摘 要：“倍的認(rèn)識(shí)”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)第五單元的內(nèi)容。倍的概念是比較兩個(gè)量之間的關(guān)系，對(duì)學(xué)生而言十分抽象，不易理解。教材修訂后，整數(shù)倍的學(xué)習(xí)是學(xué)生第一次接觸比率，而小數(shù)倍、分?jǐn)?shù)（分率）、百分?jǐn)?shù)、比的內(nèi)容又可以看作是在“整數(shù)倍”的基礎(chǔ)上的擴(kuò)展。為了讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)倍并理解倍的意義，在教學(xué)中筆者試著對(duì)教材進(jìn)行研讀并通過(guò)調(diào)查對(duì)單元知識(shí)進(jìn)行重新組合、編排、整合教學(xué)。

關(guān)鍵詞：倍的認(rèn)識(shí);教材研讀;整合教學(xué);小學(xué)數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2095-624X（2020）42-0063-02

引 言

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，倍是一個(gè)非常重要的概念，在整個(gè)數(shù)學(xué)體系中占據(jù)舉足輕重的地位。倍的本質(zhì)是兩個(gè)量之間的關(guān)系。學(xué)生對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)的認(rèn)知主要是加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)，其中乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的[1]。在學(xué)習(xí)倍之前，學(xué)生在頭腦中僅僅形成了加法結(jié)構(gòu)，主要涉及數(shù)量的合并與比較多少的問(wèn)題，而從未涉及兩個(gè)量的比率問(wèn)題。兩個(gè)量或多個(gè)量之間的關(guān)系比較是讓學(xué)生在腦海中形成乘法結(jié)構(gòu)，因此，建立乘法結(jié)構(gòu)的伊始就是對(duì)“倍”的學(xué)習(xí)。初次接觸倍是從“量”到“率”的開(kāi)始，對(duì)低學(xué)段小學(xué)生而言實(shí)屬不易。

一、緣起：一個(gè)錯(cuò)例

學(xué)習(xí)“簡(jiǎn)易方程”是學(xué)生初次接觸方程，但筆者在巡視時(shí)，不由頭冒冷汗。學(xué)生對(duì)“比黑色皮的2倍少4塊”的理解真是五花八門。筆者巡視一圈發(fā)現(xiàn)，真正理解到位的學(xué)生不到30%。

筆者對(duì)本校其他四個(gè)班進(jìn)行了調(diào)查。但調(diào)查發(fā)現(xiàn)，能夠理解“比黑色皮的2倍少4塊”的學(xué)生也只占班級(jí)學(xué)生的38%。當(dāng)涉及通過(guò)畫圖理解題意時(shí)，學(xué)生感到更加迷茫。這樣看來(lái)，筆者想到有關(guān)倍的起始課——三年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容“倍的認(rèn)識(shí)”。接著，筆者對(duì)人教版教材關(guān)于倍的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了研讀。三年級(jí)上冊(cè)教材的這一單元是在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)乘法與除法的基礎(chǔ)上安排的，主要由兩部分內(nèi)容組成，一是建立倍的概念，二是解決與倍有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

二、深入調(diào)查

基于以上問(wèn)題，筆者考慮到本校是鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校，離縣城較近，年輕教師和頂崗教師頗多。筆者開(kāi)始思考，是不是教師在上課時(shí)對(duì)教材把握得不準(zhǔn)確呢？于是筆者打算從以下幾個(gè)方面展開(kāi)調(diào)查研究。

調(diào)查對(duì)象：夾浦小學(xué)三年級(jí)6個(gè)平行班。

調(diào)查內(nèi)容：解決與倍有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

調(diào)查方法：聽(tīng)課、反思、重構(gòu)教學(xué)及學(xué)生練習(xí)。

在一堂新教師亮相課上，在上“一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”這節(jié)課時(shí)，教師和學(xué)生都提到了倍指的是大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)。真的是這樣嗎？筆者結(jié)合教學(xué)片段進(jìn)行了深入思考。

教學(xué)片段：教學(xué)例2

第一步：出示主題圖，畫示意圖（見(jiàn)圖1）。

①你發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)信息？

②你能提出一個(gè)可以用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決的問(wèn)題嗎？

這是關(guān)于一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍的問(wèn)題，也是我們要探究的知識(shí)。（板書：求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍）

③用畫一畫、圈一圈的方式來(lái)表示擦桌椅的人數(shù)是掃地的幾倍。學(xué)生嘗試，教師巡視，集體反饋。

④教師總結(jié)：以掃地的4人為標(biāo)準(zhǔn)，將擦桌子的人以4個(gè)人為一組，一共可以分為3個(gè)組，所以擦桌子的人數(shù)是掃地的人數(shù)的3倍。

第二步：（列式法）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍，可以通過(guò)畫圖理解。

師：要求擦桌椅的人數(shù)是掃地的人數(shù)的幾倍，即求12里面有幾個(gè)4。我們可以用什么方法來(lái)計(jì)算？（除法）

①那你會(huì)列式嗎？在練習(xí)本上完成列式。

②學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)，教師巡視。

③請(qǐng)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)怎么列式。（12÷4=3）

追問(wèn)：12表示什么？4表示什么？3表示什么？

④出示PPT畫圖加列式。

師：從圖中可以得知，把掃地的4人看作1份，我們可以把這樣的1份稱作1倍數(shù)（板書1倍數(shù)）。擦桌椅的人數(shù)有這樣的3個(gè)4人，就是3份，也就是3倍（板書多倍數(shù)）。所以擦桌椅的人數(shù)是掃地人數(shù)的3倍。需要注意的是，這里的倍不是單位名稱，而是表示兩種數(shù)量之間的關(guān)系，所以結(jié)果后面不用寫上倍。

三、教學(xué)過(guò)程剖析

1.學(xué)生的直觀模型未建立，思維未能得到有效提升

關(guān)于一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍的教學(xué)，實(shí)質(zhì)上就是讓學(xué)生關(guān)注一個(gè)量里包含幾個(gè)另一個(gè)量，從而幫助學(xué)生建立倍的模型。因而，教師需要借助圖示分析數(shù)量關(guān)系。執(zhí)教教師設(shè)計(jì)了畫圖的環(huán)節(jié)，但沒(méi)有應(yīng)用學(xué)生的作品，而是自己在黑板上出示準(zhǔn)備好的圖片進(jìn)行講解。學(xué)生的畫圖體現(xiàn)出了自己對(duì)所畫圖的分析過(guò)程，即學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解過(guò)程。因此，傳授性教學(xué)不僅不能在學(xué)生腦海中建立數(shù)學(xué)模型，而且沒(méi)有提高學(xué)生的思維。

2.種子課教學(xué)延伸不到位，缺失深層意義

本節(jié)課的教學(xué)是基于前一節(jié)課“倍的認(rèn)識(shí)”進(jìn)行的。從課堂教學(xué)例題與練習(xí)題的對(duì)比中，教師總結(jié)求幾倍就是用大數(shù)除以小數(shù)。由此可見(jiàn)，教師對(duì)倍的認(rèn)識(shí)的意義有一定的缺失。在“倍的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，我們不難發(fā)現(xiàn)，倍是對(duì)兩個(gè)量進(jìn)行比較的結(jié)果，學(xué)生的思維起點(diǎn)一定是“以誰(shuí)為標(biāo)準(zhǔn)”。在倍比中，除了整數(shù)倍還存在幾倍多幾，以及不到一倍的情況，即小數(shù)倍。

3.學(xué)習(xí)起點(diǎn)把握不準(zhǔn)確，缺失整體化教學(xué)

筆者在教學(xué)“倍的認(rèn)識(shí)”時(shí)對(duì)學(xué)生做了前測(cè)：6只小雞是3只小猴的幾倍？學(xué)生的正確率只有39.6%。而“小猴有3只，小雞的只數(shù)是小猴的2倍，小雞有多少只？”的正確率為71.4%。從中可以看出，以“幾個(gè)幾”為基礎(chǔ)來(lái)建立倍的認(rèn)識(shí)，更加貼近學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。解決“求一個(gè)數(shù)是另1個(gè)數(shù)的幾倍”的問(wèn)題就是為加深學(xué)生對(duì)倍的概念的理解創(chuàng)造機(jī)會(huì)。實(shí)際上，教師可以從比較量里有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生理解問(wèn)題。而執(zhí)教教師僅關(guān)注了以小數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，大數(shù)是小數(shù)的幾倍。實(shí)際上，學(xué)生如果對(duì)例1的認(rèn)知到位，便能理解后續(xù)的“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍和求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”的題型。但教師在本節(jié)課中只處理了一個(gè)數(shù)是另一數(shù)的幾倍，缺乏整體性與結(jié)構(gòu)化，限制了學(xué)生思維的發(fā)展。

四、“倍的認(rèn)識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題”的教學(xué)建議及思考

基于以上教學(xué)及剖析，筆者對(duì)整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行重構(gòu)。

【環(huán)節(jié)一】一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍

學(xué)生自主探索“（ ）球是（ ）球的幾倍？”

PPT出示：18個(gè)紅球，9個(gè)黃球，3個(gè)綠球。

（ ）球是（ ）球的幾倍？

師：（ ）球是（ ）球的幾倍？請(qǐng)你進(jìn)行填空，讓它形成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

學(xué)生思考，并說(shuō)出自己的問(wèn)題。

師：請(qǐng)你用自己喜歡的方式解決自己提出的問(wèn)題。

學(xué)生自主探索“（ ）球是（ ）球的幾倍”問(wèn)題。

【思考】教師讓學(xué)生自己填空，通過(guò)大任務(wù)驅(qū)動(dòng)的形式，使學(xué)生提升思辨能力，建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，使新舊知識(shí)融會(huì)貫通。教師在設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，發(fā)揮學(xué)生的潛在能力，使學(xué)生積極主動(dòng)地思考，而不是讓學(xué)生被動(dòng)地學(xué)習(xí)與思考，要充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性和智力潛能。

【環(huán)節(jié)二】半倍關(guān)系

PPT出示：（黃）球是（紅）球的幾倍？

學(xué)生獨(dú)立思考并列式解答。

師：請(qǐng)你說(shuō)一說(shuō)怎么列式？怎么想的？

生1：18÷9=2。

生2：9÷18（不會(huì)計(jì)算結(jié)果）。

師：請(qǐng)大家用畫圖的方式來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

師補(bǔ)充：求黃球是紅球的幾倍，是以紅球18個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)作為1份，按照這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，黃球也要以18個(gè)為1份，但黃球只有9個(gè)，沒(méi)有達(dá)到18個(gè)，所以不能看作1份，也就是黃球是紅球的不到1倍。黃球雖然不到18個(gè)，卻是18個(gè)的一半，也就是可以看作半份，我們可以說(shuō)黃球是紅球的半倍。

【思考】在學(xué)生認(rèn)識(shí)整數(shù)倍后，教師應(yīng)讓學(xué)生初步感受到如果以較小量為標(biāo)準(zhǔn)，可以用整數(shù)倍來(lái)描述，如果以較大量為標(biāo)準(zhǔn)，那就是1倍不到，可以用分?jǐn)?shù)或者小數(shù)倍來(lái)表示，突出倍的意義的生長(zhǎng)點(diǎn)。

【環(huán)節(jié)三】學(xué)生自主探索“白球是（ ）球的2倍，白球有幾個(gè)？”

PPT出示：白球是（ ）球的2倍。

教師畫一些白球，白球的數(shù)量是前面某一種球的2倍，先讓學(xué)生明確有幾個(gè)白球。

師：你知道白球具體是哪一種球的2倍嗎？

學(xué)生自主探索“白球是（ ）球的2倍，白球有幾個(gè)”的問(wèn)題。

教師巡視，收集學(xué)生作品，包括畫圖法和列式法。

【思考】倍的概念有著兩種模型：乘法模型“幾個(gè)幾”和除法模型“一個(gè)數(shù)里面有幾個(gè)另一個(gè)數(shù)”（包含除）。但無(wú)論怎樣的模型，都應(yīng)有聯(lián)系、有溝通，讓倍的學(xué)習(xí)空間更廣。

通過(guò)分析可知，學(xué)生所說(shuō)的“倍”，是指“大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)”這樣的理解并非偶然，在筆者所在的學(xué)校并非個(gè)例。對(duì)于教材的結(jié)構(gòu)性，教師把握不合理，只能一課時(shí)一課時(shí)地進(jìn)行教學(xué)的不占少數(shù)，但這樣的教學(xué)談不上知識(shí)的遷移。長(zhǎng)此以往 ，學(xué)生的思維受到限制，無(wú)法體會(huì)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功感與樂(lè)趣，最終喪失學(xué)習(xí)興趣。由此可見(jiàn)，提升教師的教材解讀與教材重組能力刻不容緩。

結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，任何知識(shí)性的教學(xué)都要以學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平為基礎(chǔ)，教師必須考慮學(xué)生的興趣點(diǎn)和困難點(diǎn)，以學(xué)情為前提，重組知識(shí)結(jié)構(gòu)。我們現(xiàn)在提倡單元整體教學(xué)，但單元整體教學(xué)不等于單元整體學(xué)，而是要求教師進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的思考。這需要教師在備課時(shí)，注意整個(gè)單元的聯(lián)系性，做好前“沿”后“伸”工作，千萬(wàn)不能忽略概念意義的生長(zhǎng)點(diǎn)。只有這樣，透徹地理解知識(shí)，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

[參考文獻(xiàn)]

斯苗兒.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例專題研究[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2005.

作者簡(jiǎn)介：柏敏霞（1987.9—），女，浙江長(zhǎng)興人，本科學(xué)歷，中小學(xué)二級(jí)教師。