倪燦東

摘 要：學(xué)生思維能力的養(yǎng)成與提高，根植于數(shù)學(xué)本身的魅力和邏輯體系，來(lái)源于數(shù)學(xué)資源的有效組合和設(shè)計(jì)?；趯W(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思維題需求的調(diào)查，結(jié)合內(nèi)外因的綜合分析，整體把控“數(shù)學(xué)思維題”的有效設(shè)計(jì)，過(guò)程性監(jiān)控落實(shí)成效管理，將數(shù)學(xué)思想方法和思維能力的養(yǎng)成滲透其中，提升問(wèn)題解決能力，發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：學(xué)生需求;數(shù)學(xué)思維題;有效設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)是思維的體操。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》明確提出數(shù)學(xué)思想方法是小學(xué)數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一，要培養(yǎng)學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待世界、分析和解決問(wèn)題。在生活中，數(shù)學(xué)教學(xué)更多地被家長(zhǎng)和學(xué)生期待為思維的訓(xùn)練場(chǎng)。在教學(xué)中，教師實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能作用發(fā)揮的同時(shí)也致力于發(fā)揮數(shù)學(xué)思想的作用。因此，基于學(xué)生內(nèi)在需求和數(shù)學(xué)思維功能要求的數(shù)學(xué)題設(shè)計(jì)和研究是值得每個(gè)數(shù)學(xué)教師深思的話題。

一、“數(shù)學(xué)思維題”需求調(diào)查和定位

興趣是最好的老師。對(duì)于“你喜歡做數(shù)學(xué)思維題嗎”這個(gè)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)本校六年級(jí)四個(gè)班學(xué)生的問(wèn)卷調(diào)查、個(gè)別訪談、課堂觀察，筆者了解到近七成學(xué)生是喜歡做數(shù)學(xué)思維題的（如圖1）。在“你平時(shí)會(huì)做一些‘?dāng)?shù)學(xué)思維題嗎”的回答中，“經(jīng)常做”和“經(jīng)常不做”選項(xiàng)大約各占20%，但無(wú)論是喜歡做數(shù)學(xué)思維題還是不喜歡做數(shù)學(xué)思維題，60%左右的學(xué)生會(huì)“偶爾做”數(shù)學(xué)思維題。說(shuō)明數(shù)學(xué)思維題還是存在內(nèi)在需求和“群眾基礎(chǔ)”的。對(duì)于“為什么喜歡做數(shù)學(xué)思維題”，八成以上學(xué)生喜歡“數(shù)學(xué)思維題”的原因是“想挑戰(zhàn)自己”和“鍛煉自己的思維”（如下表1）。由此可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思維題存在一定的期待。

調(diào)查中，我們也發(fā)現(xiàn)了那些不喜歡做“數(shù)學(xué)思維題”的同學(xué)給出的原因也恰好是“感覺(jué)自己不會(huì)做”或是“題目太難了”，表現(xiàn)為對(duì)自己缺乏自信和擔(dān)心題目難度大?？梢?jiàn)“數(shù)學(xué)思維題”的難易程度是左右學(xué)生喜好的一個(gè)關(guān)鍵因素。這對(duì)“數(shù)學(xué)思維題”的設(shè)計(jì)與教學(xué)提出了一種挑戰(zhàn)，也引發(fā)了不少數(shù)學(xué)教師的思考。到底怎么樣的思維題既能激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情，又能切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力？筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)思維題有別于競(jìng)賽性質(zhì)的奧數(shù)題，是建立在學(xué)生書(shū)本知識(shí)基礎(chǔ)之上，并以數(shù)學(xué)思想滲透和數(shù)學(xué)方法提煉為目的，為大部分學(xué)生喜愛(ài)的思維發(fā)展和能力提升題。它是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、規(guī)律本質(zhì)的深層次認(rèn)識(shí)，強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中形成的策略和程序，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)及方法處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的數(shù)學(xué)一般化思考。

二、“數(shù)學(xué)思維題”整體設(shè)計(jì)時(shí)機(jī)和策略

心理學(xué)研究表明：學(xué)生的思維在于后天培養(yǎng)和訓(xùn)練。要實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展和提升的需求，就要從發(fā)展學(xué)生能力入手，在解決問(wèn)題中激活學(xué)生存儲(chǔ)在頭腦中的知識(shí)，并根據(jù)需要及時(shí)提取并參與到思維活動(dòng)中。學(xué)生對(duì)于“數(shù)學(xué)思維題”的內(nèi)在需求固然存在，但絕對(duì)不是持久的，它受制于很多外在因素的影響，如教學(xué)進(jìn)度、知識(shí)的難易程度、學(xué)生的作業(yè)量等。要使“數(shù)學(xué)思維題”保持新鮮度和持久力，在出題的時(shí)機(jī)上就很有講究。因此，“數(shù)學(xué)思維題”的整體設(shè)計(jì)構(gòu)思立足于知識(shí)的發(fā)生、問(wèn)題解決、復(fù)習(xí)的過(guò)程中，針對(duì)學(xué)生的思維盲點(diǎn)、解題盲目性以及認(rèn)知盲區(qū)，結(jié)合日常的教學(xué)活動(dòng)和專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練進(jìn)行有效設(shè)計(jì)和實(shí)施。

1.在知識(shí)由表及里的發(fā)生過(guò)程中適時(shí)滲透

總體而言，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容可分為表層知識(shí)和深層知識(shí)。表層知識(shí)包含概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等基本內(nèi)容，它是知識(shí)發(fā)生的基礎(chǔ)，帶有較強(qiáng)的操作性。深層知識(shí)主要是數(shù)學(xué)思想和方法，它是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，蘊(yùn)含于表層知識(shí)之中。知識(shí)是由表及里螺旋上升的過(guò)程，學(xué)生通過(guò)對(duì)教材中表層知識(shí)的學(xué)習(xí)，才能進(jìn)一步學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的深層知識(shí)。

在知識(shí)的發(fā)生過(guò)程中設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思維題來(lái)幫助學(xué)生破解思維上的盲點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)由表及里的發(fā)展。比如在用比的知識(shí)解決問(wèn)題教學(xué)前，設(shè)計(jì)這樣的數(shù)學(xué)思維題：李明和何剛同時(shí)從兩家的中點(diǎn)反向行走。30分鐘后，李明到達(dá)何剛家，何剛離李明家還有300米，已知何剛的速度是李明的3/4，李明和何剛兩家相距多少米？開(kāi)始學(xué)生選用普通的分?jǐn)?shù)解法，相對(duì)難度較高。教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將已知條件“何剛的速度是李明的3/4”轉(zhuǎn)化為“何剛和李明的速度比是3∶4”，即相同時(shí)間內(nèi)何剛行3份，李明行了4份，李明比何剛多行1份，多行300米，也就是1份是300米。因此李明行了4乘300等于1200米，李剛行了3乘300等于900米，兩家相距2100米。表面上解決的是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，通過(guò)轉(zhuǎn)化思想用比例的知識(shí)可以采用整數(shù)解法，學(xué)生經(jīng)歷化難為易的同時(shí)也感受到了思維的靈活性。在小學(xué)階段，類(lèi)似這樣運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，從表層知識(shí)走進(jìn)深層理解的問(wèn)題還有很多。比如在圖形面積公式推導(dǎo)中，學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形面積、平行四邊形面積、三角形面積、梯形面積的公式后還可以設(shè)計(jì)這樣的思考問(wèn)題：每個(gè)圖形的面積公式與（a+b）h÷2之間有什么關(guān)系？借助幾何畫(huà)板的功能，學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以從深層次了解到：當(dāng)a=b時(shí)，就是長(zhǎng)方形和平行四邊形的面積=ah;當(dāng)a=0時(shí)，三角形的面積就是bh÷2。滲透著數(shù)學(xué)思想方法的“數(shù)學(xué)思維題”設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷新知識(shí)和舊知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化，在掌握表層知識(shí)的同時(shí)，又能領(lǐng)悟到深層知識(shí)，促使學(xué)生思維產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。

2.在問(wèn)題由外而內(nèi)的解決過(guò)程中及時(shí)出擊

培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力是數(shù)學(xué)思維教學(xué)的核心目標(biāo)。教學(xué)工作中，我們往往有這樣的困擾：平時(shí)題目練習(xí)講評(píng)得再多，學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握仍是不盡如人意。只要變化一些問(wèn)題情境的個(gè)別條件，學(xué)生就會(huì)不知所措。究其原因，部分學(xué)生停留在記憶模仿解題的水平，比較粗淺地掌握一些問(wèn)題的外在模型，而問(wèn)題的本質(zhì)或者問(wèn)題關(guān)鍵中心點(diǎn)沒(méi)有觸及。這是學(xué)生的信息篩選能力以及分析問(wèn)題的能力欠缺所致。

在解決“數(shù)學(xué)思維題”問(wèn)題的過(guò)程中，應(yīng)將數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用于解題的中心位置，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法及時(shí)出擊。小學(xué)生的習(xí)慣性錯(cuò)誤往往來(lái)源于學(xué)生解題的盲目性，沒(méi)有在解題前先思考以下幾個(gè)問(wèn)題：怎樣去想？怎樣才能想到？如何去找解題的思路？因此，要設(shè)計(jì)學(xué)生能在問(wèn)題解決中充分發(fā)揮自身數(shù)學(xué)思想的聯(lián)想、構(gòu)造。在學(xué)習(xí)圓柱體積計(jì)算時(shí)設(shè)計(jì)了這樣的問(wèn)題：在一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是12分米、10分米和8分米的長(zhǎng)方體紙箱中裝進(jìn)一個(gè)最大的圓柱體模型，這個(gè)最大圓柱體模型的體積是多少？練習(xí)時(shí)大部分學(xué)生看到“最大”，盲目地直接利用12分米作為直徑列式計(jì)算。這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖來(lái)思考，不同方向的底面和高可以形成不同的圓柱體，需要分成三種情況來(lái)思考。同時(shí)通過(guò)俯視圖和想象可知，底面圓形的大小是由短邊來(lái)確定的，切不可盲目把數(shù)據(jù)拿來(lái)就用。三種分類(lèi)形成三種列式：3.14×（10÷2）×（10÷2）×8;3.14×（8÷2）×（8÷2）×12;3.14×（8÷2）×（8÷2）×10。而在觀察對(duì)比后再次引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注底面半徑的平方與高的乘積即可。

上述問(wèn)題看似簡(jiǎn)單，學(xué)生也相當(dāng)熟悉，但要抓住問(wèn)題的本質(zhì)并非易事。設(shè)計(jì)這樣的“數(shù)學(xué)思維題”旨在改變學(xué)生解題策略，即探求問(wèn)題的本質(zhì)，由外而內(nèi)地分析結(jié)構(gòu)特征，明確條件和問(wèn)題，采取合理的途徑和方法。面臨一道數(shù)學(xué)思維題采用什么樣的策略，是學(xué)生接觸和分析問(wèn)題之后首先進(jìn)行的選擇性的思維操作。若學(xué)生能在解決問(wèn)題的過(guò)程中有效利用畫(huà)圖等手段并由外而內(nèi)地了解問(wèn)題的本質(zhì)，除了少走彎路外，還能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

3.在由內(nèi)而外的綜合復(fù)習(xí)中密集提煉概括

整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的系列教學(xué)中，綜合復(fù)習(xí)可以將內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想外顯于數(shù)學(xué)知識(shí)的體系中。復(fù)習(xí)階段的“數(shù)學(xué)思維題”設(shè)計(jì)要使學(xué)生知道：一個(gè)問(wèn)題有的可以用多種思維方式從不同角度解決，有的要用多種思維方式協(xié)同解決。

在圖形面積計(jì)算的綜合復(fù)習(xí)中蘊(yùn)含著很多知識(shí)點(diǎn)，在問(wèn)題解決中也蘊(yùn)含著不少解題策略，如圖形分割、圖形拼組、圖形變換等。因此，這個(gè)階段的數(shù)學(xué)思維題設(shè)計(jì)就不是就題論題，而是授之以“魚(yú)”后更要授之以“漁”。

如圖2，第一題的設(shè)計(jì)在于考查學(xué)生圖形變換的解題能力，要求用不同的方法，于是有的學(xué)生通過(guò)添加輔助線將原有圖形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)扇形，利用兩個(gè)扇形的面積減去兩個(gè)三角形的面積就能解決問(wèn)題。也有的學(xué)生利用方中圓的固定比關(guān)系（方外圓：圓內(nèi)方=π：2）求解問(wèn)題。第二題的設(shè)計(jì)一開(kāi)始難度很大，學(xué)生對(duì)題意的理解也存在思維困難。在教師補(bǔ)充說(shuō)明“相切”的大致含義，同時(shí)通過(guò)圖示的轉(zhuǎn)化引導(dǎo)學(xué)生與圓環(huán)的面積計(jì)算聯(lián)系起來(lái)后，學(xué)生一下子豁然開(kāi)朗。這時(shí)，解題的關(guān)鍵在于勾股定理的運(yùn)用，這成為部分學(xué)生理解上的一個(gè)“挑戰(zhàn)”，但作為六年級(jí)畢業(yè)班學(xué)生，這樣的“挑戰(zhàn)”也是可以完成的。綜合復(fù)習(xí)的“數(shù)學(xué)思維題”設(shè)計(jì)更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系，并以適當(dāng)?shù)姆绞綄?shù)學(xué)思想方法加以概括，突破知識(shí)難點(diǎn)，學(xué)生才能真正意義上領(lǐng)會(huì)和掌握。

4.在從放到收的專(zhuān)項(xiàng)設(shè)計(jì)中提煉頓悟

“數(shù)學(xué)思維題”的設(shè)計(jì)是為學(xué)生設(shè)置“疑問(wèn)”或者用變換的例題教學(xué)或者收集學(xué)生的典型錯(cuò)誤加以變式對(duì)比，當(dāng)然還可以針對(duì)某一個(gè)問(wèn)題組織學(xué)生進(jìn)行討論并探究，這均屬于專(zhuān)項(xiàng)設(shè)計(jì)與訓(xùn)練的范疇。在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)發(fā)揮學(xué)生體悟與反思概括能力，再進(jìn)行正確的思維引導(dǎo)。

學(xué)生是探究的主體，所以要設(shè)計(jì)可供學(xué)生探索的“學(xué)”材，并給學(xué)生留有時(shí)空，讓他們經(jīng)歷思維碰撞的過(guò)程。根據(jù)條件補(bǔ)充問(wèn)題，給學(xué)生開(kāi)放思考的空間。如教學(xué)“相遇問(wèn)題求時(shí)間”應(yīng)用題，練習(xí)時(shí)設(shè)計(jì)了這樣的開(kāi)放題：一輛客車(chē)和一輛貨車(chē)從相距700千米的兩地同時(shí)相向而行，客車(chē)的速度為每小時(shí)80千米，貨車(chē)的速度為每小時(shí)60千米，（? ? ）？學(xué)生根據(jù)條件來(lái)補(bǔ)充問(wèn)題，出現(xiàn)了以下幾種情況：行駛幾小時(shí)后兩車(chē)會(huì)相遇？行駛幾小時(shí)后兩車(chē)相距300千米？行駛3小時(shí)后兩車(chē)相距多少千米？行駛4小時(shí)后兩車(chē)相距多少千米？其余同學(xué)快速列式解答。但“行駛8小時(shí)后兩車(chē)相距多少千米？”這一問(wèn)題一出，大部分學(xué)生紛紛議論起來(lái)。有學(xué)生提出：總路程減去兩車(chē)的行駛路程不夠減，不能做。于是，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組討論，行駛時(shí)間應(yīng)該在什么范圍之內(nèi)，并追問(wèn)6小時(shí)后為什么就不行了。在理解相遇前和相遇時(shí)這兩種情況后，教師再次提出疑問(wèn)：難道兩車(chē)就不能行駛7小時(shí)甚至8小時(shí)，9小時(shí)？這個(gè)問(wèn)題的解決關(guān)鍵在于兩車(chē)位置的變化，分析并畫(huà)出三種情況的線段圖后，學(xué)生一下子感悟到要用行駛的路程減去原來(lái)兩車(chē)相距的路程。

在非常規(guī)的問(wèn)題面前，學(xué)生總會(huì)存在認(rèn)知的盲區(qū)，如果點(diǎn)到為止，避開(kāi)問(wèn)題，就會(huì)錯(cuò)失進(jìn)行知識(shí)拓展和思維訓(xùn)練的好題材。在開(kāi)放的題目設(shè)計(jì)中，教師針對(duì)學(xué)生當(dāng)時(shí)的思維狀況，可以暫時(shí)擱置類(lèi)似“不能計(jì)算”“超出理解”的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，由放到收，學(xué)生在已有認(rèn)知水平的提煉中配以線段圖的直觀演示，頓悟問(wèn)題的錯(cuò)誤本質(zhì)。在類(lèi)似這樣的專(zhuān)項(xiàng)設(shè)計(jì)中，沿著學(xué)生的思路把學(xué)生的思維帶入到“錯(cuò)題”中，激起學(xué)生的探究欲望，學(xué)生通過(guò)知識(shí)螺旋上升的認(rèn)知過(guò)程，思維能力得到提高，知識(shí)外延得到拓展。

三、“數(shù)學(xué)思維題”實(shí)施監(jiān)控和成效

在一項(xiàng)“遇到難題的處理方式”的調(diào)查中，選擇“等老師講解”的占12%，選擇“問(wèn)同學(xué)或問(wèn)老師”的占52%，選擇“繼續(xù)思考”的只有16%，選擇“等以后再解決”的占20%。為更好地實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)思考題”由學(xué)生的內(nèi)需外化為行動(dòng)，對(duì)“數(shù)學(xué)思維題”就有必要進(jìn)行全程監(jiān)控，落實(shí)“數(shù)學(xué)思維題”的成效機(jī)制。

1.師生達(dá)成共識(shí)，形成審題常規(guī)

在“數(shù)學(xué)思維題”的解題過(guò)程中，師生之間要形成這樣的共識(shí)：教師不輕易透露解題思路，但要“搭橋鋪路”;學(xué)生絕不能輕易放棄解題，更要“反復(fù)讀題”。也就是說(shuō)在審題常規(guī)中教師要讓學(xué)生認(rèn)真仔細(xì)讀題、逐一檢查糾錯(cuò)，學(xué)生要強(qiáng)化審題意識(shí)。師生共同建立審題常規(guī)的同時(shí)也可樹(shù)立“審題之星”，捕捉學(xué)生審題閃光點(diǎn)并進(jìn)行積極鼓勵(lì)，激起學(xué)生的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)，發(fā)揮榜樣的引領(lǐng)作用。

2.多元評(píng)價(jià)機(jī)制，形成制度保障

興趣的持續(xù)關(guān)鍵在于不斷積極地評(píng)價(jià)。抓住學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)思考題”的內(nèi)在需求，配合老師的及時(shí)評(píng)價(jià)和活動(dòng)安排，讓學(xué)生盡力去完成自己感興趣的事情，主動(dòng)去探索、研究，努力尋找方法，使問(wèn)題得到解決。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，結(jié)合老師、家長(zhǎng)、伙伴的評(píng)價(jià)設(shè)置思維對(duì)對(duì)碰、解題小明星、智慧小達(dá)人、編題小能手、思維大挑戰(zhàn)等稱(chēng)號(hào)或活動(dòng)。這樣的積極評(píng)價(jià)讓自己的行為得到別人的認(rèn)可，得到家長(zhǎng)的認(rèn)可，得到老師的認(rèn)可，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更感興趣。

3.建立研討小組，懲罰與激勵(lì)并行

小組是學(xué)生學(xué)習(xí)的精神家園。組長(zhǎng)是小組的核心和靈魂，是教師得力的助手。日常管理中教師可以先確定好數(shù)學(xué)思維題研討小組組長(zhǎng)，由組長(zhǎng)自選組員組成4到8人不等的團(tuán)隊(duì)。每個(gè)團(tuán)隊(duì)在完成教師思維題的同時(shí)也可自編一些數(shù)學(xué)思維題進(jìn)行組內(nèi)和組間交流，形成團(tuán)結(jié)協(xié)作地完成各項(xiàng)任務(wù)的激勵(lì)機(jī)制。

如果將學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)看作一個(gè)坐標(biāo)系，那么數(shù)學(xué)知識(shí)、技能就好比橫軸上的因素，而數(shù)學(xué)思想方法則是縱軸的內(nèi)容。數(shù)學(xué)思維題的設(shè)計(jì)切忌求難、求新，而是要用一個(gè)個(gè)充滿(mǎn)數(shù)學(xué)味的數(shù)學(xué)問(wèn)題在思維缺席處、在深度匱乏處、在模糊歧義處窮追不舍，直到學(xué)生出彩地解決問(wèn)題。我們期待數(shù)學(xué)思維題成為坐標(biāo)中牽線的橋梁，教師成為這座橋梁的設(shè)計(jì)師。滿(mǎn)足學(xué)生的內(nèi)在需求，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)意識(shí)，形成良好的思維素質(zhì)，依托數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練把學(xué)生這種思想內(nèi)化成自己的觀點(diǎn)并外化應(yīng)用到問(wèn)題解決中，努力把各種知識(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法表層化，這也是未來(lái)數(shù)學(xué)教育改革的趨勢(shì)。

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編輯 趙飛飛