要理解這些符號以及這些符號所組成的運算的含義，可以充分借助Venn圖。

四、小結(jié)

康德認為，人類的一切知識都是直觀開始，進而到概念，以理念結(jié)束。數(shù)學(xué)的抽象是形成概念的必要手段，在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，經(jīng)歷了數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，圖形與圖形關(guān)系的抽象，并且最終得以形式化地表示，也就是所謂的“數(shù)學(xué)符號語言”。“數(shù)學(xué)是上帝用來書寫宇宙的文字”[9]，數(shù)學(xué)符號則是數(shù)學(xué)中特殊的語言，可以更加完善、準(zhǔn)確、明了地表達計算邏輯和數(shù)理邏輯。

參考文獻：

[1]梁宗巨.世界數(shù)學(xué)通史[M].沈陽：遼寧教育出版社，2005：419.

[2]史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：2.

[3]徐品方，張紅.數(shù)學(xué)符號史[M].北京：科學(xué)出版社，2010：8.

[4]恩格斯，列寧，斯大林.馬克思恩格斯選集（第四卷）[M].中共中央編譯局，譯.北京：人民出版社，1995：365.

[5]史寧中.由八卦到六十卦：試論《周易》的邏輯思維[J].哲學(xué)研究，2011（8）：64.

[6]史寧中.數(shù)學(xué)思想18講[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016：167.

[7]歐幾里得.幾何原本[M].蘭紀(jì)正，朱恩寬，譯.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003：21.

[8]希爾伯特.幾何基礎(chǔ)[M].江澤涵，朱鼎勛，譯.北京：科學(xué)出版社，1995：88.

[9]康德.純粹理性批判[M].鄧曉芒，譯.北京：人民出版社，2004：544.

編輯 朱婷婷 ? 校對 王亭亭

3292501908258