陳東斌

【摘要】數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)分為三個(gè)層面：數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)、個(gè)體數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和個(gè)體數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。個(gè)體數(shù)學(xué)認(rèn)知存在于學(xué)生個(gè)體的頭腦中，是個(gè)性化的主觀存在，個(gè)體之間的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和水平是有差異的。本文結(jié)合單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的理念，把“思維導(dǎo)圖”作為主要的學(xué)習(xí)手段進(jìn)行課堂實(shí)踐研究，從而讓教師理清數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)，如何讓學(xué)生更好地參與到數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)中，并形成一套學(xué)習(xí)、研究、解決問(wèn)題的模式。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)與代數(shù);思維導(dǎo)圖;認(rèn)知結(jié)構(gòu)

一、案例背景

在以往的課題研究課例展示和街道賽課、高效課堂評(píng)估等活動(dòng)的評(píng)估過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)教師基本都能關(guān)注學(xué)生的學(xué)情，教師對(duì)學(xué)生個(gè)體數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)比較重視，但在具體的教學(xué)實(shí)踐中，往往會(huì)呈現(xiàn)出以下的幾個(gè)問(wèn)題：一是教師憑借經(jīng)驗(yàn)教學(xué)，未能很好地處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系。二是只有教師關(guān)注個(gè)體的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，學(xué)生的參與度不高。三是學(xué)習(xí)單或多或少存在牽著學(xué)生鼻子走的情況，啟發(fā)性和自主性不夠。四是學(xué)生雖有基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，但并沒(méi)建立起一套研究問(wèn)題的方法。

思維導(dǎo)圖是發(fā)散性思維的外部表現(xiàn)。思維導(dǎo)圖總是以一個(gè)中心點(diǎn)開(kāi)始，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)自身都成為一個(gè)子中心或者聯(lián)想點(diǎn)，整個(gè)合起來(lái)以一種無(wú)窮無(wú)盡的分支鏈的形式從中心向四周發(fā)展。筆者認(rèn)為，思維導(dǎo)圖的設(shè)計(jì)為解決上述問(wèn)題提供了方法和手段。

二、主要舉措

數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識(shí)置于整體知識(shí)的體系中，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系。下面以四年級(jí)上冊(cè)第一單元《大數(shù)的認(rèn)識(shí)》為例，就如何解決以上問(wèn)題進(jìn)行闡述。

（一）梳理節(jié)點(diǎn)知識(shí)譜，厘清知識(shí)結(jié)構(gòu)

1.關(guān)于數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)邏輯順序問(wèn)題

大數(shù)的認(rèn)識(shí)，是整數(shù)認(rèn)識(shí)教學(xué)的最后一個(gè)階段，主要教學(xué)億以內(nèi)和億以上數(shù)的認(rèn)識(shí)。教材在呈現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容時(shí)，根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識(shí)積累，采用逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升的原則，體現(xiàn)出明顯的階段性要求。

2.關(guān)于20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)

筆者對(duì)“人教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》（一-六年級(jí)）目錄”（圖1）進(jìn)行了對(duì)比研究，發(fā)現(xiàn)在一年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”之前，在一年級(jí)上冊(cè)已經(jīng)在第三單元、第五單元、第六單元分別對(duì)“1-5的認(rèn)識(shí)和加減法”“6-10的認(rèn)識(shí)和加減法”“11-20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”進(jìn)行了細(xì)化學(xué)習(xí)。

張丹教授把自然數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容分為：對(duì)于10及10以內(nèi)數(shù)的學(xué)習(xí);20及20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí);100及100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí);萬(wàn)以及萬(wàn)以內(nèi)的學(xué)習(xí);多位數(shù)的學(xué)習(xí);進(jìn)而勾勒出學(xué)習(xí)路線：逐一計(jì)數(shù)——群計(jì)數(shù)——初步體會(huì)位值和計(jì)數(shù)單位的十進(jìn)關(guān)系——類比進(jìn)行“數(shù)級(jí)”的擴(kuò)充，再次體會(huì)位值和計(jì)數(shù)單位的十進(jìn)關(guān)系。

基于以上的分析，筆者認(rèn)為，一年級(jí)上冊(cè)對(duì)20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)是數(shù)的認(rèn)識(shí)中不可或缺的重要部分，應(yīng)編入數(shù)的認(rèn)識(shí)知識(shí)譜中。同時(shí)，通過(guò)對(duì)比研究，建議把“數(shù)的認(rèn)識(shí)”分成兩個(gè)部分：整數(shù)認(rèn)識(shí)（黃色部分）、小數(shù)認(rèn)識(shí)（綠色部分）。

3.關(guān)于小數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系

關(guān)于小數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系，王永春教授認(rèn)為三年級(jí)初步認(rèn)識(shí)小數(shù)，是從分母是10的分?jǐn)?shù)引入的，這樣容易造成小數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù)的誤解。實(shí)際上分?jǐn)?shù)等價(jià)于有理數(shù)，小數(shù)等價(jià)于實(shí)數(shù)，分?jǐn)?shù)是小數(shù)的子集。對(duì)此，作者表示贊同，因此建議把“分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)”內(nèi)容歸納入“小數(shù)認(rèn)識(shí)”當(dāng)中。

4.重建“數(shù)的認(rèn)識(shí)”知識(shí)譜

結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)（2011）》學(xué)段目標(biāo)中的各學(xué)段知識(shí)技能目標(biāo)，筆者把“數(shù)的認(rèn)識(shí)”的知識(shí)譜設(shè)計(jì)如下：（圖2）。

整數(shù)認(rèn)識(shí)包括的年級(jí)是一年級(jí)上冊(cè)、一年級(jí)下冊(cè)、二年級(jí)下冊(cè)、四年級(jí)上冊(cè)、六年級(jí)下冊(cè)，特別把一年級(jí)上冊(cè)“20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”和六年級(jí)下冊(cè)第一單元“負(fù)數(shù)”兩部分內(nèi)容編入了整數(shù)認(rèn)識(shí)部分。小數(shù)認(rèn)識(shí)包括的年級(jí)是三年級(jí)上、下冊(cè)、四年級(jí)下冊(cè)、五年級(jí)下冊(cè)以及六年級(jí)上冊(cè)，此次把“百分?jǐn)?shù)（一）”納入這部分認(rèn)識(shí)里。讓學(xué)生經(jīng)歷較長(zhǎng)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，逐步理解和掌握，并構(gòu)建知識(shí)圖譜，最終歸結(jié)在七年級(jí)上冊(cè)“有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的認(rèn)識(shí)”中。

（二）鉤連知識(shí)，建立知識(shí)圖

王永春教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)的思想方法并不是獨(dú)立存在的，而是存在于這些知識(shí)和關(guān)系當(dāng)中。他建議不要把數(shù)學(xué)思想方法獨(dú)立出來(lái)，而應(yīng)該在具體知識(shí)當(dāng)中標(biāo)注思想方法，真正理解每一個(gè)思想方法的應(yīng)用及其價(jià)值。對(duì)于王教授的這個(gè)建議，筆者非常贊同。把數(shù)學(xué)思想方法融入到數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)之中，學(xué)生個(gè)體的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)才能更加豐富，以每堂課為基點(diǎn)，以每課時(shí)的思維導(dǎo)圖為手段，很好地把舊知與新知勾連起來(lái)，把解決問(wèn)題的方法遷移過(guò)來(lái)，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在日常學(xué)習(xí)中一磚一瓦地逐步建構(gòu)起來(lái)，潛移默化，潤(rùn)物無(wú)聲，到單元學(xué)習(xí)結(jié)束的時(shí)候，完整的思維導(dǎo)圖也就形成了，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也得到了更好的同化和順應(yīng)。因此，筆者認(rèn)為，應(yīng)該在單元的知識(shí)圖中結(jié)合新知識(shí)，同時(shí)呈現(xiàn)其相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，見(jiàn)圖3。

億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)中，關(guān)于數(shù)的讀法、寫法、大小比較等，都可以與萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行類比和遷移;億以上數(shù)的認(rèn)知中，數(shù)的讀法、寫法、比較數(shù)的大小，取近似數(shù)等，又可以與億以內(nèi)數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行比較，找出知識(shí)點(diǎn)之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)方法的遷移和歸納。

（三）循序漸進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生制作思維導(dǎo)圖的能力

關(guān)于思維導(dǎo)圖的教學(xué)，王永春教授的建議是：如果我們的時(shí)間允許，每堂課的最后都可以畫思維導(dǎo)圖，而不必等到單元復(fù)習(xí)時(shí)再畫。在具體實(shí)踐教學(xué)中，筆者與王教授不謀而合的是重視思維導(dǎo)圖在日常教學(xué)中的使用，每堂課都使用思維導(dǎo)圖，并把其置于較為重要的地位。不同的是，筆者不但在每堂的最后都指導(dǎo)學(xué)生完善思維導(dǎo)圖，而且努力將思維導(dǎo)圖的設(shè)計(jì)融入到學(xué)生的課前預(yù)習(xí)中。每堂課的預(yù)習(xí)就是由學(xué)生自主設(shè)計(jì)思維導(dǎo)圖，可以畫思維導(dǎo)圖或者畫思維導(dǎo)圖的一部分，課中和課最后，根據(jù)上課的實(shí)際情況，完善思維導(dǎo)圖。然后在相關(guān)的已畫思維導(dǎo)圖的基礎(chǔ)上，連接起最大的思維導(dǎo)圖，每個(gè)單元或者模塊的思維導(dǎo)圖可以學(xué)多少畫多少，每天都在前一天的基礎(chǔ)上增添內(nèi)容。經(jīng)過(guò)這樣的日積月累，到單元或者模塊學(xué)習(xí)結(jié)束時(shí)，完整的思維導(dǎo)圖就基本形成了。最終形成一種以思維導(dǎo)圖為手段的研究問(wèn)題的方法，提高快速解決問(wèn)題的能力，建立一種學(xué)習(xí)的模式。

思維導(dǎo)圖的教學(xué)主要經(jīng)歷了以下幾個(gè)階段：從1.0版本：復(fù)習(xí)總結(jié)模式（2019-2020學(xué)年度，三年級(jí)）：?jiǎn)卧Y(jié)束的時(shí)候進(jìn)行本單元的總結(jié)和分析;2.0版本：新課預(yù)習(xí)模式（2020-2021上學(xué)期，四年級(jí)上冊(cè)），以五種思維導(dǎo)圖（括號(hào)圖、氣泡圖、圓圈圖、魚骨圖、樹(shù)形圖）為基本圖式，以先確定新課“核心內(nèi)容”為中心;3.0版本：新課預(yù)習(xí)模式模塊化（2020-2021下學(xué)期，四年級(jí)下冊(cè)），形成新課預(yù)習(xí)的五個(gè)模塊——核心、舊知識(shí)、新知識(shí)、思想方法、學(xué)習(xí)方法。

三、取得的成效

經(jīng)過(guò)兩年的實(shí)踐研究，教師和學(xué)生對(duì)知識(shí)建構(gòu)能力都得到了很大的培養(yǎng)和提升，如下圖所示：

（一）思維導(dǎo)圖有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維，穩(wěn)步提升成績(jī)

教師越以整合、發(fā)散性的、有組織的方式學(xué)習(xí)和收集數(shù)據(jù)，學(xué)生越容易學(xué)得好。思維導(dǎo)圖的設(shè)計(jì)會(huì)自主激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，因而使它們更易于為學(xué)生所接受，因?yàn)樗季S導(dǎo)圖只把相關(guān)材料以非常清晰和容易記憶的形式記下來(lái)，因此，學(xué)生就會(huì)在考試中獲取更好的成績(jī)。實(shí)踐證明，思維導(dǎo)圖的應(yīng)用，對(duì)學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)的提高是有幫助的。如下表所示（表1）：

對(duì)同一批實(shí)驗(yàn)學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)跟蹤，將兩個(gè)學(xué)期進(jìn)行縱向?qū)Ρ龋l(fā)現(xiàn)學(xué)生的優(yōu)秀率上升了6.8%，特優(yōu)率上升了8.2%，總率上升了4.4%，課堂實(shí)踐是卓有成效的。

（二）思維導(dǎo)圖有利于學(xué)生形成預(yù)習(xí)的習(xí)慣

用思維導(dǎo)圖進(jìn)行預(yù)習(xí)，注重以學(xué)生自主學(xué)習(xí)為主，增強(qiáng)了啟發(fā)性和自主性。學(xué)生不但獲得了基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而且很好地形成預(yù)習(xí)的習(xí)慣。

以四年級(jí)上冊(cè)第一單元《大數(shù)的認(rèn)識(shí)》為例：

從以上《大數(shù)的認(rèn)識(shí)》的5個(gè)課時(shí)的預(yù)習(xí)內(nèi)容來(lái)看，學(xué)生已經(jīng)能熟練地運(yùn)用括號(hào)圖、氣泡圖、總分圖等思維導(dǎo)圖的基本模式進(jìn)行新課的預(yù)習(xí)。首先是確定新課的核心內(nèi)容，而后是有版塊、有層次、有章法地進(jìn)行有效預(yù)習(xí)。如，《數(shù)的產(chǎn)生和十進(jìn)制計(jì)數(shù)法》，從方法、基本概念、注意事項(xiàng)、古今異同等方面進(jìn)行了詳細(xì)的預(yù)習(xí)。

（三）思維導(dǎo)圖有利于學(xué)生有序探究，聚焦問(wèn)題

一般地，課始呈現(xiàn)主題，進(jìn)行新舊知識(shí)的自主關(guān)聯(lián)，啟發(fā)學(xué)生類比思考：這個(gè)知識(shí)點(diǎn)與哪些學(xué)過(guò)的舊知識(shí)有關(guān)？如何把新知識(shí)轉(zhuǎn)化成舊知識(shí)？使新知識(shí)通過(guò)同化和順應(yīng)納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中，讓學(xué)生理解學(xué)習(xí)的過(guò)程就是每天給自己的認(rèn)知添磚加瓦的過(guò)程。 以四年級(jí)下冊(cè)第6單元《位數(shù)相同的小數(shù)加減法》為例：

學(xué)生預(yù)習(xí)后呈現(xiàn)的思維導(dǎo)圖：

學(xué)生預(yù)習(xí)，聚焦疑問(wèn)：

從聚焦的問(wèn)題可以看出學(xué)生已經(jīng)掌握了本課的新知，并很好地與舊知進(jìn)行了算理和算法的勾連，對(duì)新知進(jìn)行了卓有成效的通化和順應(yīng)，進(jìn)而從加減法延伸思考至乘法，這是認(rèn)知建構(gòu)的更高層次和延伸。

（四）基本建立思維導(dǎo)圖使用模式，具有可推廣性

教師的教案不僅不會(huì)隨著年齡的增加而變得相對(duì)僵硬，反而會(huì)更有彈性，更容易更改。在這樣一個(gè)迅速變化的時(shí)代和發(fā)展之中，教師需要改變，需要能夠不斷迅速而輕松地為教案添加新的內(nèi)容。

從1.0版本到最終形成比較有效、易于實(shí)施的4.0版本，能立足學(xué)生真實(shí)的起點(diǎn)，更有效地啟發(fā)學(xué)生類比思考和學(xué)習(xí)的能力，把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)，并解決新問(wèn)題。每堂課的最后都可以對(duì)課前新課預(yù)習(xí)的思維導(dǎo)圖進(jìn)行適當(dāng)補(bǔ)充（注：不同顏色的筆），而不必等到單元復(fù)習(xí)時(shí)再畫。經(jīng)過(guò)這樣的日積月累，到單元或者模塊結(jié)束時(shí)，完整的思維導(dǎo)圖就基本形成了。教師應(yīng)注意在每堂課的小結(jié)階段進(jìn)行關(guān)聯(lián)和結(jié)構(gòu)化，讓學(xué)生每天給自己的認(rèn)知添磚加瓦。

（五）思維導(dǎo)圖有助于教師整體結(jié)構(gòu)化教學(xué)能力提升

在認(rèn)真學(xué)習(xí)“數(shù)與代數(shù)”知識(shí)圖譜的基礎(chǔ)上，結(jié)合對(duì)單元內(nèi)容的認(rèn)真研讀，筆者編寫了人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)第6單元、人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第4單元的教學(xué)設(shè)計(jì)。經(jīng)歷了“數(shù)與代數(shù)”單元整體教學(xué)的研究，積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)和研究方法后，筆者又帶領(lǐng)小組教師進(jìn)行了三年級(jí)下冊(cè)第六單元《年、月、日》這個(gè)單元的整體單元設(shè)計(jì)?！俺Ｒ?jiàn)的量”的知識(shí)譜（圖4），并建構(gòu)了如下單元知識(shí)譜（圖5），為小學(xué)階段“常見(jiàn)的量”的整體教學(xué)，打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)和進(jìn)行了有益的教學(xué)設(shè)計(jì)嘗試。

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)分為三個(gè)層面：數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)、個(gè)體數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和個(gè)體的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)是屬于數(shù)學(xué)學(xué)科的，是對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式研究的成果和智慧結(jié)晶。思維導(dǎo)圖在實(shí)踐中的應(yīng)用，在教師層面就解決小學(xué)教師對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)整體知識(shí)結(jié)構(gòu)不夠清晰的問(wèn)題提供了切實(shí)可行的路徑，通過(guò)對(duì)單元整體教學(xué)的研究和思考，既有利于與新教師、次新教師快速地對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，快速提高教學(xué)能力和水平，也有利于老教師把多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)結(jié)構(gòu)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，做到更有序、更高效的教學(xué)。把小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化，把單元知識(shí)圖譜化，利用思維導(dǎo)圖的形式把之外顯，有利于教師建構(gòu)知識(shí)圖譜，有利于每單元、每堂課知識(shí)的延展性，有利于新舊知識(shí)的連接，有利于轉(zhuǎn)化思想的落實(shí)，有利于培養(yǎng)教師和學(xué)生的發(fā)散性思維。

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責(zé)任編輯? 劉? 勇