鄭新春　張梅

摘? 要：以基本事實(shí)4為源頭，以展示基本事實(shí)4的一個(gè)簡(jiǎn)易圖形助力平行關(guān)系的單元教學(xué)，營(yíng)造了源水不斷、清澈見(jiàn)底的教學(xué)意境，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性理解.

關(guān)鍵詞：基本事實(shí)4;源頭;平行關(guān)系

在平行關(guān)系的學(xué)習(xí)過(guò)程中，人們一般認(rèn)可從線(xiàn)線(xiàn)平行到線(xiàn)面平行再到面面平行的邏輯關(guān)系. 但是對(duì)基本事實(shí)4（直線(xiàn)平行的傳遞性）之于平行關(guān)系的奠基地位卻少有提及. 筆者在設(shè)計(jì)平行關(guān)系單元教學(xué)的活動(dòng)中，經(jīng)過(guò)一番研究，有了一些心得，故不揣淺陋，成就此文，以期得到同行的指正.

一、基本事實(shí)4堪為源頭

眾所周知，基本事實(shí)4是直線(xiàn)平行的傳遞性定理，而非公理，是在歐幾里得《幾何原本》的第11卷作為命題9給出的，陳述為“兩條直線(xiàn)平行于和它們不共面的同一直線(xiàn)時(shí)，這兩條直線(xiàn)平行”. 關(guān)于它的證明，有學(xué)者做了詳實(shí)的研究，但這些證明大多繁難（詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)）. 有的教師借助“線(xiàn)面平行的判定或性質(zhì)”推得“直線(xiàn)平行的傳遞性”，即使不犯循環(huán)論證的錯(cuò)誤，也有悖于教材先研究線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系再研究線(xiàn)面關(guān)系的呈現(xiàn)順序. 因此，教材的編寫(xiě)，秉持能力訓(xùn)練要循序漸進(jìn)的理念，規(guī)避難點(diǎn)，把直線(xiàn)平行的傳遞性定理長(zhǎng)期當(dāng)作基本事實(shí)（公理）來(lái)處理，這樣做符合高一學(xué)生的邏輯推理能力實(shí)際，深受師生歡迎.

筆者在人教A版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱(chēng)“教材”）必修第二冊(cè)“直線(xiàn)、平面平行關(guān)系”的備課中，突然萌生一種想法，按照教材順序，運(yùn)用基本事實(shí)4之前的知識(shí)，是否存在學(xué)生可接受的基本事實(shí)4的證明呢？若存在，學(xué)生獲取的知識(shí)結(jié)構(gòu)將更具邏輯性. 于是，根據(jù)基本事實(shí)1、基本事實(shí)2和基本事實(shí)3確定平面和直線(xiàn)的重要思想，筆者經(jīng)過(guò)一番思考，偶得證明，心結(jié)釋然.

題目? 已知直線(xiàn)[a，b，c]，[a∥b，b∥c]. 求證：[a∥c].

證明：先證直線(xiàn)[a，c]共面.

因?yàn)閇a∥b]，[b∥c]，

所以直線(xiàn)[a]與直線(xiàn)[b]確定一個(gè)平面，設(shè)為平面α，直線(xiàn)[b]與直線(xiàn)[c]確定一個(gè)平面，設(shè)為平面β. 如圖1所示.

不妨取直線(xiàn)[c]上一點(diǎn)[P?a]，

故直線(xiàn)[a]與點(diǎn)[P]可以確定平面[γ].

所以[P∈γ]，[a?γ].

由[c?β]，得[P∈β].

所以平面[β]與平面[γ]有一條過(guò)點(diǎn)[P]的公共直線(xiàn)[c].

所以[b?β，c?β，c?β，c?γ].

若直線(xiàn)[c]與直線(xiàn)[c]相交，由[b∥c]，得直線(xiàn)[b]與直線(xiàn)[c]相交（否則與平行公理矛盾）.

設(shè)[b?c=Q]，則[Q∈b?α，Q∈c?γ].

據(jù)基本事實(shí)3，[Q∈a]，與[a∥b]矛盾.

所以直線(xiàn)[c]與直線(xiàn)[c]重合，即[c?γ].

所以直線(xiàn)[a]和直線(xiàn)[c]共面于平面[γ].

再證[a∥c].

若直線(xiàn)[a]與直線(xiàn)[c]相交，

則其交點(diǎn)在平面[α，β]上.

于是其交點(diǎn)在直線(xiàn)[b]上，即[a，b，c]三線(xiàn)共點(diǎn).

這與直線(xiàn)[a，b]平行矛盾，即得[a∥b，b∥c.]?a∥c

上述證明，主要用到“確定平面的條件”“兩平面若有公共點(diǎn)，則存在唯一一條公共直線(xiàn)，且公共點(diǎn)在公共直線(xiàn)上”，這些知識(shí)屬于基本事實(shí)4之前的知識(shí). 因此，此證明為基本事實(shí)4作為后續(xù)知識(shí)的源頭奠定了堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ).

行文至此，可能引發(fā)同行的質(zhì)疑，因?yàn)樵诮滩闹?，“常用邏輯用語(yǔ)”一節(jié)刪去了“四種命題”，尤其是“逆否命題”，這樣就出現(xiàn)了一個(gè)不可回避的問(wèn)題，即使我們失去了論證“反證法”合理性的邏輯機(jī)理. 因此，上述內(nèi)容是否有不合時(shí)宜之嫌？事實(shí)上，筆者并無(wú)讓學(xué)生掌握反證法證明之意，作為教師，能證明基本事實(shí)4，不妨視為登高望遠(yuǎn)之舉. 至于在教學(xué)中，一方面，我們要理解教材編寫(xiě)刪繁就簡(jiǎn)、突出知識(shí)主干、能力訓(xùn)練循序漸進(jìn)的意圖;另一方面，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際基礎(chǔ)，適當(dāng)滲透反證法“若矛盾，則不可能”的思維方式. 這完全可以立足于高一學(xué)生在生活中的說(shuō)理經(jīng)驗(yàn)，說(shuō)明道理即可，而不必要求學(xué)生嚴(yán)格按照反證法的格式書(shū)寫(xiě)證明. 下文的教學(xué)過(guò)程中，我們就是這樣來(lái)處理相關(guān)內(nèi)容的，相信這樣做，對(duì)提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，以及以理服人的行事原則，一定大有裨益.

二、教學(xué)中一個(gè)模型“包打天下”

樹(shù)立了基本事實(shí)4的奠基地位后，我們不難想到一個(gè)教學(xué)模型，如圖2所示. 即在一張矩形紙片上畫(huà)三條平行線(xiàn)段[a，b，c]（亦可降低難度，讓學(xué)生直接將矩形紙片對(duì)折得[a，b，c]），然后以線(xiàn)段[b]為折痕，觀察圖3的折疊過(guò)程，并討論線(xiàn)段[a，c]是否平行.

沒(méi)想到的是，如此簡(jiǎn)單的一個(gè)模型，在直觀化、符號(hào)化后，竟在線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行的教學(xué)中，一貫到底、“包打天下”，為以基本事實(shí)4為源頭的教學(xué)增色添彩.

1. 基本事實(shí)4

基于前文的論述，我們對(duì)基本事實(shí)4的教學(xué)，就有了兩種合理的選擇.

其一，如果學(xué)生基礎(chǔ)一般，教學(xué)就從折疊矩形紙片開(kāi)始，學(xué)生通過(guò)觀察如圖2和圖3所示的模型，先承認(rèn)直線(xiàn)[a，b，c]在同一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線(xiàn)[a，c]平行毫無(wú)懸念，然后通過(guò)操作確認(rèn)，在折疊過(guò)程中[a∥c]始終成立. 于是，得到基本事實(shí)4，提煉出平行的傳遞性.

其二，如果學(xué)生基礎(chǔ)好，就可以進(jìn)一步討論折疊過(guò)程中[a∥c]是否始終成立. 考慮到學(xué)生獨(dú)立完成證明會(huì)有困難，教師可以仿照?qǐng)D1提示學(xué)生，先研究直線(xiàn)[a，c]是否共面. 若不共面，經(jīng)過(guò)怎樣的思考可以推出矛盾？于是，說(shuō)明一定共面. 判斷直線(xiàn)[a，c]共面后，再研究直線(xiàn)[a，c]是否相交. 若相交怎么樣？能否推出矛盾？進(jìn)一步說(shuō)明直線(xiàn)[a，c]不可能相交，得[a∥c]，即平行的傳遞性定理.

2. 等角定理

教材中等角定理的表述為：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ). 若再粗放一些，不計(jì)較角的方向，可以把等角定理表述為“兩條直線(xiàn)平移不變成角”. 這樣認(rèn)識(shí)問(wèn)題很重要，因?yàn)樗沂玖舜_定或計(jì)算空間任意兩條直線(xiàn)（異面直線(xiàn)）所成角的通則. 而在基本事實(shí)4中，人們先關(guān)注的是“若[a∥b，b∥c]，則[a∥c]”，即平行的傳遞性. 其實(shí)，換一個(gè)角度，我們不妨視直線(xiàn)[b]為兩條直線(xiàn)[b，b]的重合，視直線(xiàn)[a，c]分別是直線(xiàn)[b]與直線(xiàn)[b]的平移，那么，基本事實(shí)4的實(shí)質(zhì)依然是“兩條直線(xiàn)平移不變成角”，只不過(guò)成角為[0°]罷了.

由此可見(jiàn)，對(duì)于基本事實(shí)4的源頭地位，等角定理并沒(méi)有多大干擾，它與基本事實(shí)4出如一轍，都是在兩條直線(xiàn)平移的條件下，成角為[0°]或任意角相等的兩種形式而已.

在課堂教學(xué)中，以基本事實(shí)4為基礎(chǔ)，在三條平行線(xiàn)[a，b，c]上，分別截取等長(zhǎng)的線(xiàn)段[AA，BB，CC]，然后以[b]為折痕，連接[AB，BC，AC，AB，BC，AC]，得到圖4，讓學(xué)生完成如下學(xué)習(xí)任務(wù).

（1）觀察圖4，找出除[a，b，c]之外的平行直線(xiàn)對(duì)，并給出證明.

（2）找出相等的角，并給出證明.

（3）進(jìn)一步分析造成[∠ABC=∠ABC]的原因，判斷是因?yàn)閇a∥b，b∥c]，還是因?yàn)檎郫B前后始終都有[AB∥AB]和[BC∥BC]呢. 進(jìn)而概括出等角定理.

（4）觀察基本事實(shí)4與等角定理，試研究?jī)烧咧g的內(nèi)在聯(lián)系，得出“兩條直線(xiàn)平移不變成角”的共性結(jié)論.

如果學(xué)生基礎(chǔ)好，當(dāng)然也可以讓學(xué)生從“平移不變成角”的角度去理解基本事實(shí)4，然后提問(wèn)：圖4中還有哪些直線(xiàn)（線(xiàn)段）是平移關(guān)系？它們是否符合“平移不變成角”？進(jìn)一步概括等角定理.

3. 線(xiàn)面平行

（1）尋找線(xiàn)面平行的判定方法.

在基本事實(shí)4的前提下，觀察圖4，想象隨著折角的變化，直線(xiàn)[b]與直線(xiàn)[a，c]所確定的平面[γ]的相對(duì)位置也發(fā)生變化. 依此背景，讓學(xué)生思考如下兩個(gè)問(wèn)題：觀察，直線(xiàn)[b]與平面[γ]可能的位置關(guān)系有哪些？若排除直線(xiàn)[b]在平面[γ]內(nèi)的情況，能否得線(xiàn)面平行的判斷方法？

對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，我們可以得到直線(xiàn)[b]與平面[γ]可能的位置，只有[b?γ]或[b∥γ]，不可能有直線(xiàn)[b]與平面[γ]相交（若直線(xiàn)[b]與平面[γ]相交，則易知直線(xiàn)[b]與直線(xiàn)[a]相交，或直線(xiàn)[b]與直線(xiàn)[c]相交，這與題設(shè)矛盾）.

對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，我們可以得到如下猜想：平面外一條直線(xiàn)若平行于平面內(nèi)的兩條平行直線(xiàn)，則該直線(xiàn)與平面平行. 此時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：需要兩條直線(xiàn)嗎？平面外的一條直線(xiàn)若平行于平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，據(jù)基本事實(shí)4，即有平面外的一條直線(xiàn)必然平行于該平面內(nèi)的一簇平行直線(xiàn)，所以無(wú)需兩條直線(xiàn). 由此可以得到線(xiàn)面平行的判定定理：如果平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么該直線(xiàn)與此平面平行.

雖然教材中對(duì)此定理不要求嚴(yán)格證明，但是如前所述，我們可以引導(dǎo)學(xué)生這樣思考問(wèn)題：如果直線(xiàn)[b]與直線(xiàn)[a，c]確定的平面不平行，就必然相交，則交點(diǎn)要么在直線(xiàn)[b，a]確定的平面上（直線(xiàn)[b，a]相交），要么在直線(xiàn)[b，c]確定的平面上（直線(xiàn)[b，c]相交）. 無(wú)論哪種情況，都可以推出與直線(xiàn)[b，a]平行矛盾，或與直線(xiàn)[b，c]平行矛盾，所以直線(xiàn)[b]與直線(xiàn)[a，c]確定的平面相交是不可能的. 于是只剩下平行這種情況.

（2）探究線(xiàn)面平行的性質(zhì).

若已知直線(xiàn)[b]平行于平面[γ]，我們可以得到什么性質(zhì)？這個(gè)問(wèn)題提出后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)觀察圖4，探究在直線(xiàn)[b]與平面[γ]平行的條件下，我們可以得到哪些結(jié)論.

從線(xiàn)面平行的定義上看，直線(xiàn)[b]與平面[γ]沒(méi)有公共點(diǎn)，這說(shuō)明平面[γ]內(nèi)的所有點(diǎn)都不在直線(xiàn)[b]上，平面[γ]內(nèi)的所有直線(xiàn)都與直線(xiàn)[b]沒(méi)有公共點(diǎn)，即平面[γ]內(nèi)的所有直線(xiàn)與直線(xiàn)[b]要么平行，要么異面. 我們?nèi)绻懒似矫鎇γ]內(nèi)的哪些直線(xiàn)與直線(xiàn)[b]平行，那么平面[γ]內(nèi)的剩余的那些直線(xiàn)就與直線(xiàn)[b]異面.

我們現(xiàn)在要研究的問(wèn)題是：在平面[γ]內(nèi)，如何確定與直線(xiàn)[b]平行的直線(xiàn)？

進(jìn)一步觀察圖4，我們已知平面[γ]內(nèi)的直線(xiàn)[a，c]與直線(xiàn)[b]平行，聯(lián)想到直線(xiàn)[a，c]分別是平面[γ]與平面[α]和平面[β]的交線(xiàn)，自然想到過(guò)直線(xiàn)[b]上的平面任意旋轉(zhuǎn)，與平面[γ]的交線(xiàn)都與直線(xiàn)[a，c]平行，也與直線(xiàn)[b]平行，我們把這番操作概括為“搭平面、得交線(xiàn)，交線(xiàn)與直線(xiàn)[b]平行”. 于是，得出直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線(xiàn)的平面與此平面相交，那么該直線(xiàn)與交線(xiàn)平行.

在前面分析的基礎(chǔ)上，該定理的證明是顯然的. 因?yàn)橹本€(xiàn)[b]平行于平面[γ]，所以直線(xiàn)[b]與平面[γ]無(wú)公共點(diǎn)，而“搭平面、得交線(xiàn)”后，顯然直線(xiàn)[b]與交線(xiàn)共面且無(wú)公共點(diǎn)，于是，直線(xiàn)[b]與交線(xiàn)平行.

4. 面面平行

（1）尋找面面平行的判定方法.

教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生觀察圖4，想象折紙的過(guò)程中，直線(xiàn)[a，c]依然平行，自然得到三棱柱的直觀印象，再結(jié)合棱柱的定義，不難發(fā)現(xiàn)平面[ABC]與平面[ABC]平行. 這時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考：這兩個(gè)平面平行是由[a∥b，b∥c]引起的，還是由折疊前后始終都有[AB∥][AB]和[BC∥BC]引起的呢？一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)后者是引起平面[ABC]與平面[ABC]平行的根本原因. 將這個(gè)直觀感知的事實(shí)用文字進(jìn)行描述，即得“如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)分別與另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)平行，那么這兩個(gè)平面平行”. 接下來(lái)，我們結(jié)合前面線(xiàn)面平行的判定定理的討論，得到與上述描述等價(jià)的命題，即面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.

至于該定理的證明：一方面，我們可以采用教材的處理方式，從長(zhǎng)方體模型出發(fā)，遵循“直觀感知，操作確認(rèn)”的理念，不在定理證明處做文章，只在定理的獲得和運(yùn)用方面進(jìn)行強(qiáng)化;另一方面，考慮到該定理的證明既是對(duì)直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理的一次很好的應(yīng)用，又可以滿(mǎn)足學(xué)生對(duì)邏輯思維能力發(fā)展的需求. 在學(xué)生基礎(chǔ)比較好的情況下，我們依然可以采用前文所述“線(xiàn)面平行判定定理”的處理方式，即假如由相交直線(xiàn)[AB，BC]確定的平面與平面[ABC]不平行，就必然相交，得交線(xiàn)[d]，依據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，必有相交直線(xiàn)[AB，BC]同時(shí)與直線(xiàn)[d]平行，這顯然是“不可能”的，即得面面平行的判定定理. 而如果把題設(shè)中的“相交直線(xiàn)[AB，BC]”“平行直線(xiàn)[AB，BC]”這種“不可能”就變?yōu)椤翱赡堋?，那么平行直線(xiàn)[AB，BC]確定的平面與平面[ABC]不平行，也變?yōu)椤翱赡堋? 于是，題設(shè)中直線(xiàn)[AB，BC]由相交變?yōu)槠叫?，也即失去了判定面面平行的“資格”.

（2）探究面面平行的性質(zhì).

由于兩個(gè)平面互相平行，那么這兩個(gè)平面就一定沒(méi)有公共點(diǎn)，可以據(jù)此讓學(xué)生觀察圖4，看看能有什么發(fā)現(xiàn)？一般而言，學(xué)生經(jīng)過(guò)研討，發(fā)現(xiàn)下面兩個(gè)結(jié)論，是可能的：一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都與另一個(gè)平面平行;一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)與另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)平行或異面.

對(duì)于第一個(gè)結(jié)論，根據(jù)平面與平面平行的定義，顯然不證自明.

對(duì)于第二個(gè)結(jié)論，我們自然會(huì)更關(guān)注兩條直線(xiàn)相互平行的情況. 引導(dǎo)學(xué)生觀察圖4，不難發(fā)現(xiàn)[AB∥AB]和[BC∥BC]. 由此受到啟發(fā)，要得到兩條平行直線(xiàn)，我們可以搭建一個(gè)與已知兩個(gè)平行平面相交的平面，得兩條交線(xiàn). 顯然，這兩條交線(xiàn)平行是不證自明的事實(shí). 于是，得到面面平行的性質(zhì)定理.

三、結(jié)束語(yǔ)

“問(wèn)渠那得清如許？為有源頭活水來(lái)”出自南宋詩(shī)人朱熹的《觀書(shū)有感》，意指水之清澈，緣于源頭活水不斷注入. 借古喻今，反觀平行關(guān)系的單元教學(xué)，以基本事實(shí)4為源頭，以展示基本事實(shí)4的一個(gè)簡(jiǎn)易模型助力始終，使學(xué)生沿一個(gè)不變的背景，一貫到底、持續(xù)思考、解決問(wèn)題，形成了源水不斷、清澈見(jiàn)底的教學(xué)意境，這對(duì)促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性理解是不言而喻的. 當(dāng)然，一個(gè)知識(shí)體系的落實(shí)，除問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生沿一個(gè)背景思考外，還需要穿插必要的例題與練習(xí). 限于篇幅，不再贅述.

參考文獻(xiàn)：

[1]沈中宇，汪曉勤. 西方早期立體幾何教科書(shū)中空間平行線(xiàn)的傳遞性定理[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2016（12）：60-64.

收稿日期：2021-07-10

作者簡(jiǎn)介：鄭新春（1971— ），男，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.