吳福周　王偉

摘 要：新高考更加注重對學(xué)生核心素養(yǎng)及綜合能力的考查。在此背景下，如何實(shí)施教學(xué)成為一個重要的話題。開展高中數(shù)學(xué)校本課程開發(fā)與應(yīng)用研究顯得意義深刻。文章闡述了高中校本課程開發(fā)與應(yīng)用，“數(shù)學(xué)文化”的實(shí)踐與思考。開發(fā)與實(shí)施該課程時，應(yīng)著力凸顯“四性”：趣味性、人文性、應(yīng)用性、思想性，呈現(xiàn)凸顯“四性”的教學(xué)案例，并將其作為開發(fā)與實(shí)施高中數(shù)學(xué)文化類課程的參考。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化;校本課程;課程開發(fā);教學(xué)實(shí)踐;數(shù)學(xué)任務(wù)

一、 校本課程“數(shù)學(xué)文化”研究緣起

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》倡導(dǎo)把數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容，不斷發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。當(dāng)前的教學(xué)實(shí)踐普遍存在著數(shù)學(xué)文化缺失的現(xiàn)象，因此開發(fā)與實(shí)施高品質(zhì)的“數(shù)學(xué)文化”校本課程具有重要的教學(xué)實(shí)踐價值。鑒于這樣的認(rèn)識和考量，近年來，筆者依據(jù)學(xué)校的辦學(xué)特色和學(xué)情，在高中階段進(jìn)行了開發(fā)與實(shí)施校本課程“數(shù)學(xué)文化”的實(shí)踐性探索，取得了良好的教學(xué)效果?，F(xiàn)將相關(guān)實(shí)踐與思考整理成文，敬請同行指正。

二、 著力凸顯“四性”，構(gòu)建精品課程

（一）趣味性：引人入勝，品味數(shù)學(xué)之趣

在很多學(xué)生眼里，數(shù)學(xué)抽象乏味，并無趣味可言。因此作為校本課程的數(shù)學(xué)文化課，首要任務(wù)就是引領(lǐng)學(xué)生品味數(shù)學(xué)之趣，以數(shù)學(xué)之趣引人入勝，激發(fā)求知之欲。

以“漫話解析幾何”為例，筆者將守株待兔、笛卡爾之夢、蜘蛛網(wǎng)軼聞、愛心曲線和數(shù)學(xué)情書等5個饒有趣味的文化素材串聯(lián)成章，學(xué)生無不覺得數(shù)學(xué)有趣，陶醉其中。

以“常數(shù)傳奇”為例，在講圓周率π時，筆者以一則故事引出一段諧音妙語收尾：“山巔一寺一壺酒（3.14159），爾樂苦煞吾（26535），把酒吃（897），酒殺爾（932），殺不死（384），遛爾遛死（6264），扇扇刮（338），扇耳吃酒（3279）。”稍等片刻，筆者詢問學(xué)生是否能夠記住圓周率，話音剛落，就有學(xué)生站起來迅速背出圓周率小數(shù)點(diǎn)后30位，引發(fā)全體學(xué)生的喝彩。

（二）人文性：超越時空，經(jīng)歷數(shù)學(xué)之旅

追求文理交融、貫通數(shù)學(xué)古今是數(shù)學(xué)文化課的內(nèi)在追求。數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化課的重要載體，通過引領(lǐng)學(xué)生超越時空疆界，經(jīng)歷數(shù)學(xué)之旅，體悟數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，并以數(shù)學(xué)家的勵志故事，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和人文精神。

以“常數(shù)傳奇”為例，在研究自然常數(shù)e時，教師引領(lǐng)學(xué)生一起走近數(shù)學(xué)大師歐拉，學(xué)習(xí)了解“數(shù)學(xué)英雄”歐拉不平凡的生平和貢獻(xiàn)，之后教師以歐拉身殘志堅(jiān)、百折不饒的精神激勵學(xué)生發(fā)揚(yáng)學(xué)校所倡導(dǎo)的求進(jìn)精神，珍惜大好青春，不斷奮發(fā)求進(jìn)。

（三）應(yīng)用性：探因析理，認(rèn)識數(shù)學(xué)之用

“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)到底有什么用”，這是困擾學(xué)生的大問題。不解決這個問題，學(xué)生很難對數(shù)學(xué)感興趣，只能是為應(yīng)付考試而被動地接受數(shù)學(xué)教育。事實(shí)上，數(shù)學(xué)廣泛應(yīng)用于社會生活的方方面面。

以“數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)文化”為例，在談到為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化時，通過“企業(yè)招工中的數(shù)學(xué)問題”“巧用方程思想解決3根導(dǎo)線的問題”“作為數(shù)學(xué)教授的大學(xué)校長”等案例展現(xiàn)“唯有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能使人終身受益”，引發(fā)了學(xué)生的共鳴和沉思。

以“數(shù)據(jù)與人生設(shè)計(jì)”為例，教學(xué)流程如下：先從生活在大數(shù)據(jù)時代說起，繼而感受身邊的數(shù)據(jù)“謊言”，包括“騙人”的平均數(shù)、“蒙人”的絕對數(shù)、“虛幻”的相對數(shù);再以語言學(xué)字頻研究和二戰(zhàn)史實(shí)為例講述統(tǒng)計(jì)學(xué)的應(yīng)用;最后以案例“公說公有理，婆說婆有理”和選舉悖論結(jié)尾，課堂氣氛達(dá)到高潮?？v觀整個教學(xué)流程，以數(shù)學(xué)應(yīng)用為主線，幫助學(xué)生充分感受統(tǒng)計(jì)學(xué)的廣泛應(yīng)用。

（四）思想性：追根求源，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)之魂

數(shù)學(xué)文化課不能脫離數(shù)學(xué)談文化，仍要凸顯課堂的“數(shù)學(xué)味”，著力提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。通過精心設(shè)計(jì)本真問題驅(qū)動學(xué)生火熱的思考，追根求源，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識背后內(nèi)隱的數(shù)學(xué)精神、思想和方法。

以“走進(jìn)無窮的世界”為例，筆者的設(shè)計(jì)融入蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修1的閱讀材料，從教師點(diǎn)名時對應(yīng)思想的應(yīng)用談起，再到古人樸素的對應(yīng)思想，繼而自然地將對應(yīng)思想引入到無限的世界。

以“不可思議的無理數(shù)”為例，筆者設(shè)計(jì)了以下教學(xué)環(huán)節(jié)：1）從勾股定理說起;2）萬物皆數(shù)學(xué)說;3）無理數(shù)的發(fā)現(xiàn);4）第一次數(shù)學(xué)危機(jī)（西方數(shù)、形分離，中國卻有截然不同的處理）;5）數(shù)系的擴(kuò)張和危機(jī)的解決，感受有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別;6）強(qiáng)大的反證法。在“無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)”環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生初步感知、運(yùn)用反證法證明無理數(shù)，在“強(qiáng)大的反證法”環(huán)節(jié)，再次回歸、研究反證法，感受、理解、運(yùn)用反證法，體現(xiàn)了濃厚的“數(shù)學(xué)味”。

三、 校本課程“數(shù)學(xué)文化”案例——“走進(jìn)無限的世界”

教學(xué)目標(biāo)感悟數(shù)學(xué)源于生活，高于生活;經(jīng)歷對若干悖論和問題的思考，了解從有限到無限的質(zhì)變，深化對集合和對應(yīng)思想的理解;發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、創(chuàng)新思維等數(shù)學(xué)素養(yǎng);培育數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)閱讀的興趣。具體的教學(xué)過程如下：

（一）無限：從感知到證明

著名數(shù)學(xué)家外爾曾說：“數(shù)學(xué)是關(guān)于無限的科學(xué)?！笨墒侨说母兄怯邢薜模怯邢薜?，日常接觸的數(shù)字也是有限的，如何能感覺到無限的存在？但確實(shí)也有人感到了無限：中國古代《莊子》：一尺之錘，日取其半，萬世不竭;古希臘德謨克利特：一條短短的線段由無數(shù)多個點(diǎn)（原子）構(gòu)成。

問題1：證明有無限多個正整數(shù)。

探究1：嘗試證明有無限多個素?cái)?shù)。

設(shè)計(jì)意圖以數(shù)學(xué)名言和日常生活的思考引入課題，凸顯人文性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，初步感知無限的世界。再通過無限問題的反證法證明，初步理解反證法，感悟數(shù)學(xué)證明的應(yīng)用性。

（二）嬗變：從有限到無限

阿基米德與烏龜賽跑的故事：阿基米德是古希臘傳說中跑得很快的神，芝諾卻稱他可以證明：如果讓烏龜先爬出一段距離，那么阿基米德永遠(yuǎn)追不上烏龜。

伽利略的困惑平方數(shù)集{1，4，9，…，n2，…}是正整數(shù)集的真子集，但伽利略知道平方數(shù)集中元素個數(shù)并不比正整數(shù)少。你能給出解釋嗎？

問題2：兩集合一一對應(yīng)，推出兩集合的元素個數(shù)相等;“部分小于全體”，推出兩集合的元素個數(shù)不相等，形成悖論。該怎么解釋這個悖論？

教師引導(dǎo)教室里有50個座位，教師走進(jìn)教室，看到坐滿了人，無需點(diǎn)名便知聽課人數(shù)為50。因?yàn)槊總€人坐一個座位，每個座位都坐一個人，兩者一一對應(yīng)，從而聽課人數(shù)與座位數(shù)相等。遠(yuǎn)古時代，人類還不會記數(shù)。比如養(yǎng)了7只羊，但是羊少了卻能及時發(fā)現(xiàn)，你知道他們是怎么做到的嗎？可以用石頭與羊?qū)?yīng)，一個石頭對應(yīng)一只羊，如果不能一一對應(yīng)，則說明羊少了。

反思小結(jié)在有限集中，部分總是小于全體（《幾何原本》中的公理）;在無限集中，部分可以等于全體（無限的本質(zhì)）。

設(shè)計(jì)意圖以兩個饒有趣味性和人文性的悖論引發(fā)認(rèn)知沖突，激起求知欲，引發(fā)學(xué)生的思考討論，再從最樸素的簡單事實(shí)出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生打破思維定勢，用對應(yīng)思想看問題，初步小結(jié)出有限與無限的本質(zhì)區(qū)別，凸顯數(shù)學(xué)文化的思想性。

（三）革命：從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)

建立聯(lián)系從有限到無限，從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)，存在諸多重大區(qū)別，那么兩者是否有聯(lián)系呢？答案是肯定的，如（1）數(shù)學(xué)歸納法;（2）極限：通過有限的方法，描述無限的過程;（3）無窮級數(shù)：通過有限的步驟，求出無限次運(yùn)算的結(jié)果。

希爾伯特旅館一個擁有“無限個房間”的旅館，并已客滿。對于下列3種情形，旅館主人能否安排客人都住進(jìn)旅館（“無限個房間”“客滿”分別是什么意思）？

1. 若客滿后又來了1個客人;

2. 若客滿后又來了1個旅游團(tuán)，且該旅游團(tuán)有無窮多個客人;

3. 若客滿后又來了1萬個旅游團(tuán)，且每個旅游團(tuán)都有無窮多個客人。

設(shè)計(jì)意圖從有限和無限的區(qū)別再回歸到兩者的聯(lián)系，幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)性，凸顯數(shù)學(xué)文化的趣味性和思想性。最后以希爾伯特旅館問題作為趣味思考題結(jié)尾，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會閱讀、學(xué)會抽象、學(xué)會思考。

四、 校本課程開發(fā)的問題

（一）日常的高中數(shù)學(xué)教學(xué)離不開書本教材，所以在發(fā)展校本課程時優(yōu)先考慮到的就是編寫教材。正是因?yàn)檫@一點(diǎn)，很多學(xué)校直接把高中數(shù)學(xué)校本課程建設(shè)定義為編寫教材，但其實(shí)高中數(shù)學(xué)校本課程不只是編寫教材。只是根據(jù)不同地區(qū)、不同環(huán)境而產(chǎn)生的更符合實(shí)際的教學(xué)方法，校本課程是數(shù)學(xué)學(xué)科課程的延伸。學(xué)生能夠從中學(xué)到對生活有幫助、對未來有規(guī)劃的知識，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

（二）有些教師并沒有完全了解校本課程建設(shè)的目的。他們認(rèn)為只要編寫一套全新的課程，概念的教材就可以完成任務(wù)。但事實(shí)并非如此，校本課程建設(shè)是教師通過對本校學(xué)生的分析，從而針對本校學(xué)生編制的一套教學(xué)方法，它是所有教師一起努力的結(jié)果。在這個過程中不僅可以促進(jìn)教師和學(xué)生之間的關(guān)系發(fā)展，還可以讓教師在此過程中得到鍛煉，更讓學(xué)生得到幫助。在校本課程建設(shè)中，需要教師的不斷努力，認(rèn)真負(fù)責(zé)，才能編寫出良好的校本課程。

五、 提升核心素養(yǎng)的校本課程開發(fā)的實(shí)踐價值

（一）喚醒學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣

對實(shí)際問題的解決更加促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，教師的正確引導(dǎo)，學(xué)生形成正確的思維邏輯，在解決數(shù)學(xué)問題上，產(chǎn)生濃厚的興趣，由簡入深，扎實(shí)基礎(chǔ)。

（二）學(xué)生的參與程度

平時遇到問題難題時，學(xué)生在教師的號召下，深悟題目，尋找方法讓學(xué)生在解題后能夠找到優(yōu)越感、成就感，體會數(shù)學(xué)問題的震撼，在自己的努力下得到答案，學(xué)生只是一味聽教師講課，可能思維上沒有自己發(fā)揮的空間，我們要培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力。課堂不僅是教師的主場，更需要學(xué)生的配合，充分展現(xiàn)學(xué)生的主體地位。

（三）教師的創(chuàng)新教學(xué)

在日常教學(xué)中尋找學(xué)生有價值的共性，點(diǎn)燃學(xué)生思考的火花，教師在教學(xué)過程中設(shè)置問題，讓學(xué)生進(jìn)行討論，然后進(jìn)行個人展示，教師的主要任務(wù)不是講，而是引導(dǎo)，讓學(xué)生能夠更好地解決相應(yīng)的問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望，促進(jìn)提高學(xué)習(xí)素養(yǎng)。培養(yǎng)思維感情，不止把教學(xué)停留在知識層面，更要上升到創(chuàng)新，讓學(xué)生學(xué)以致用，養(yǎng)成習(xí)慣，對培養(yǎng)核心素養(yǎng)形成基礎(chǔ)的思維。

六、 結(jié)束語

綜上所述，建設(shè)校本課程，學(xué)生能夠得到全面有效的發(fā)展，能夠獨(dú)立解決教師提出的問題，以及日常所遇到的難題，同時核心素養(yǎng)在提升教學(xué)質(zhì)量和效率有著重要作用。所以，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)注重校本課程的開發(fā)、研究、建設(shè)。并配合建設(shè)校本工作，更好地促進(jìn)校本課程建設(shè)工作的發(fā)展。高中數(shù)學(xué)教師之間應(yīng)相互溝通，相互了解，創(chuàng)新教研方案，提高教學(xué)質(zhì)量，創(chuàng)建更高效率的學(xué)習(xí)氛圍。同時，較好的校本課程也能夠增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，為核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]周燕，朱哲.讓理性的數(shù)學(xué)課堂開出感性之花：淺談數(shù)學(xué)文化在函數(shù)概念教學(xué)中的應(yīng)用[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2017（9）：7-9.

[2]單墫.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（必修1）[M].南京：江蘇教育出版社，2012：15.

作者簡介：

吳福周，王偉，江西省景德鎮(zhèn)市，江西省樂平中學(xué)。

江西省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題：新高考背景下高中數(shù)學(xué)校本課程開發(fā)與應(yīng)用研究，課題編號：18PTZD020。