倪燦東
摘 要:學(xué)生思維能力的養(yǎng)成與提高,根植于數(shù)學(xué)本身的魅力和邏輯體系,來源于數(shù)學(xué)資源的有效組合和設(shè)計(jì)?;趯W(xué)生對數(shù)學(xué)思維題需求的調(diào)查,結(jié)合內(nèi)外因的綜合分析,整體把控“數(shù)學(xué)思維題”的有效設(shè)計(jì),過程性監(jiān)控落實(shí)成效管理,將數(shù)學(xué)思想方法和思維能力的養(yǎng)成滲透其中,提升問題解決能力,發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)。
關(guān)鍵詞:學(xué)生需求;數(shù)學(xué)思維題;有效設(shè)計(jì)
數(shù)學(xué)是思維的體操?!读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》明確提出數(shù)學(xué)思想方法是小學(xué)數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一,要培養(yǎng)學(xué)生逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待世界、分析和解決問題。在生活中,數(shù)學(xué)教學(xué)更多地被家長和學(xué)生期待為思維的訓(xùn)練場。在教學(xué)中,教師實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識和技能作用發(fā)揮的同時(shí)也致力于發(fā)揮數(shù)學(xué)思想的作用。因此,基于學(xué)生內(nèi)在需求和數(shù)學(xué)思維功能要求的數(shù)學(xué)題設(shè)計(jì)和研究是值得每個(gè)數(shù)學(xué)教師深思的話題。
一、“數(shù)學(xué)思維題”需求調(diào)查和定位
興趣是最好的老師。對于“你喜歡做數(shù)學(xué)思維題嗎”這個(gè)問題,通過對本校六年級四個(gè)班學(xué)生的問卷調(diào)查、個(gè)別訪談、課堂觀察,筆者了解到近七成學(xué)生是喜歡做數(shù)學(xué)思維題的(如圖1)。在“你平時(shí)會做一些‘?dāng)?shù)學(xué)思維題嗎”的回答中,“經(jīng)常做”和“經(jīng)常不做”選項(xiàng)大約各占20%,但無論是喜歡做數(shù)學(xué)思維題還是不喜歡做數(shù)學(xué)思維題,60%左右的學(xué)生會“偶爾做”數(shù)學(xué)思維題。說明數(shù)學(xué)思維題還是存在內(nèi)在需求和“群眾基礎(chǔ)”的。對于“為什么喜歡做數(shù)學(xué)思維題”,八成以上學(xué)生喜歡“數(shù)學(xué)思維題”的原因是“想挑戰(zhàn)自己”和“鍛煉自己的思維”(如下表1)。由此可見,學(xué)生對數(shù)學(xué)思維題存在一定的期待。
調(diào)查中,我們也發(fā)現(xiàn)了那些不喜歡做“數(shù)學(xué)思維題”的同學(xué)給出的原因也恰好是“感覺自己不會做”或是“題目太難了”,表現(xiàn)為對自己缺乏自信和擔(dān)心題目難度大??梢姟皵?shù)學(xué)思維題”的難易程度是左右學(xué)生喜好的一個(gè)關(guān)鍵因素。這對“數(shù)學(xué)思維題”的設(shè)計(jì)與教學(xué)提出了一種挑戰(zhàn),也引發(fā)了不少數(shù)學(xué)教師的思考。到底怎么樣的思維題既能激發(fā)學(xué)生的興趣和熱情,又能切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力?筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)思維題有別于競賽性質(zhì)的奧數(shù)題,是建立在學(xué)生書本知識基礎(chǔ)之上,并以數(shù)學(xué)思想滲透和數(shù)學(xué)方法提煉為目的,為大部分學(xué)生喜愛的思維發(fā)展和能力提升題。它是對數(shù)學(xué)知識、方法、規(guī)律本質(zhì)的深層次認(rèn)識,強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題中形成的策略和程序,綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識及方法處理數(shù)學(xué)問題時(shí)的數(shù)學(xué)一般化思考。
二、“數(shù)學(xué)思維題”整體設(shè)計(jì)時(shí)機(jī)和策略
心理學(xué)研究表明:學(xué)生的思維在于后天培養(yǎng)和訓(xùn)練。要實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展和提升的需求,就要從發(fā)展學(xué)生能力入手,在解決問題中激活學(xué)生存儲在頭腦中的知識,并根據(jù)需要及時(shí)提取并參與到思維活動中。學(xué)生對于“數(shù)學(xué)思維題”的內(nèi)在需求固然存在,但絕對不是持久的,它受制于很多外在因素的影響,如教學(xué)進(jìn)度、知識的難易程度、學(xué)生的作業(yè)量等。要使“數(shù)學(xué)思維題”保持新鮮度和持久力,在出題的時(shí)機(jī)上就很有講究。因此,“數(shù)學(xué)思維題”的整體設(shè)計(jì)構(gòu)思立足于知識的發(fā)生、問題解決、復(fù)習(xí)的過程中,針對學(xué)生的思維盲點(diǎn)、解題盲目性以及認(rèn)知盲區(qū),結(jié)合日常的教學(xué)活動和專項(xiàng)訓(xùn)練進(jìn)行有效設(shè)計(jì)和實(shí)施。
1.在知識由表及里的發(fā)生過程中適時(shí)滲透
總體而言,數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容可分為表層知識和深層知識。表層知識包含概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等基本內(nèi)容,它是知識發(fā)生的基礎(chǔ),帶有較強(qiáng)的操作性。深層知識主要是數(shù)學(xué)思想和方法,它是以數(shù)學(xué)知識為載體,蘊(yùn)含于表層知識之中。知識是由表及里螺旋上升的過程,學(xué)生通過對教材中表層知識的學(xué)習(xí),才能進(jìn)一步學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的深層知識。
在知識的發(fā)生過程中設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)思維題來幫助學(xué)生破解思維上的盲點(diǎn),實(shí)現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識由表及里的發(fā)展。比如在用比的知識解決問題教學(xué)前,設(shè)計(jì)這樣的數(shù)學(xué)思維題:李明和何剛同時(shí)從兩家的中點(diǎn)反向行走。30分鐘后,李明到達(dá)何剛家,何剛離李明家還有300米,已知何剛的速度是李明的3/4,李明和何剛兩家相距多少米?開始學(xué)生選用普通的分?jǐn)?shù)解法,相對難度較高。教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將已知條件“何剛的速度是李明的3/4”轉(zhuǎn)化為“何剛和李明的速度比是3∶4”,即相同時(shí)間內(nèi)何剛行3份,李明行了4份,李明比何剛多行1份,多行300米,也就是1份是300米。因此李明行了4乘300等于1200米,李剛行了3乘300等于900米,兩家相距2100米。表面上解決的是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題,通過轉(zhuǎn)化思想用比例的知識可以采用整數(shù)解法,學(xué)生經(jīng)歷化難為易的同時(shí)也感受到了思維的靈活性。在小學(xué)階段,類似這樣運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,從表層知識走進(jìn)深層理解的問題還有很多。比如在圖形面積公式推導(dǎo)中,學(xué)習(xí)了長方形面積、平行四邊形面積、三角形面積、梯形面積的公式后還可以設(shè)計(jì)這樣的思考問題:每個(gè)圖形的面積公式與(a+b)h÷2之間有什么關(guān)系?借助幾何畫板的功能,學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以從深層次了解到:當(dāng)a=b時(shí),就是長方形和平行四邊形的面積=ah;當(dāng)a=0時(shí),三角形的面積就是bh÷2。滲透著數(shù)學(xué)思想方法的“數(shù)學(xué)思維題”設(shè)計(jì),讓學(xué)生經(jīng)歷新知識和舊知識之間的轉(zhuǎn)化,在掌握表層知識的同時(shí),又能領(lǐng)悟到深層知識,促使學(xué)生思維產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。
2.在問題由外而內(nèi)的解決過程中及時(shí)出擊
培養(yǎng)學(xué)生解決問題的綜合能力是數(shù)學(xué)思維教學(xué)的核心目標(biāo)。教學(xué)工作中,我們往往有這樣的困擾:平時(shí)題目練習(xí)講評得再多,學(xué)生對知識的掌握仍是不盡如人意。只要變化一些問題情境的個(gè)別條件,學(xué)生就會不知所措。究其原因,部分學(xué)生停留在記憶模仿解題的水平,比較粗淺地掌握一些問題的外在模型,而問題的本質(zhì)或者問題關(guān)鍵中心點(diǎn)沒有觸及。這是學(xué)生的信息篩選能力以及分析問題的能力欠缺所致。
在解決“數(shù)學(xué)思維題”問題的過程中,應(yīng)將數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用于解題的中心位置,運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法及時(shí)出擊。小學(xué)生的習(xí)慣性錯(cuò)誤往往來源于學(xué)生解題的盲目性,沒有在解題前先思考以下幾個(gè)問題:怎樣去想?怎樣才能想到?如何去找解題的思路?因此,要設(shè)計(jì)學(xué)生能在問題解決中充分發(fā)揮自身數(shù)學(xué)思想的聯(lián)想、構(gòu)造。在學(xué)習(xí)圓柱體積計(jì)算時(shí)設(shè)計(jì)了這樣的問題:在一個(gè)長、寬、高分別是12分米、10分米和8分米的長方體紙箱中裝進(jìn)一個(gè)最大的圓柱體模型,這個(gè)最大圓柱體模型的體積是多少?練習(xí)時(shí)大部分學(xué)生看到“最大”,盲目地直接利用12分米作為直徑列式計(jì)算。這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生畫圖來思考,不同方向的底面和高可以形成不同的圓柱體,需要分成三種情況來思考。同時(shí)通過俯視圖和想象可知,底面圓形的大小是由短邊來確定的,切不可盲目把數(shù)據(jù)拿來就用。三種分類形成三種列式:3.14×(10÷2)×(10÷2)×8;3.14×(8÷2)×(8÷2)×12;3.14×(8÷2)×(8÷2)×10。而在觀察對比后再次引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注底面半徑的平方與高的乘積即可。
上述問題看似簡單,學(xué)生也相當(dāng)熟悉,但要抓住問題的本質(zhì)并非易事。設(shè)計(jì)這樣的“數(shù)學(xué)思維題”旨在改變學(xué)生解題策略,即探求問題的本質(zhì),由外而內(nèi)地分析結(jié)構(gòu)特征,明確條件和問題,采取合理的途徑和方法。面臨一道數(shù)學(xué)思維題采用什么樣的策略,是學(xué)生接觸和分析問題之后首先進(jìn)行的選擇性的思維操作。若學(xué)生能在解決問題的過程中有效利用畫圖等手段并由外而內(nèi)地了解問題的本質(zhì),除了少走彎路外,還能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。
3.在由內(nèi)而外的綜合復(fù)習(xí)中密集提煉概括
整個(gè)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)的系列教學(xué)中,綜合復(fù)習(xí)可以將內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思想外顯于數(shù)學(xué)知識的體系中。復(fù)習(xí)階段的“數(shù)學(xué)思維題”設(shè)計(jì)要使學(xué)生知道:一個(gè)問題有的可以用多種思維方式從不同角度解決,有的要用多種思維方式協(xié)同解決。
在圖形面積計(jì)算的綜合復(fù)習(xí)中蘊(yùn)含著很多知識點(diǎn),在問題解決中也蘊(yùn)含著不少解題策略,如圖形分割、圖形拼組、圖形變換等。因此,這個(gè)階段的數(shù)學(xué)思維題設(shè)計(jì)就不是就題論題,而是授之以“魚”后更要授之以“漁”。
如圖2,第一題的設(shè)計(jì)在于考查學(xué)生圖形變換的解題能力,要求用不同的方法,于是有的學(xué)生通過添加輔助線將原有圖形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)扇形,利用兩個(gè)扇形的面積減去兩個(gè)三角形的面積就能解決問題。也有的學(xué)生利用方中圓的固定比關(guān)系(方外圓:圓內(nèi)方=π:2)求解問題。第二題的設(shè)計(jì)一開始難度很大,學(xué)生對題意的理解也存在思維困難。在教師補(bǔ)充說明“相切”的大致含義,同時(shí)通過圖示的轉(zhuǎn)化引導(dǎo)學(xué)生與圓環(huán)的面積計(jì)算聯(lián)系起來后,學(xué)生一下子豁然開朗。這時(shí),解題的關(guān)鍵在于勾股定理的運(yùn)用,這成為部分學(xué)生理解上的一個(gè)“挑戰(zhàn)”,但作為六年級畢業(yè)班學(xué)生,這樣的“挑戰(zhàn)”也是可以完成的。綜合復(fù)習(xí)的“數(shù)學(xué)思維題”設(shè)計(jì)更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)相關(guān)知識之間的聯(lián)系,并以適當(dāng)?shù)姆绞綄?shù)學(xué)思想方法加以概括,突破知識難點(diǎn),學(xué)生才能真正意義上領(lǐng)會和掌握。
4.在從放到收的專項(xiàng)設(shè)計(jì)中提煉頓悟
“數(shù)學(xué)思維題”的設(shè)計(jì)是為學(xué)生設(shè)置“疑問”或者用變換的例題教學(xué)或者收集學(xué)生的典型錯(cuò)誤加以變式對比,當(dāng)然還可以針對某一個(gè)問題組織學(xué)生進(jìn)行討論并探究,這均屬于專項(xiàng)設(shè)計(jì)與訓(xùn)練的范疇。在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)發(fā)揮學(xué)生體悟與反思概括能力,再進(jìn)行正確的思維引導(dǎo)。
學(xué)生是探究的主體,所以要設(shè)計(jì)可供學(xué)生探索的“學(xué)”材,并給學(xué)生留有時(shí)空,讓他們經(jīng)歷思維碰撞的過程。根據(jù)條件補(bǔ)充問題,給學(xué)生開放思考的空間。如教學(xué)“相遇問題求時(shí)間”應(yīng)用題,練習(xí)時(shí)設(shè)計(jì)了這樣的開放題:一輛客車和一輛貨車從相距700千米的兩地同時(shí)相向而行,客車的速度為每小時(shí)80千米,貨車的速度為每小時(shí)60千米,(? ? )?學(xué)生根據(jù)條件來補(bǔ)充問題,出現(xiàn)了以下幾種情況:行駛幾小時(shí)后兩車會相遇?行駛幾小時(shí)后兩車相距300千米?行駛3小時(shí)后兩車相距多少千米?行駛4小時(shí)后兩車相距多少千米?其余同學(xué)快速列式解答。但“行駛8小時(shí)后兩車相距多少千米?”這一問題一出,大部分學(xué)生紛紛議論起來。有學(xué)生提出:總路程減去兩車的行駛路程不夠減,不能做。于是,教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組討論,行駛時(shí)間應(yīng)該在什么范圍之內(nèi),并追問6小時(shí)后為什么就不行了。在理解相遇前和相遇時(shí)這兩種情況后,教師再次提出疑問:難道兩車就不能行駛7小時(shí)甚至8小時(shí),9小時(shí)?這個(gè)問題的解決關(guān)鍵在于兩車位置的變化,分析并畫出三種情況的線段圖后,學(xué)生一下子感悟到要用行駛的路程減去原來兩車相距的路程。
在非常規(guī)的問題面前,學(xué)生總會存在認(rèn)知的盲區(qū),如果點(diǎn)到為止,避開問題,就會錯(cuò)失進(jìn)行知識拓展和思維訓(xùn)練的好題材。在開放的題目設(shè)計(jì)中,教師針對學(xué)生當(dāng)時(shí)的思維狀況,可以暫時(shí)擱置類似“不能計(jì)算”“超出理解”的錯(cuò)誤認(rèn)識,由放到收,學(xué)生在已有認(rèn)知水平的提煉中配以線段圖的直觀演示,頓悟問題的錯(cuò)誤本質(zhì)。在類似這樣的專項(xiàng)設(shè)計(jì)中,沿著學(xué)生的思路把學(xué)生的思維帶入到“錯(cuò)題”中,激起學(xué)生的探究欲望,學(xué)生通過知識螺旋上升的認(rèn)知過程,思維能力得到提高,知識外延得到拓展。
三、“數(shù)學(xué)思維題”實(shí)施監(jiān)控和成效
在一項(xiàng)“遇到難題的處理方式”的調(diào)查中,選擇“等老師講解”的占12%,選擇“問同學(xué)或問老師”的占52%,選擇“繼續(xù)思考”的只有16%,選擇“等以后再解決”的占20%。為更好地實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)思考題”由學(xué)生的內(nèi)需外化為行動,對“數(shù)學(xué)思維題”就有必要進(jìn)行全程監(jiān)控,落實(shí)“數(shù)學(xué)思維題”的成效機(jī)制。
1.師生達(dá)成共識,形成審題常規(guī)
在“數(shù)學(xué)思維題”的解題過程中,師生之間要形成這樣的共識:教師不輕易透露解題思路,但要“搭橋鋪路”;學(xué)生絕不能輕易放棄解題,更要“反復(fù)讀題”。也就是說在審題常規(guī)中教師要讓學(xué)生認(rèn)真仔細(xì)讀題、逐一檢查糾錯(cuò),學(xué)生要強(qiáng)化審題意識。師生共同建立審題常規(guī)的同時(shí)也可樹立“審題之星”,捕捉學(xué)生審題閃光點(diǎn)并進(jìn)行積極鼓勵(lì),激起學(xué)生的競爭意識,發(fā)揮榜樣的引領(lǐng)作用。
2.多元評價(jià)機(jī)制,形成制度保障
興趣的持續(xù)關(guān)鍵在于不斷積極地評價(jià)。抓住學(xué)生對“數(shù)學(xué)思考題”的內(nèi)在需求,配合老師的及時(shí)評價(jià)和活動安排,讓學(xué)生盡力去完成自己感興趣的事情,主動去探索、研究,努力尋找方法,使問題得到解決。在學(xué)習(xí)過程中,結(jié)合老師、家長、伙伴的評價(jià)設(shè)置思維對對碰、解題小明星、智慧小達(dá)人、編題小能手、思維大挑戰(zhàn)等稱號或活動。這樣的積極評價(jià)讓自己的行為得到別人的認(rèn)可,得到家長的認(rèn)可,得到老師的認(rèn)可,讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更感興趣。
3.建立研討小組,懲罰與激勵(lì)并行
小組是學(xué)生學(xué)習(xí)的精神家園。組長是小組的核心和靈魂,是教師得力的助手。日常管理中教師可以先確定好數(shù)學(xué)思維題研討小組組長,由組長自選組員組成4到8人不等的團(tuán)隊(duì)。每個(gè)團(tuán)隊(duì)在完成教師思維題的同時(shí)也可自編一些數(shù)學(xué)思維題進(jìn)行組內(nèi)和組間交流,形成團(tuán)結(jié)協(xié)作地完成各項(xiàng)任務(wù)的激勵(lì)機(jī)制。
如果將學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)看作一個(gè)坐標(biāo)系,那么數(shù)學(xué)知識、技能就好比橫軸上的因素,而數(shù)學(xué)思想方法則是縱軸的內(nèi)容。數(shù)學(xué)思維題的設(shè)計(jì)切忌求難、求新,而是要用一個(gè)個(gè)充滿數(shù)學(xué)味的數(shù)學(xué)問題在思維缺席處、在深度匱乏處、在模糊歧義處窮追不舍,直到學(xué)生出彩地解決問題。我們期待數(shù)學(xué)思維題成為坐標(biāo)中牽線的橋梁,教師成為這座橋梁的設(shè)計(jì)師。滿足學(xué)生的內(nèi)在需求,增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)意識,形成良好的思維素質(zhì),依托數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練把學(xué)生這種思想內(nèi)化成自己的觀點(diǎn)并外化應(yīng)用到問題解決中,努力把各種知識所表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想方法表層化,這也是未來數(shù)學(xué)教育改革的趨勢。
參考文獻(xiàn):
[1]范秀平.淺談數(shù)學(xué)思想方法及其在教學(xué)中的滲透[J].新課程導(dǎo)學(xué),2013(12).
[2]張兆德.讓數(shù)學(xué)思想之花在課堂綻放[J].科學(xué)咨詢(教育科研),2014(1).
[3]于靜.如何對小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行有效評價(jià)[J].新課程(小學(xué)),2013(9).
[4]黃愛華.智慧數(shù)學(xué)課:黃愛華教學(xué)思維的實(shí)踐策略[M].南京:江蘇教育出版社,2010-10.
[5]唐彩斌.唐彩斌與能力為重的小學(xué)數(shù)學(xué)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2017-09.
編輯 趙飛飛