趙群　夏小剛　李賢慧

摘 要：針對當(dāng)前問題情境教學(xué)過于強調(diào)與生活的聯(lián)系、忽視學(xué)生思考等不足之處，以“直線與平面垂直的判定”為例呈現(xiàn)了兩個教學(xué)片斷，從問題情境、問題探究和教學(xué)主線三個方面進行比較分析. 在核心素養(yǎng)背景下，反思問題情境教學(xué)，我們應(yīng)該更加注重對學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實及思維潛力的挖掘，關(guān)注問題情境的邏輯性和探究性，以此促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展，進而凸顯其教育價值及教育意義.

關(guān)鍵詞：問題情境;直線與平面垂直的判定;核心素養(yǎng)

近二十年來，隨著課程改革的不斷深化，問題情境教學(xué)越來越強調(diào)知識和學(xué)生現(xiàn)實之間的聯(lián)系，著力于培養(yǎng)學(xué)生的問題提出能力和探究意識. 隨著時代的變化，尤其是在當(dāng)前核心素養(yǎng)的背景下，對于學(xué)生來說，無論是關(guān)鍵品格的塑造還是關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，都依托于問題情境. 因此，問題情境教學(xué)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種重要形式.

事實上，不僅《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》強調(diào)將問題情境作為衡量核心素養(yǎng)發(fā)展的指標(biāo)，而且國際學(xué)生評估項目（PISA）測試也把核心素養(yǎng)界定為在現(xiàn)實問題情境中用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力. 然而，當(dāng)下問題情境教學(xué)存在過于強調(diào)與生活的聯(lián)系、忽視學(xué)生的思考等不足之處. 為此，應(yīng)該增進對問題情境教學(xué)的認識，反思問題情境教學(xué)中存在的問題. 下面以“直線與平面垂直的判定”為例，具體呈現(xiàn)兩個教學(xué)片斷.

一、“直線與平面垂直的判定”的問題情境教學(xué)片斷

“直線與平面垂直的判定”是高中數(shù)學(xué)中重要的教學(xué)內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)此內(nèi)容之前已經(jīng)掌握了空間直線間的關(guān)系及直線與平面平行、平面與平面平行的相關(guān)內(nèi)容，本節(jié)課需要理解直線與平面垂直的定義是“直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直”，直線與平面垂直的判定定理是“一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直”. 兩個教學(xué)片斷如下.

教學(xué)片斷1：

（1）觀察，旗桿、圓形柱子與地面有什么關(guān)系？

（2）旗桿與它在地面上的影子所成的角是多少度？

（3）旗桿的影子隨太陽移動與旗桿所成的角是否會發(fā)生改變？

（4）旗桿與地面內(nèi)任意一條不經(jīng)過旗桿底端位置的直線關(guān)系如何？

（5）給出直線與平面垂直的定義.

（6）將準(zhǔn)備好的三角形紙片[△ABC]過頂點[A]翻折得到折痕[AD]，如何折疊使折痕垂直于桌面？

（7）給出線面垂直的判定定理.

教學(xué)片斷2：

（1）抽象：可以抽象出旗桿和地面、橋柱和水面的位置關(guān)系嗎？

（2）思考：一條直線與一個平面垂直的意義是什么？

學(xué)生的反應(yīng)：直線與平面成90°角等.

追問1：如何刻畫這個“90°”角？它的頂點在哪里？兩條直角邊在哪里？

舉例：日晷的晷針與其在晷面隨太陽移動的影子，商店旋轉(zhuǎn)門軸所在直線與下邊的門框所在的直線，……

幾何畫板軟件演示：若直線[l]垂直于平面[α]內(nèi)的無數(shù)條直線[l1，l2，l3]（一組平行線），這條直線與這個平面垂直嗎？

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生給出線面垂直的定義.

（3）根據(jù)下圖所示，探究：如何判定直線[l]與平面[α]垂直？

追問2：你能類比之前所學(xué)的“線面平行”“面面平行”的判定定理，思考如何判定線面垂直嗎？

學(xué)生反應(yīng)：直線與平面上的一條直線、兩條平行線或兩條相交直線垂直……

討論：如果直線與平面上的一條直線垂直，能判定它與該平面垂直嗎？如果直線與平面上的兩條相交直線垂直呢？

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生形成線面垂直的判定條件.

二、兩個教學(xué)片斷的對比分析

兩個問題情境教學(xué)片斷呈現(xiàn)的教學(xué)模式都是先設(shè)置問題情境，然后讓學(xué)生圍繞數(shù)學(xué)問題進行數(shù)學(xué)探究，進而形成線面垂直的定義和判定定理. 兩個教學(xué)片斷的對比見下表.

教學(xué)片斷1的問題情境是從日常生活中選取較為常見的旗桿、圓形柱子等與地面具有線面垂直關(guān)系的事物，讓學(xué)生直觀感受生活中的線面垂直現(xiàn)象及其關(guān)系，著力于從學(xué)生的生活經(jīng)驗出發(fā)引出線面垂直的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容. 從問題探究角度來看，教師提供了具體、詳細、小步子的思考過程，全體學(xué)生都能參與作答，目標(biāo)性強，直擊直線與平面垂直的定義;通過折疊三角形紙片，讓學(xué)生從直觀感受中抽象出直線與平面垂直的判定條件.

教學(xué)片斷2的問題情境同樣強調(diào)了線面垂直的關(guān)系. 與教學(xué)片斷1相比，更加強調(diào)從垂直的角度思考線面垂直的數(shù)學(xué)意義. 在線面垂直定義的生成中，通過追問“刻畫90°角的頂點和直角邊”，引導(dǎo)學(xué)生在反思中認識線面垂直可以轉(zhuǎn)化為線線（平面上）垂直，從中感悟降維轉(zhuǎn)化思想. 然后，以日晷和旋轉(zhuǎn)門等實例幫助學(xué)生感受線與線（平面上）垂直的無限性——線面垂直的必要性. 通過辨析一條直線與一組平行直線垂直，讓學(xué)生認識到：存在直線[l]與無數(shù)條直線（平面上）垂直，但是線面不垂直，從而引發(fā)學(xué)生的認知沖突，感受“無數(shù)”與“任意”的不同，進而認識線面垂直的充分性. 在線面垂直判定條件的探究中，幫助學(xué)生認識到，盡管線面垂直可以轉(zhuǎn)化為“線線（平面上）垂直”，但是通常很難找到直線與平面上所有直線垂直的條件，因此不妨通過類比“線面平行”“面面平行”的判定條件，引導(dǎo)猜想線面垂直的判定條件. 針對學(xué)生給出的數(shù)學(xué)反應(yīng)，讓學(xué)生進一步思考直線與平面上兩條相交直線垂直這個條件對于判定直線與平面垂直的合理性（兩條相交直線確定一個平面）.

可見，兩個教學(xué)片斷都是從生活中引出線面垂直關(guān)系，通過逐步深入的問題探究指向定義的生成. 首先，教學(xué)片斷1通過生活現(xiàn)象引出線面垂直現(xiàn)象和關(guān)系，目的是與本節(jié)課的內(nèi)容“直線與平面垂直”相關(guān)聯(lián)，教學(xué)的著力點在于學(xué)生的生活經(jīng)驗;教學(xué)片斷2則突出讓學(xué)生思考線面垂直的數(shù)學(xué)意義. 兩相比較，高中生對生活中的線面垂直現(xiàn)象已經(jīng)非常熟悉，對于已經(jīng)具備抽象思維能力的他們來說，可以直接抽象出線面垂直關(guān)系，僅依據(jù)生活中常見的現(xiàn)象并不能引起高中生強烈的思維波動，因此相比教學(xué)片斷2，教學(xué)片斷1中過多關(guān)注日常生活現(xiàn)象，缺少對高中生數(shù)學(xué)現(xiàn)實的關(guān)注及其思維潛力的挖掘. 其次，教學(xué)片斷2中教師提問“一條直線與平面垂直的意義”，給學(xué)生足夠的時間和空間進行思考分析，接著通過追問進一步引導(dǎo)學(xué)生將線面垂直轉(zhuǎn)化成線線垂直，感悟其中蘊涵的降維轉(zhuǎn)化思想，激發(fā)學(xué)生的問題探究意識. 同時，類比線面平行、面面平行的判定定理，學(xué)生的猜想與討論會引發(fā)深入思考. 教學(xué)片斷1簡單、小步子的教學(xué)不僅限制了學(xué)生思維的發(fā)展，也不利于學(xué)生在探究過程中體驗其中滲透的思想方法，對學(xué)生邏輯推理和問題提出能力的提升，以及探究意識的激發(fā)，沒有起到促進作用. 因此，教學(xué)片斷2在思維上更具有探究性. 最后，從整個教學(xué)主線來看，教學(xué)片斷1注重“線面垂直的定義與判定”知識的獲得;教學(xué)片斷2在注重知識獲得的同時，更加注重對知識本質(zhì)的挖掘，以及思想方法的滲透.

三、對問題情境教學(xué)的反思

結(jié)合上述對兩個教學(xué)片斷的分析，反思問題情境教學(xué)如下.

1. 數(shù)學(xué)問題應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實及對思維潛力的挖掘

學(xué)生的學(xué)習(xí)最初來源于好奇心. 好奇心有兩種，分別是由情境引發(fā)的好奇心和由語言方面的問題提出引發(fā)的好奇心. 年齡較小或者對相關(guān)內(nèi)容沒有任何認知的學(xué)生最初對于知識的獲得并沒有思維的參與，僅僅依靠天生的好奇心. 這種情況下，教師主要依靠創(chuàng)設(shè)有趣的情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 隨著認知體驗的增加，學(xué)生對數(shù)學(xué)的認識越來越多地表現(xiàn)在已有的數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗中，教學(xué)應(yīng)盡可能貼近學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，以問題的思考性引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考. 與教學(xué)片斷2一樣創(chuàng)設(shè)引發(fā)高中生強烈思維波動的問題情境，激發(fā)學(xué)生的問題探究意識. 教學(xué)中問題的設(shè)置應(yīng)關(guān)注學(xué)生的發(fā)展水平和已有的知識結(jié)構(gòu)，立足于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，使問題的深度略高于學(xué)生已有的知識水平. 問題的解決需要經(jīng)過學(xué)生知識的同化和順應(yīng). 問題難度過低容易使學(xué)生喪失興趣，過高容易打擊學(xué)生的積極性，設(shè)置使學(xué)生“跳一跳，能夠得著”的問題調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，激發(fā)學(xué)生的問題探究意識，對接數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，通過具有一定思考的問題發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，挖掘?qū)W生的思維潛力，以此滲透到日常生活中，最終促進學(xué)生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力的發(fā)展.

2. 問題情境教學(xué)應(yīng)該關(guān)注問題情境的邏輯性與探究性

問題情境教學(xué)的合理與否取決于問題情境的邏輯性與探究性.

問題的邏輯性包括問題本身和問題與問題之間兩個方面. 問題本身的設(shè)置應(yīng)該得到系統(tǒng)全面的考慮，考慮學(xué)生的認知水平、問題本身的合理性及知識的本原性. 此外，問題是否對知識的生成起了導(dǎo)向作用？學(xué)生是否能沒有歧義地明白問題本身的含義且符合學(xué)生的思維發(fā)展？問題與問題之間的邏輯性主要是問題間的遞進層次，從生活現(xiàn)象逐步抽象，再進一步數(shù)學(xué)化. 一個問題到下一個問題是否呈現(xiàn)出遞進性、探究性？是否層層遞進導(dǎo)向教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)并促進學(xué)生素養(yǎng)的發(fā)展？在問題解決過程中問題的縱向深入和橫向輻射等都屬于問題之間的邏輯性. 由此，問題情境教學(xué)在設(shè)置問題串時應(yīng)由淺入深，把復(fù)雜問題用幾個本原性問題加以分解，展現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，實現(xiàn)“低起點，高落點”，進而促進學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展.

問題情境的探究性是由學(xué)生的學(xué)習(xí)方式?jīng)Q定的. 在情境中明確提出需要探究的問題，如明確讓學(xué)生探究線面垂直的意義而非直接問所成角度、位置是否改變等通過直接觀察就可以回答的問題，要想從中獲得能力的提升、思維的發(fā)展，必然需要學(xué)生對問題進行操作或思維上的自主探索、合作探究，教師主要負責(zé)引導(dǎo)而非直接提供“拐杖”指出分析方向. 那么，在問題設(shè)置的過程中，就需要教師根據(jù)學(xué)生認知設(shè)置具有一定啟發(fā)性、思考性的問題引導(dǎo)學(xué)生探究的方向，通過教師語言或者行為的暗示啟發(fā)學(xué)生進行探究，激發(fā)學(xué)生探究、解決問題的欲望，做到教師引導(dǎo)，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位.

3. 問題情境教學(xué)應(yīng)該凸顯教育價值及其教育意義

價值和意義的彰顯需要明確并促進教學(xué)目標(biāo)的有效達成. 對于高中生來說，教學(xué)片斷1過于關(guān)注生活經(jīng)驗，對定義生成的引導(dǎo)問題缺乏探究性，從而忽略了通過定義和定理的剖析激發(fā)學(xué)生的問題意識和探究意識，導(dǎo)致新知本身蘊含的教育價值和教育意義被遮蔽. 首先，教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定及教學(xué)過程應(yīng)該體現(xiàn)思考性，揭示數(shù)學(xué)真理，符合學(xué)生認知，激發(fā)學(xué)生的問題意識和探究意識，具體表現(xiàn)為發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，綜合表現(xiàn)為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，通過對知識本質(zhì)的逐步探索，體會數(shù)學(xué)知識本身蘊含的內(nèi)在價值. 其次，教學(xué)中的關(guān)鍵是“問題”應(yīng)指向教學(xué)目標(biāo)，當(dāng)然，可以是直接指向教學(xué)目標(biāo)也可以是間接指向教學(xué)目標(biāo)，通過有思考價值和意義的問題情境創(chuàng)設(shè)促進教學(xué)目標(biāo)的有效達成. 最后，教學(xué)目標(biāo)從根本上指向?qū)W生，考慮學(xué)生的年齡特點、呈現(xiàn)新知的發(fā)生、發(fā)展過程，最終指向?qū)W生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng). 總之，為凸顯教育價值和意義，問題情境教學(xué)設(shè)計應(yīng)明確并促進教學(xué)目標(biāo)的有效達成，而教學(xué)目標(biāo)要做到以學(xué)生為本.

四、結(jié)束語

認識問題情境教學(xué)，需要從課堂教學(xué)中發(fā)現(xiàn)其存在的問題，并針對問題加以反思，清楚問題情境教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實及思維潛力的挖掘，關(guān)注問題情境的邏輯性和探究性，凸顯教育價值與意義，明確目標(biāo)指向. 要想設(shè)計好問題情境，更好地實施問題情境教學(xué)，就要在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)上多下工夫. 首先，教師應(yīng)該認真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，教材重、難點，以及知識的分布，這樣才能抓住知識的本質(zhì)，精準(zhǔn)剖析問題. 同時，應(yīng)該知道課程標(biāo)準(zhǔn)和教材不是絕對的權(quán)威，要根據(jù)學(xué)情創(chuàng)造性地使用教材. 其次，要了解每名學(xué)生，學(xué)生才是教學(xué)的對象、學(xué)習(xí)的主體，問題的設(shè)置應(yīng)該基于學(xué)生的已有知識水平，并且針對不同年級和不同班級的學(xué)生，甚至不同的學(xué)生個體，都需要因材施教. 最后，教師要在學(xué)科知識、學(xué)科教學(xué)理論和教學(xué)信念等方面不斷提高自身的素養(yǎng). 只有這樣，才能做到有的放矢地選取素材、展示教學(xué)過程、關(guān)注學(xué)生，及時對每一環(huán)節(jié)和每一階段的教學(xué)進行評價、反思，并對存在的問題加以改進.

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收稿日期：2021-08-19

基金項目：貴州師范大學(xué)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革項目——面向核心素養(yǎng)的師范生“問題探究”教學(xué)的實踐范式研究（[2017]XJG23）.

作者簡介：趙群（1996— ），女，在讀碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究.