摘? 要：數(shù)學(xué)建模探究活動(dòng)要求學(xué)生能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的完整過程.“茶水口感最佳問題”的教學(xué)要重點(diǎn)體現(xiàn)數(shù)據(jù)收集與處理，以及模型的選擇、檢驗(yàn)和求解的過程.在難點(diǎn)的突破中，要注重引導(dǎo)學(xué)生利用信息技術(shù)探究、比較和分析多種模型的選擇方案.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;信息技術(shù);模型選擇

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng). 人教A版《普通高中教材·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“教材”）必修第一冊新增的數(shù)學(xué)建模案例“茶水口感最佳問題”就是一個(gè)很好的實(shí)例，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的應(yīng)用. 同時(shí)，作為數(shù)學(xué)建模探究活動(dòng)與學(xué)生初次接觸，引起了教師的廣泛關(guān)注，很多教學(xué)設(shè)計(jì)與反思都展現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模案例的教學(xué)過程. 那么，這些教學(xué)設(shè)計(jì)是否都很好地突破了數(shù)學(xué)建模環(huán)節(jié)中的教學(xué)難點(diǎn)呢？這不免引起了筆者的思考.

一、“茶水口感最佳問題”教學(xué)難點(diǎn)突破中的問題

1. 教材情境呈現(xiàn)

情境：中國茶文化博大精深. 茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān). 經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85°C的水泡制，再等到茶水溫度降至60°C時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感. 那么，在25°C室溫下，剛泡好的茶水大約需要放置多長時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？

顯然，如果能建立茶水溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)模型，那么就能容易地解決這個(gè)問題. 為此，需要收集一些茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，再利用這些數(shù)據(jù)建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型. 某研究人員每隔[1 min]測量一次茶水溫度，得到表1的一組數(shù)據(jù).

2.“選擇函數(shù)模型”教學(xué)難點(diǎn)與實(shí)際處理方式

我們知道，建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本過程如圖1所示. 根據(jù)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的內(nèi)涵，“茶水口感最佳問題”數(shù)學(xué)建模案例的教學(xué)重點(diǎn)可以設(shè)為將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、數(shù)據(jù)的收集與函數(shù)模型的選擇和建立;教學(xué)難點(diǎn)可以設(shè)為數(shù)據(jù)的收集，函數(shù)模型的選擇. 而在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)模型的選擇卻在很大程度上被忽視，很

多教學(xué)過程都是“對(duì)照散點(diǎn)圖分布，考慮到茶水溫度降至室溫不能再降的事實(shí)”直接就確定函數(shù)模型為? [y=kax+25 k∈R，0<a<1，x≥0]. 因此，在接下來的模型求解中，得到表1對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖，如圖2所示. 同時(shí)，根據(jù)教材的處理方式，對(duì)表1進(jìn)行處理，得到表2.

如果取[a]的平均值0.922 7，就可以得到函數(shù)模型[y=60×0.922 7x+25 x≥0]. 將數(shù)值代入，就可以得到[x≈6.699 7 min].

整個(gè)教學(xué)過程好像都是按照“事先既定”的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，至于在收集數(shù)據(jù)和選擇模型的環(huán)節(jié)，學(xué)生“如何選擇模型”的教學(xué)過程呈現(xiàn)很少，甚至缺失.

3.“選擇函數(shù)模型”應(yīng)關(guān)注的實(shí)際教學(xué)問題

本節(jié)課的編寫意圖及教學(xué)建議指出，通過觀察發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)圖的分布狀況呈遞減狀態(tài)，學(xué)生可能會(huì)提出各種遞減函數(shù)作為備選模型. 教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意到茶水溫度降至室溫就不能再降這一重要事實(shí)，再結(jié)合幾類基本初等函數(shù)的變化特征，指導(dǎo)學(xué)生做出選擇. 需要注意的是，實(shí)驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)并不一定具有很強(qiáng)的規(guī)律性，函數(shù)模型的選擇也是多樣的，并不局限于指數(shù)型函數(shù)，所選擇的函數(shù)一般也只能大致反應(yīng)茶水溫度變化的局部規(guī)律. 因此，建立模型后需要對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn). 教學(xué)建議還指出，建立模型與檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪菍?shí)例教學(xué)的重點(diǎn)，除了教材提供的方法外，有條件的學(xué)校還可以指導(dǎo)學(xué)生利用信息技術(shù)工具選擇擬合功能建立模型，并利用相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)吻合程度，幫助學(xué)生建立合適的函數(shù)關(guān)系式，然后利用特定參數(shù)值驗(yàn)證模型，并解決實(shí)際問題. 因此，在“選擇函數(shù)模型”的實(shí)際教學(xué)環(huán)節(jié)，完全可以從信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)融合的視角，就以下問題進(jìn)行深入思考.

問題1：除了指數(shù)函數(shù)模型，還有其他擬合模型嗎？如果有，與指數(shù)函數(shù)模型比較，擬合度分別怎么樣？

問題2：基于茶水溫度在降至室溫后就不能再降的事實(shí)，教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行模型選擇、比較和檢驗(yàn)分析？

二、基于信息技術(shù)的模型選擇，突破教學(xué)難點(diǎn)

基于問題1，筆者就我們學(xué)習(xí)過的函數(shù)模型及散點(diǎn)圖來分析. 如果用線性模型、多項(xiàng)式模型或冪函數(shù)模型，與指數(shù)函數(shù)模型相比，誰的擬合度更高呢？采用不同的信息技術(shù)手段，對(duì)相關(guān)函數(shù)模型的擬合度進(jìn)行了分析.

1. 采用WPS進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合

WPS有進(jìn)行數(shù)據(jù)分析、算法的實(shí)現(xiàn)、函數(shù)模型擬合及圖象與性質(zhì)探究等功能，界面相對(duì)友好，操作方便，是教師和學(xué)生最熟悉的軟件之一，其中包含了大量的函數(shù)、公式.

首先，新建一張WPS表格，分兩列輸入時(shí)間和溫度數(shù)據(jù)（為了方便與上述函數(shù)模型對(duì)比，可以采用表2的數(shù)據(jù)處理）. 其次，選中數(shù)據(jù)區(qū)域，點(diǎn)擊“插入圖表”中的“[xy]散點(diǎn)圖”，然后點(diǎn)擊散點(diǎn)圖就會(huì)出現(xiàn)“圖表元素”項(xiàng)目，如圖3所示. 可以勾選“坐標(biāo)軸”“數(shù)據(jù)標(biāo)簽”“趨勢線”，在“趨勢線”下會(huì)有屬性欄“線性”“指數(shù)”“多項(xiàng)式”“冪”等選項(xiàng)，如圖4所示.

分別點(diǎn)擊“線性”“指數(shù)”“多項(xiàng)式”等選項(xiàng)，相應(yīng)勾選“顯示公式”“顯示[R]平方值”，就會(huì)顯示圖4中的相關(guān)信息，得到線性模型[y-25=-3.887 4x+58.622]，[R2=0.982]，指數(shù)函數(shù)模型[y-25=59.053e-0.079x]，[R2=][0.993 5]，多項(xiàng)式模型[y-25=0.345 7x2-5.616x+59.774]，[R2=0.998 6]. 我們知道，在數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)中，用[R2=1-][i=1nyi-y2i=1nyi-y2]來刻畫擬合效果，[R2]的值越大，擬合效果越好. 從而可知多項(xiàng)式模型的擬合效果最好. 其中，指數(shù)模型擬合與模型[fx=60×0.922 7x+25 x≥0]有些許差別，因?yàn)槭切畔⒓夹g(shù)工具通過估算得到的. 事實(shí)上，[e-0.079=0.924 04]，但是在WPS中不方便直接計(jì)算[fx=60×0.922 7x+25 x≥0]的擬合度. 另外，在散點(diǎn)圖中去掉[0，60]這個(gè)點(diǎn)后可以采用冪函數(shù)模型進(jìn)行擬合，得到[y-25=55.248x-0.182，R2=0.962 8]. 因此，可以將通過上面各個(gè)模型得到的最佳飲用時(shí)間的[x]值列表，如表3所示.

從表3發(fā)現(xiàn)，四種模型的擬合度都十分不錯(cuò). 其中，雖然多項(xiàng)式模型的擬合度最高，但是在基于“60℃飲用口感最佳”的假設(shè)下最佳飲用時(shí)間不存在;冪函數(shù)模型達(dá)到最佳口感經(jīng)歷時(shí)間最長. 從數(shù)據(jù)來看，還不能完全回答問題1中的所有疑問. 因?yàn)榛赪PS的數(shù)據(jù)分析，不能反映出各模型的函數(shù)圖象變化趨勢，也不能對(duì)原模型[fx=60×0.922 7x+25 x≥0]的擬合度進(jìn)行估算. 因此，還需要借助GeoGebra軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合再分析.

2. 采用“GeoGebra經(jīng)典”數(shù)據(jù)擬合

GeoGebra是一款十分重要的數(shù)學(xué)軟件. 它具有字母的邏輯運(yùn)算、統(tǒng)計(jì)、微積分等功能，集幾何圖形、數(shù)據(jù)處理、代數(shù)運(yùn)算于一體.

啟動(dòng)“GeoGebra經(jīng)典6”，在表格區(qū)域輸入表2的數(shù)據(jù). 構(gòu)造點(diǎn)列，軟件會(huì)將點(diǎn)列自動(dòng)記為“[l]1”，圖形區(qū)域也會(huì)畫出散點(diǎn)圖. 在命令輸入欄輸入“指數(shù)擬合”，得到指數(shù)函數(shù)模型[y=59.053e-0.079x]. 在命令輸入欄輸入“可決系數(shù)[R]方[l1，f]”，得到關(guān)于[fx]的[R2]的值[0.993 5]. 繼續(xù)輸入函數(shù)模型[qx=60×0.922 7x]及“可決系數(shù)[R]方[l1，q]”，得到函數(shù)模型[y=60×0.922 7x+][25 x≥0]的[R2]的值[0.984 7]，如圖5所示. 同樣地，在命令欄分別輸入“多項(xiàng)式擬合[l1，1]”“可決系數(shù)[R]方[l1，h]”“多項(xiàng)式擬合[l1，2]”“可決系數(shù)[R]方[l1，g]”，就會(huì)得到線性模型和二次多項(xiàng)式模型. 去掉點(diǎn)[0，60]構(gòu)造新點(diǎn)列[l2]，輸入冪函數(shù)擬合就會(huì)得到冪函數(shù)擬合模型，具體數(shù)值與WPS的數(shù)據(jù)都一致. 通過GeoGebra軟件不僅能方便地看到各個(gè)模型的擬合程度，還能了解每個(gè)模型的曲線形狀，如圖6所示. 從而一目了然地排除一些不符合實(shí)際條件的假設(shè)模型. 例如，二次多項(xiàng)式模型中最低點(diǎn)的值（即因變量的值）約不低于38°C;冪函數(shù)模型由于下降趨勢平穩(wěn)，長時(shí)間內(nèi)因變量的值可能不會(huì)低于20°C. 這就是表3中的二次多項(xiàng)式模型無解與冪函數(shù)模型時(shí)間長的原因，也充分說明了模型的選擇要與現(xiàn)實(shí)情況相結(jié)合，是對(duì)問題2的直觀回答.

3. 線性模型與指數(shù)模型的檢驗(yàn)分析

根據(jù)情境假設(shè)，60℃是茶水飲用效果最佳的關(guān)鍵點(diǎn). 教學(xué)中，教師和學(xué)生有必要思考在大于60℃這個(gè)高溫區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)與分析情況.

在選擇模型的過程中，如果缺少在大于60℃這個(gè)高溫區(qū)間內(nèi)對(duì)線性模型的分析與比較，就沒有很好地突破教學(xué)難點(diǎn)的表現(xiàn). 為什么這樣說呢？

首先，從表3中可以發(fā)現(xiàn)，線性模型與教材中估算得到的函數(shù)模型[y=60×0.922 7x+25 x≥0]的擬合度[R2]分別為0.982和[0.984 7]，得到最佳飲用時(shí)間分別為[6.077]和[6.699 7]，這兩個(gè)結(jié)果是十分接近的.

其次，我們知道，水在溫度較高時(shí)，溫度隨時(shí)間下降較快，當(dāng)溫度接近室溫時(shí)，溫度下降越來越慢，從而在大于60℃這個(gè)高溫區(qū)間內(nèi)，結(jié)合采集的6組數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，學(xué)生很有可能采用線性模型進(jìn)行求解.

最后，表2中的溫度和時(shí)間的數(shù)據(jù)線性相關(guān)性很強(qiáng)，不妨利用Excel（或WPS）中的“數(shù)據(jù)分析”進(jìn)行線性回歸分析，如圖7所示.

圖7的數(shù)據(jù)表明，水在高溫區(qū)間（大于等于60℃）時(shí)，時(shí)間與溫度的線性相關(guān)系數(shù)為0.99，從而線性相關(guān)性是非常強(qiáng)的. 同時(shí)，[P=0.000 122<0.001]，說明線性回歸效果顯著性水平十分明顯，置信度達(dá)到99.9%以上. 這都說明有足夠的理由需要在大于60℃這個(gè)高溫區(qū)間內(nèi)對(duì)線性模型進(jìn)行分析. 基于此分析，結(jié)合“茶水溫度在降至室溫就不能再降的事實(shí)”，比較之后選擇指數(shù)函數(shù)模型，教學(xué)過程更為自然.

三、反思與教學(xué)建議

用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題時(shí)，除了對(duì)變化過程中的常量、變量及相互關(guān)系進(jìn)行分析之外，數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)處理和數(shù)據(jù)分析的過程也顯得尤為重要. 數(shù)學(xué)建模教學(xué)中包含復(fù)雜的數(shù)據(jù)采集與分析、多種建模求解方案的嘗試，是一個(gè)不斷探索、創(chuàng)新、完善和提高的過程. 那么，如何更好地開展高中數(shù)學(xué)建模探究活動(dòng)教學(xué)呢？

1. 根據(jù)不同問題的相應(yīng)特征收集盡可能多的數(shù)據(jù)

在組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)時(shí)，需要根據(jù)不同問題的相應(yīng)特征收集盡可能多的數(shù)據(jù). 教材中的案例給出了6組數(shù)據(jù)，在實(shí)際教學(xué)中還可以根據(jù)茶水冷卻時(shí)間的快慢收集更多數(shù)據(jù).

2. 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不同數(shù)學(xué)模型的探究活動(dòng)

不同的探究方向往往能觸發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí). 因此，在解決問題的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不同數(shù)學(xué)模型的探究活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷不同數(shù)學(xué)模型對(duì)結(jié)果帶來的影響.

3. 選取能用確定的標(biāo)準(zhǔn)來衡量的實(shí)際問題

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)初期選題時(shí)，盡量選取能用確定的標(biāo)準(zhǔn)來衡量的實(shí)際問題. 情境中所謂的“口感最佳”的數(shù)學(xué)本質(zhì)實(shí)際上就是計(jì)算溫度在60℃時(shí)建立的數(shù)學(xué)模型的函數(shù)值.

4. 引導(dǎo)學(xué)生了解要解決問題的相關(guān)背景

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生了解要解決問題的相關(guān)背景（如飲茶文化的相關(guān)知識(shí)）. 實(shí)際上，學(xué)生對(duì)飲茶文化的相關(guān)知識(shí)并沒有生活積累. 曾有國外專家研究，飲用65℃ ～ 69℃茶的人群，患食道癌的風(fēng)險(xiǎn)是飲用溫度低于65℃茶者的2倍;再有研究表明，食道的黏膜只能耐受50℃ ～ 60℃的溫度，超過這個(gè)溫度范圍就會(huì)被燙傷，而60℃恰好處于臨界點(diǎn).

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)時(shí)，還要注重與信息技術(shù)的融合. 信息技術(shù)能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)與能力，盡量引導(dǎo)學(xué)生利用熟悉的數(shù)學(xué)軟件及WPS處理數(shù)據(jù)的意識(shí)，將數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)有機(jī)地結(jié)合起來，解決實(shí)際生活中的問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

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收稿日期：2021-06-23

基金項(xiàng)目：湖北省教育科學(xué)規(guī)劃課題——基于課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)與質(zhì)量測評(píng)研究（2020JB348）;

恩施州教育科學(xué)規(guī)劃課題——區(qū)域教研中推進(jìn)高中數(shù)學(xué)教師踐行課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)與質(zhì)量測評(píng)研究（ZGH202045）.

作者簡介：周威（1985— ），男，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教研與質(zhì)量測評(píng)研究.