李國(guó)良

【摘 要】眾所周知，小學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)是有結(jié)構(gòu)的，學(xué)生的認(rèn)知也是有結(jié)構(gòu)的。教師需要站在學(xué)生的角度幫助其形成知識(shí)“串”，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)整體化，最終使他們得到的不僅是數(shù)學(xué)“知識(shí)鏈”，更多的是數(shù)學(xué)思維與學(xué)習(xí)能力的提升，進(jìn)而掌握數(shù)學(xué)思想與方法。筆者試著通過(guò)對(duì)“集合問(wèn)題”知識(shí)點(diǎn)的分析、學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的調(diào)查來(lái)整體設(shè)計(jì)與架構(gòu)，實(shí)施有結(jié)構(gòu)化的集合問(wèn)題的教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】結(jié)構(gòu)化 集合 思考

結(jié)構(gòu)主義認(rèn)為事物是一個(gè)復(fù)雜的整體，任何一個(gè)組成部分都處于整體的關(guān)系網(wǎng)內(nèi)。怎樣運(yùn)用結(jié)構(gòu)化的思維來(lái)構(gòu)建課堂，發(fā)展學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維能力，筆者對(duì)“集合問(wèn)題”一課進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的教學(xué)嘗試。

一、分析教材內(nèi)容，明確集合問(wèn)題的前世今生

所謂集合就是把指定具有某種性質(zhì)的事物看作一個(gè)整體，每一個(gè)事物稱為集合的元素。集合作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言，能簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，是最基本的思想方法，它在小學(xué)數(shù)學(xué)的四個(gè)領(lǐng)域里均有涉及與運(yùn)用。

1.尋找集合知識(shí)的延伸點(diǎn)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中滲透的集合主要有并集（A∪B）、交集（A∩B）、子集（A∈B）。根據(jù)不同集合中元素的特征把集合之間的關(guān)系表述為并列關(guān)系（無(wú)共同元素）、重疊關(guān)系（有部分共同元素）和包含關(guān)系（一個(gè)集合的元素包含另一個(gè)集合的元素）。

在一年級(jí)新入學(xué)的準(zhǔn)備課中，把3張凳子、4個(gè)垃圾桶用封閉的曲線圍起來(lái)，直觀地表示數(shù)的概念，這是早期集合思想的滲透。教材中第一次出現(xiàn)集合圈是在一年級(jí)下冊(cè)“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元中，要求把12個(gè)數(shù)按照個(gè)位上是5或0分別進(jìn)行分類（如圖1），也就是組成兩個(gè)集合，這兩個(gè)集合是12個(gè)數(shù)集合的子集，這些數(shù)是互斥的，存在著并列關(guān)系。三年級(jí)上冊(cè)“長(zhǎng)方形與正方形”單元，在研究長(zhǎng)方形與正方形的特征后總結(jié)：正方形是特殊的長(zhǎng)方形，用圖表示就是長(zhǎng)方形里包含了正方形（如圖2）。在學(xué)習(xí)“集合”單元知識(shí)后，用集合圈來(lái)表征數(shù)與數(shù)、圖形與圖形等關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)明顯增加，如四邊形的分類，三角形的分類，長(zhǎng)方體、正方體的關(guān)系，公因數(shù)、公倍數(shù)，角的分類，數(shù)的分類，等等。其中四邊形的分類較為復(fù)雜（如圖3），平行四邊形和梯形分別是四邊形的子集，長(zhǎng)方形、正方形又是平行四邊形的子集，有包含關(guān)系，平行四邊形與梯形在整個(gè)四邊形集合里沒(méi)有包含關(guān)系，按并列方式存在。

通過(guò)對(duì)教材的簡(jiǎn)單梳理后需思考三個(gè)問(wèn)題：一是在一、二年級(jí)用集合來(lái)表示分類、關(guān)系時(shí)，不存在包含關(guān)系，它們的關(guān)系容易理解，教師可以適當(dāng)?shù)貪B透集合的思想;二是三年級(jí)研究正方形是特殊的長(zhǎng)方形時(shí)，這種關(guān)系理解起來(lái)容易，但學(xué)生無(wú)法用集合圈來(lái)表示它們之間的關(guān)系，其探究過(guò)程比重疊問(wèn)題來(lái)得更難;三是從三年級(jí)的集合問(wèn)題直接過(guò)渡到四年級(jí)的四邊形分類缺少必要的知識(shí)鋪墊，學(xué)生很難真正懂得其中的關(guān)系。因此，在教學(xué)集合問(wèn)題時(shí)有必要對(duì)集合問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)的研究，使集合問(wèn)題在學(xué)生的大腦中建構(gòu)起結(jié)構(gòu)化的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

2.剖析集合單元的知識(shí)點(diǎn)

“集合”作為數(shù)學(xué)廣角單元的唯一知識(shí)點(diǎn)，由1個(gè)例題和8個(gè)習(xí)題組成。例題中呈現(xiàn)了跳繩和踢毽子比賽名單有重復(fù)的統(tǒng)計(jì)表，通過(guò)學(xué)生自主觀察、動(dòng)手表征等方法讓人一眼就看出參加兩項(xiàng)比賽的人數(shù)，發(fā)現(xiàn)用集合圈（維恩圖）的形式最直觀，隨后認(rèn)識(shí)各部分名稱并通過(guò)計(jì)算來(lái)求出人數(shù)。習(xí)題中的7道題目按例題的模型進(jìn)行編排，只是形式上有所變化，但最后一題有明顯的不同（如圖4），出現(xiàn)了包含關(guān)系（子集），解決這一問(wèn)題需要從眾多的信息中提取并甄別來(lái)進(jìn)行集合圈的表示和解答。

筆者認(rèn)為，單元的最后一道練習(xí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣故强尚械?，它可以提升學(xué)生的發(fā)展能力。但這一題目的呈現(xiàn)有兩個(gè)問(wèn)題值得商榷：一是與先前一直用共同的元素來(lái)表征題目的意思并進(jìn)行計(jì)算有明顯的區(qū)別，造成了思維的斷層;二是題目中直接呈現(xiàn)了包含關(guān)系的集合圖，學(xué)生缺少對(duì)知識(shí)的探究過(guò)程，難以理解其本質(zhì)內(nèi)涵。因此，我們覺(jué)得，在新課的研究過(guò)程中結(jié)合交集（有共同元素）的知識(shí)點(diǎn)滲透空集與子集思想，讓學(xué)生完整建構(gòu)起小學(xué)中常見(jiàn)的集合圖，能為后續(xù)學(xué)習(xí)四邊形的分類、數(shù)的分類打下基礎(chǔ)。

二、調(diào)查學(xué)生基礎(chǔ)，把握集合問(wèn)題的認(rèn)知起點(diǎn)

1.調(diào)查方法與對(duì)象

為使調(diào)查具有一定的真實(shí)性與可靠性，筆者采取了無(wú)記名、不暗示的形式進(jìn)行書(shū)面問(wèn)卷調(diào)查，選定了城區(qū)和鎮(zhèn)屬三所學(xué)校各2個(gè)班的學(xué)生，每道題目均在5分鐘內(nèi)完成。

2.調(diào)查內(nèi)容與結(jié)果分析

筆者設(shè)計(jì)了不同維度的3道題目，每一項(xiàng)調(diào)查內(nèi)容由2個(gè)班級(jí)的學(xué)生完成測(cè)試。

調(diào)查一：統(tǒng)計(jì)表轉(zhuǎn)化成維恩圖的能力

出示一張統(tǒng)計(jì)表（如圖5），組織學(xué)生根據(jù)統(tǒng)計(jì)表的信息填入維恩圖中，表示出各部分的名稱，主要是調(diào)查學(xué)生對(duì)維恩圖各部分意義的了解情況。梳理后發(fā)現(xiàn)，完全正確的占63.2%，把6個(gè)學(xué)生名單正確地填入集合圈的占84.1%，其中典型錯(cuò)誤主要是無(wú)法寫(xiě)出只參加跳繩和只參加跑步的兩個(gè)集合的名稱，占了21.0%。

調(diào)查二：對(duì)維恩圖的理解程度

給定維恩圖并標(biāo)注出部分信息（如圖6），讓學(xué)生通過(guò)集合圖說(shuō)出每一部分所表示的意思，主要是了解學(xué)生能否讀懂、理解維恩圖。統(tǒng)計(jì)后發(fā)現(xiàn)，有50.6%的學(xué)生能正確地回答，92.1%的學(xué)生能正確填寫(xiě)跳繩和跑步的人數(shù)，其中有3個(gè)學(xué)生直接寫(xiě)5人和4人，有2個(gè)學(xué)生列出3+2與2+2。但在描述只參加跳繩和只參加跑步的兩個(gè)空格中，錯(cuò)誤率反而高于調(diào)查一，占40.8%。

調(diào)查三：表征維恩圖的水平層次

此問(wèn)卷與調(diào)查一有相似之處，但更加開(kāi)放，結(jié)合教材的內(nèi)容給出統(tǒng)計(jì)表，設(shè)置3道思考性問(wèn)題，主要了解學(xué)生讀取信息的能力和用怎樣的方法來(lái)表征統(tǒng)計(jì)表中信息。（如圖7）

問(wèn)題一：在計(jì)算參加跳繩與跑步的總?cè)藬?shù)中，正確率是64.6%，其中有44.3%的學(xué)生用5+3-2=6人來(lái)計(jì)算，錯(cuò)誤中出現(xiàn)最多的是5+3=8人，占20.3%。

問(wèn)題二： 86.1%的學(xué)生能發(fā)現(xiàn)小明和小麗重復(fù)參加了兩項(xiàng)比賽，其中26.6%的學(xué)生表達(dá)不到位，如：有一些人既跳繩又跑步，有人重復(fù)了，等等;有11.4%的學(xué)生在比較跳繩與跑步之間的人數(shù)差異。

問(wèn)題三：統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)，用維恩圖表示的有49人，占62.0%，其中33人正確，16人錯(cuò)誤，在正確的表征中有6人直接用數(shù)量來(lái)解釋;10人用表格的方式來(lái)解釋題意，占12.7%;在38.0%的錯(cuò)誤中有22.8%的學(xué)生空白或沒(méi)有完成，10.1%的學(xué)生各部分?jǐn)?shù)量表示錯(cuò)誤。

從上述三個(gè)問(wèn)題中，可以發(fā)現(xiàn)：一是約有60%的學(xué)生初步了解并掌握了一些維恩圖的知識(shí)，能正確地把統(tǒng)計(jì)表中的信息轉(zhuǎn)化為維恩圖，并能解釋各部分的意義，說(shuō)明他們已經(jīng)具備了一定的語(yǔ)言轉(zhuǎn)譯能力，讓各部分的概念變得更為直觀與清晰，同時(shí)，也基本具備了對(duì)隱性邏輯關(guān)系顯性化的表達(dá)，初步掌握了參加某項(xiàng)的人數(shù)與只參加一項(xiàng)的人數(shù)和兩項(xiàng)都參加人數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別;二是這3份問(wèn)卷調(diào)查中，不管是哪個(gè)區(qū)域的學(xué)生都有近30%的人數(shù)對(duì)只參加一個(gè)項(xiàng)目的集合意義理解不夠，無(wú)法正確把握哪部分是參加一個(gè)項(xiàng)目，哪部分是只參加一個(gè)項(xiàng)目;三是這3類學(xué)生中，對(duì)交集部分的理解比較到位，明白他們是重復(fù)參加的人員。

筆者認(rèn)為，通過(guò)對(duì)集合問(wèn)題認(rèn)知基礎(chǔ)的調(diào)查給教學(xué)提供了思路：一是可以大膽借助大部分學(xué)生能建構(gòu)起維恩圖的基礎(chǔ)，直接從統(tǒng)計(jì)表過(guò)渡到對(duì)維恩圖的理解;二是在理解維恩圖各部分意義的基礎(chǔ)上，與算式的多樣化進(jìn)行有機(jī)融合;三是拓展對(duì)交集部分（重疊元素）的理解，部分元素重疊，沒(méi)有元素重疊，一個(gè)集合圈內(nèi)的全部元素重疊，架構(gòu)起集合問(wèn)題的結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系。

三、開(kāi)展教學(xué)實(shí)踐，架構(gòu)集合問(wèn)題的整體意識(shí)

根據(jù)對(duì)教材的系統(tǒng)分析和學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的全面調(diào)查，筆者在整體思路的構(gòu)建下開(kāi)展了教學(xué)實(shí)踐與研究。

1.在自主表征中把握維恩圖的本質(zhì)意義

數(shù)學(xué)中的問(wèn)題情境多以文字、表格、圖示等形式呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生從情境中收集、甄別信息，從而處理信息顯得尤為重要。課始，出示兩張統(tǒng)計(jì)表（如表1、表2）并設(shè)問(wèn)：這兩個(gè)班級(jí)分別有多少人參加比賽？通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)班級(jí)有個(gè)顯著區(qū)別：三（2）班有重復(fù)的人數(shù)。接著，組織學(xué)生用自己喜歡的方式來(lái)表征三（2）班參加比賽的情況：有什么好的方法讓別人一眼就能知道三（2）班參加比賽的情況和人數(shù)？根據(jù)學(xué)生的表征情況（如圖8）進(jìn)行討論，分別說(shuō)說(shuō)表示的意思。

生1：小明和小麗分別參加了兩個(gè)項(xiàng)目，寫(xiě)在表格中間，而小張、小紅、小芳只參加了跳繩比賽，小王只參加了跑步比賽，一共有6個(gè)人。

生2：我用兩個(gè)圈來(lái)表示，兩個(gè)人都參加的寫(xiě)在中間，小張、小紅、小芳只參加跳繩的和小王只參加跑步的寫(xiě)在兩邊，一共有6個(gè)人。

隨后，組織討論：哪種方式能比較清楚、直觀地表現(xiàn)三（2）班參加比賽的情況？顯然學(xué)生把目光聚焦到維恩圖上，認(rèn)為這個(gè)圖既方便又簡(jiǎn)潔，還直觀。接著，討論集合圈中每一部分的意義并結(jié)合算式進(jìn)一步鞏固意義，同時(shí)用統(tǒng)計(jì)表中的表述方法與維恩圖進(jìn)行關(guān)聯(lián)，明確它們之間的相同之處。

筆者覺(jué)得，教學(xué)時(shí)從認(rèn)知沖突入手有利于把問(wèn)題集中到重復(fù)部分（共同元素），在充分考慮學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)上，通過(guò)自主表征、討論，歸納出維恩圖能把共同元素清楚地表示出來(lái)，結(jié)合計(jì)算又感受到算式與圖示的另一種表征與轉(zhuǎn)換方式。通過(guò)這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，讓學(xué)生初步體會(huì)到集合的含義及集合的運(yùn)算，學(xué)會(huì)用集合思想方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

2.在合作對(duì)比中建構(gòu)維恩圖的變化情況

在初步了解維恩圖的含義后，要深入掌握集合思想、結(jié)構(gòu)化呈現(xiàn)集合知識(shí)需要更多素材支撐。

接著，出示三（1）班和三（3）班參加比賽情況的統(tǒng)計(jì)表（如表1、表3），組織學(xué)生仔細(xì)觀察并用維恩圖來(lái)表征（男女生分別完成一項(xiàng)），針對(duì)表征情況選擇有代表性的作品（如圖9、圖10）進(jìn)行討論。

師：大家能看懂嗎（圖9、圖10）？為什么這樣來(lái)表示呢？

生3：因?yàn)槿?）班參加跳繩與跑步比賽的人沒(méi)有重復(fù)，所以重復(fù)部分是0人，跳繩比賽有4人參加，跑步比賽有3人參加，一共7人參加。

生4：三（1）班參加跑步與跳繩比賽的人沒(méi)有重復(fù)，他們之間沒(méi)有關(guān)系，可以分成兩個(gè)集合，一個(gè)是跳繩比賽的集合，一個(gè)是跑步比賽的結(jié)合，一共7人參加。

師：這兩種表示方式有聯(lián)系嗎？

生5：有聯(lián)系的，因?yàn)榈谝环N表示方法沒(méi)有重復(fù)的是0個(gè)，而第二種表示方法沒(méi)有重復(fù)的也是0個(gè)。

生6：這兩種方法都表示參加跳繩和跑步比賽的人沒(méi)有重復(fù)。

師（小結(jié)）：把第一種表示方法中重復(fù)部分0人慢慢擦去，就變成了第二種表示方法，這兩種表示方法的意思是相通的，都沒(méi)有重復(fù)部分，卻是不同的表征方式。

師：三（3）班這樣的表示方法（如圖11、圖12），能看懂嗎？它們分別表示什么意思？

生7：參加跑步的3個(gè)人都參加了跳繩比賽，只參加跑步的人沒(méi)有，就是0。

生8：參加跳繩比賽的人包含了參加跑步的3人，而小海和小陳只參加了跳繩比賽。

師：看著這個(gè)圖（如圖12），你想到了什么？

生9：想到了長(zhǎng)方形與正方形的關(guān)系，正方形是特殊的長(zhǎng)方形。

師：那這個(gè)特殊在哪里呢？

生10：小萍、小鐘、小高是特殊的，他們既參加了跳繩又參加了跑步比賽，沒(méi)有人只參加跑步的。

……

隨后，組織學(xué)生研究圖8、圖9、圖10、圖11、圖12的聯(lián)系和區(qū)別。經(jīng)過(guò)討論，大家一致認(rèn)為參加跳繩和跑步的人數(shù)都可以用集合圖來(lái)表示，但集合圈因重疊部分的數(shù)量和參加項(xiàng)目的不同，它們表征的形式有所差異，關(guān)系也不一樣。

筆者認(rèn)為，在理解維恩圖各部分名稱、意義的基礎(chǔ)上，運(yùn)用共同元素的變化情況，把小學(xué)所涉及的集合知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整體的滲透，不僅拓展了集合的意義，使學(xué)生感悟到集合元素的互異性和無(wú)序性，而且使集合的知識(shí)呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)化，從并列關(guān)系到重疊關(guān)系再到包含關(guān)系，讓學(xué)生在大腦中完整地建構(gòu)起三個(gè)集合圖，能為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

3.在前后聯(lián)系中認(rèn)識(shí)集合圖的廣泛應(yīng)用

眾所周知，一、二年級(jí)一直滲透著集合思想，教學(xué)時(shí)呈現(xiàn)已涉及集合知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容，可調(diào)動(dòng)學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，幫助其加深對(duì)集合意義的理解。

教學(xué)最后，出示教材中的兩個(gè)重疊問(wèn)題，組織學(xué)生用集合圖來(lái)表征，討論每部分所表示的意義及數(shù)量，并思考與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系。我們認(rèn)為，學(xué)生對(duì)集合有了整體的建構(gòu)后，教師需適當(dāng)安排練習(xí)進(jìn)行鞏固，便于正確把握教材的核心思想，這樣的練習(xí)能讓學(xué)生進(jìn)一步明白重復(fù)部分的量就是交集、求總數(shù)就是并集的思想，促使他們向更深層次開(kāi)展學(xué)習(xí)，提升表征知識(shí)和反思思維的能力。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。因此，運(yùn)用結(jié)構(gòu)化的思維對(duì)“集合問(wèn)題”進(jìn)行整體設(shè)計(jì)正是對(duì)這一理念的詮釋，它能讓學(xué)生全方位、多角度、立體化地分析與思考這類問(wèn)題，強(qiáng)化集合中各部分之間的關(guān)系與特定的意義，真正建立起有效的知識(shí)系統(tǒng)。