摘? 要：針對教材上多次出現(xiàn)的海倫-秦九韶公式，結(jié)合HPM教學(xué)思想，將數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)教材、學(xué)生認(rèn)知和課堂落實四個要素相結(jié)合，設(shè)計活動任務(wù)，把數(shù)學(xué)文化以合適的形式滲透到學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，促進(jìn)學(xué)生在參與系列數(shù)學(xué)活動、解決系列數(shù)學(xué)問題的過程中，接受數(shù)學(xué)知識，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，生長學(xué)科素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化;學(xué)科素養(yǎng);課堂實錄;教學(xué)反思

一、問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）第82頁這樣描述：“教師應(yīng)有意識地將數(shù)學(xué)文化滲透到日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，感悟數(shù)學(xué)的價值.” 海倫-秦九韶公式蘊含著豐富的學(xué)科價值、應(yīng)用價值、人文價值和課堂實踐意義，是典型的數(shù)學(xué)文化，所以加強(qiáng)對此部分內(nèi)容的教學(xué)意義重大. 針對教材內(nèi)容的設(shè)置和《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，有必要帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)海倫-秦九韶公式，帶領(lǐng)他們從公式的歷史傳承走向公式的證明運用. 有鑒于此，在完成人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)5必修》（以下統(tǒng)稱“教材”）第一章“解三角形”的全部教學(xué)內(nèi)容之后，以本章復(fù)習(xí)題第9題為抓手，筆者組織了海倫-秦九韶公式的教學(xué). 教學(xué)過程中感想頗多，收獲更多. 現(xiàn)將課堂實錄及教后感悟分享如下.

二、課堂實錄

1. 講好數(shù)學(xué)故事

師：我們知道，如果一個三角形的三邊長固定，那么這個三角形就固定. 若給出任意一個三角形的三邊長，你能求出它的面積嗎？請看投影.

多媒體投放：古希臘的幾何學(xué)家海倫（Heron，約公元50年）在數(shù)學(xué)史上以善于解決幾何測量問題而聞名. 在他的著作《度量》一書中，給出了這樣一個公式：如果一個三角形的三邊長分別為[a，b，c]，記三角形的半周長為[p=a+b+c2]，那么這個三角形的面積可以表示為[S=pp-ap-bp-c]. 這個求三角形面積的公式稱為海倫公式.

公元1世紀(jì)前后，中國古代的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中就有用“底乘高的一半”來計算三角形面積的敘述. 但是在實際測量中，找到不規(guī)則三角形的高并不是一件容易的事情，還是三角形的三條邊更好度量. 我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶在公元1247年提出了求三角形面積的“三斜求積術(shù)”，三斜即為三角形的三條邊，分別稱為小斜、中斜和大斜，“術(shù)”即方法，如圖1所示.“三斜求積術(shù)”可以表達(dá)如下：[面積2=][14小2×大2-大2+小2-中222].

用我們正在學(xué)習(xí)的解三角形的相關(guān)符號表示公式，即為[S=14c2a2-c2+a2-b222]，其中[c>b>a].

雖然海倫和秦九韶兩位數(shù)學(xué)家分屬于不同文化和不同時代，但是他們的研究成果驚人地相似，都給出了“已知三角形的三條邊長，求三角形面積”的方法. 將海倫發(fā)現(xiàn)的半周長[p=a+b+c2]代入面積公式[S=][pp-ap-bp-c]，并進(jìn)行代數(shù)化簡，即可得到秦九韶的“三斜求積公式”. 因為兩人發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式形式相似、本質(zhì)統(tǒng)一. 因此，現(xiàn)代把這兩個公式統(tǒng)一命名為海倫-秦九韶公式.

2. 提出數(shù)學(xué)問題

師：剛剛大家一起了解了海倫-秦九韶公式的內(nèi)容，是否能夠思考，公式到底如何證明？教材第24頁和第25頁介紹了吳文俊教授根據(jù)我國古代傳統(tǒng)幾何證明特點進(jìn)行的“三斜求積”證明，請大家自學(xué)，并嘗試用符號語言“翻譯”吳教授的證明過程.

生1對吳教授的證明過程理解如下.

結(jié)合我們熟悉的求三角形面積公式[S=12AB · d]，證明的關(guān)鍵是用[a]，[b]，[c]表示[d]，如圖2所示.

設(shè)[BD=x]，則[AD=c-x].

由劉徽提供的公式，得[x=c2-a2-b22c].

結(jié)合勾股定理，得[d2=a2-x2].

所以[d=a2-c2-a2-b22c2].

將[d]代入面積公式[S=12AB · d]，即可得到面積公式[S=14c2a2-c2+a2-b222].

師：生1結(jié)合教材中的圖形，在[△ABC]是銳角三角形的情況下證明. 如果[△ABC]是鈍角三角形，解法相似，結(jié)果相同. 在生1的證明過程中，用到教材中提到的“劉徽提供的公式”. 劉徽是我國魏晉時期偉大的數(shù)學(xué)家，也是中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一，他的主要成就之一是論證了勾股定理與解勾股形的計算原理. 生1所說的“劉徽提供的公式”就是他在證明勾股定理時發(fā)現(xiàn)，公式的本質(zhì)是[x=c2-a2-b22c]，請大家證明.

生2給出的證明過程如下.

在[Rt△ACD]中和[Rt△BCD]中，設(shè)[BD=x].

由勾股定理，得[d2=b2-c-x2]，[d2=a2-x2].

聯(lián)立，消去[d]，并進(jìn)行化簡，得[x=c2-a2-b22c].

師：生2的補(bǔ)充很好！生1的證明方式的出發(fā)點是[S=12AB · d]，實際上，我們剛剛學(xué)習(xí)了三角形面積公式[S=12absinC]，從這個角度一定也可以解決公式的證明問題. 借助[S=12absinC]，大家嘗試證明.

生3板演證明過程如下.

師：在證明公式時，生1和生3使用的公式分別是[S=12AB · d]和[S=12absinC]，這恰恰是我們熟悉的三角形面積公式，將海倫-秦九韶公式的證明納入我們已經(jīng)熟悉的三角形面積公式系統(tǒng)是證明成功的關(guān)鍵. 學(xué)習(xí)上遇到“新問題”，要盡力把它納入到“舊系統(tǒng)”，在現(xiàn)有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)新的概念與原理，并且努力將新發(fā)現(xiàn)的概念與原理納入到已有的知識體系，是提升我們學(xué)科素養(yǎng)的重要方式.

3. 落實數(shù)學(xué)試題

師：近幾年的高考試卷和調(diào)研試卷中融入了大量數(shù)學(xué)文化試題，既彰顯了數(shù)學(xué)的文化特征，又豐富了數(shù)學(xué)試卷的文化內(nèi)涵. 海倫-秦九韶公式中既包含數(shù)學(xué)名家，又蘊藏數(shù)學(xué)名著，還融入了數(shù)學(xué)名題和數(shù)學(xué)應(yīng)用. 因此，以它為背景的試題很多. 接下來，我們一起研究其中的兩道題.

例1? 我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形的三邊求其面積的公式——“三斜求積術(shù)”：以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上. 以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實. 一為從隅，開平方得積. 也就是[△ABC]的面積為[S=][14c2a2-c2+a2-b222]，其中[a，b，c]分別為角[A，][B，C]的對邊，且[c>b>a]. 現(xiàn)有[△ABC]，若[b=2]，且[tanC=3sinB1-3cosB]，則[△ABC]的面積[S]的最大值是多少.

生4：將該題的關(guān)系式[tanC=3sinB1-3cosB]“切化弦”并整理，得[sinC=3sinA]. 由正弦定理，得[c=3a]. 已知[b=2]，將[△ABC]的各邊代入面積公式[S=14c2a2-c2+a2-b222]，消去[c]，就可以得到與[a]相關(guān)的二次函數(shù)，即可求得[△ABC]的面積[S]的最大值.

生5投影完整解題過程與解題結(jié)果. 具體過程略，結(jié)果為[3].

例2? 若一個三角形的三邊長分別為[a，b，c]，設(shè)[p=a+b+c2]，則該三角形的面積[S=pp-ap-bp-c]，此公式也稱為海倫-秦九韶公式. 現(xiàn)有[△ABC]，其周長為[16]，其中一邊長為[6]，則[△ABC]的面積的最大值為（? ? ）.

（A）10? ? （B）12? ? （C）14? ? （D）8

生6：根據(jù)題意，可知[p=a+b+c2=8]. 所以[S=][pp-ap-bp-c]=[88-a8-b8-c]. 不妨設(shè)[c=6]，則[a+b=10]. 此時[S=168-a8-b]. 問題轉(zhuǎn)化為“已知[a+b=10]，求[u=8-a8-b]的最大值”.可以使用“二次函數(shù)法”或者“基本不等式法”求最值，求得[Smax=12]. 所以該題答案選B.

三、教學(xué)反思

1. 要重視基于HPM理論的數(shù)學(xué)文化教學(xué)

HPM理論的研究者華東師范大學(xué)汪曉勤教授說過，數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)有六大價值，可以呈現(xiàn)知識之諧，展示方法之美，營造探究之樂，揭示文化之魅，提供能力之柱，彰顯德育之效. 由此可見，HPM理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)文化教學(xué)不僅能夠促進(jìn)學(xué)生從數(shù)學(xué)的內(nèi)部發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，進(jìn)而解決問題，而且可以使課堂有文化層次性、有歷史厚重感，讓教學(xué)內(nèi)容生動活潑，使學(xué)習(xí)活動生機(jī)盎然.

就本節(jié)課的教學(xué)而言，其價值主要體現(xiàn)在以下三個方面. 首先，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解. 本節(jié)課中，學(xué)生在證明與應(yīng)用海倫-秦九韶公式的過程中，知道了海倫-秦九韶公式的本質(zhì)，感受了證明公式的方法，理解了三角形內(nèi)部邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，掌握了研究新問題的方法——將“新問題”納入“舊系統(tǒng)”. 其次，發(fā)展學(xué)生學(xué)科素養(yǎng). 本節(jié)課中，學(xué)生在“數(shù)學(xué)故事”的引領(lǐng)下進(jìn)行有效探究，過程中逐漸理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)，從而開闊數(shù)學(xué)視野，豐富數(shù)學(xué)體驗，提升數(shù)學(xué)品味，而這些方面都切實地發(fā)展著他們的學(xué)科素養(yǎng). 最后，改善課堂教學(xué)生態(tài). 將數(shù)學(xué)文化內(nèi)容融入教學(xué)設(shè)計中，數(shù)學(xué)課堂的內(nèi)涵將更加豐富，課堂過程就更容易設(shè)計符合知識發(fā)生、形成和發(fā)展過程的問題，從而引發(fā)學(xué)生交流，促進(jìn)學(xué)生自主探究，激發(fā)學(xué)生思考，而這無形中都改善著我們的課堂生態(tài).

2. 要研究數(shù)學(xué)文化教學(xué)的時機(jī)選取和內(nèi)容甄別

因為《標(biāo)準(zhǔn)》和高考對數(shù)學(xué)文化的教學(xué)都提出了新的要求，所以許多教師現(xiàn)階段的教學(xué)有一點“跟風(fēng)”，每堂課都琢磨著從數(shù)學(xué)名人、數(shù)學(xué)名著、數(shù)學(xué)名題引入，時刻都惦記著講個“數(shù)學(xué)故事”，生生把數(shù)學(xué)文化教學(xué)變味為“趣味數(shù)學(xué)”教學(xué)，這種做法顯然過猶不及. 課堂最主要的任務(wù)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，進(jìn)行數(shù)學(xué)訓(xùn)練，總結(jié)數(shù)學(xué)方法，形成數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng). 雖然數(shù)學(xué)文化的教學(xué)對以上任務(wù)有促進(jìn)作用，但是還是要分清“本”和“末”. 要研究數(shù)學(xué)文化教學(xué)的時機(jī)選取和內(nèi)容甄別，“數(shù)學(xué)文化材料”引入課堂之前，先要思考其是否滿足以下條件：趣味性，“材料”能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動機(jī);科學(xué)性，“材料”要符合史實，有可靠的文獻(xiàn)出處，而不是胡編亂造，數(shù)學(xué)上也不能有錯誤;有效性，“材料”要有助于學(xué)生理解、掌握和運用相關(guān)知識，有助于教學(xué)目標(biāo)的全面達(dá)成;可學(xué)性，“材料”要符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，易于學(xué)生接受;人文性，“材料”要與數(shù)學(xué)人物相關(guān)聯(lián)，反映數(shù)學(xué)背后的人文精神，或反映數(shù)學(xué)與其他知識領(lǐng)域之間的聯(lián)系，有助于揭示數(shù)學(xué)的文化價值，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).《標(biāo)準(zhǔn)》提倡將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化有效融入數(shù)學(xué)教學(xué)之中，不同版本的教材中都融入了大量的數(shù)學(xué)文化內(nèi)容，教師要做的是設(shè)置對應(yīng)的問題使數(shù)學(xué)文化從教材中的“文化形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)形態(tài)”，然后帶領(lǐng)學(xué)生走出“文化”，走進(jìn)“數(shù)學(xué)”，通過真實學(xué)習(xí)，給學(xué)生的思維打開一扇窗，提供一個新的思考方式. 而這恰恰是生長學(xué)科素養(yǎng)的土壤.

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收稿日期：2021-06-26

基金項目：江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十三期立項課題——基于“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略研究（2019JK13-L072）.

作者簡介：晁豐成（1979— ），男，中學(xué)高級教師，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)命題研究.