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        函數(shù)最值在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用淺談

        2020-12-14 04:19:31毛晨陽
        讀寫算 2020年33期
        關(guān)鍵詞:最值問題

        毛晨陽

        摘 要最值問題在高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中具有很重要的地位,而函數(shù)最值問題涉及的內(nèi)容非常廣泛,導(dǎo)致最值問題的內(nèi)容分散,靈活性比較大,求解比較困難?;诖?。本文主要研究函數(shù)最值在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,以便更有效地解決此類問題。

        關(guān)鍵詞函數(shù)最值;函數(shù)極值;最值問題;二次函數(shù)

        中圖分類號:G632????????????????????????????????????????????????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A????????????????????????????????????????????????? 文章編號:1002-7661(2020)33-0176-02

        本篇文章主要以中學(xué)數(shù)學(xué)中函數(shù)最值問題為基本的出發(fā)點(diǎn),利用函數(shù)最值定義、函數(shù)的單調(diào)性和性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等方面來求解問題并進(jìn)行應(yīng)用幫助學(xué)生在解題過程中提供一些思路和方法。這樣可以真正根據(jù)具體題目中的特點(diǎn)進(jìn)行一次認(rèn)真的分析,合理判斷之后,就可以在解題過程中巧妙地選取最適當(dāng)?shù)姆椒?,從而在很大程度上?jié)約時間,提高解決問題的效率。特別是,當(dāng)遇到一些典型題目時候,選擇最合適的方法去解決,更會出現(xiàn)事半功倍的效果。函數(shù)最值問題是函數(shù)研究中極為重要的部分,函數(shù)最值在二次函數(shù)、三角函數(shù)、現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用非常廣泛,而對于現(xiàn)實(shí)生活中的問題可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中求函數(shù)最值的問題,并通過解決數(shù)學(xué)中問題來最終達(dá)到解決這類問題的目的。

        一、預(yù)備知識

        (一)函數(shù)的極值

        定義在包含的某個區(qū)間內(nèi),若,則點(diǎn)為的極大值點(diǎn),為的極大值;定義在包含的某個區(qū)間內(nèi),若,則點(diǎn)為的極小值點(diǎn),為的極小值。

        (二)函數(shù)的最值

        定義1:設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,如果存在一點(diǎn),使得對定義域內(nèi)的任意一點(diǎn),都有,那么我們稱為函數(shù)的最大值,記為;

        定義2:設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?img alt="" height="13" src="file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image023.png" width="13"/>,如果存在一點(diǎn)使得對定義域內(nèi)的任意一點(diǎn),都有,那么我們稱為的最小值,記為。

        例1:求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值。

        分析:先求閉區(qū)間上函數(shù)的極值,然后把極值與端點(diǎn)函數(shù)比較大小,確定最值。

        解:因?yàn)?,所以令,?img alt="" height="15" src="file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image056.png" width="38"/>(舍正)。

        又因?yàn)?/p>

        比較得,的最大值為3,最小值為。

        二、函數(shù)最值在二次函數(shù)中的應(yīng)用

        二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)、最重要的一部分知識。不僅在初中應(yīng)用廣泛,在高中更為廣泛。y=ax2+bx+ca≠0)在三角函數(shù)和一些實(shí)際問題中也得以體現(xiàn),對學(xué)生來說,這類最值的應(yīng)用是至關(guān)重要的。近年來,壓軸題常常會考到它的最值應(yīng)用,這使它成為了考試中的一個熱點(diǎn)。二次函數(shù)是客觀地反應(yīng)了變量之間的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的一種重要的數(shù)學(xué)模型,是中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)的重點(diǎn)和難點(diǎn),學(xué)習(xí)上有一定的難度。所以學(xué)生對這類問題的學(xué)習(xí)不僅可使分析以及解決問題的能力得到了提高,也可幫助他們理解和掌握函數(shù)思想、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)方法,在很大程度上節(jié)約時間,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

        (一)二次函數(shù)的主要兩種形式

        1.一般式:

        (1)當(dāng)時,開口向上,對稱軸,頂點(diǎn)坐標(biāo)。

        當(dāng),的增大而減小;當(dāng)時,則隨的增大而增大;當(dāng)時,有最小值。

        (2)當(dāng)時,開口向下,對稱軸,頂點(diǎn)坐標(biāo)。

        當(dāng)時,的增大而增大;當(dāng)時,的增大而減小;當(dāng)時,有最大值。

        2.頂點(diǎn)式:

        (1)當(dāng)時,開口向上,取,的最小值是,此時兩個端點(diǎn)是進(jìn)行最大值的比較;

        (2)當(dāng)時,開口向下,取的最大值是,此時兩個端點(diǎn)是進(jìn)行最小值的比較。

        (二)利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值

        任何一個二次函數(shù)解析式都可以轉(zhuǎn)化成或,兩者可以相互轉(zhuǎn)化。因此,在解這類題的過程中,可用配方法、公式法,再由二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行靈活應(yīng)用去求函數(shù)最值。例如,在區(qū)間上。配方得到形如函數(shù),再利用的性質(zhì)來求解函數(shù)最值。

        例2:二次函數(shù),當(dāng)時,求的最值。

        分析:這個題可將函數(shù)進(jìn)行配方,依的開口的方向來判斷函數(shù)的最值。在用配方求解時需要注意,不要將函數(shù)與方程它們的配方進(jìn)行混淆,同時要知道如何去進(jìn)行函數(shù)的配方,在配方的過程中要注意加上一個的同時要減去相同的一個,保證值不變。配方后,根據(jù)開口方向和定義域來進(jìn)行最值的判斷。

        解:首先對二次函數(shù)配方,由此得出的開口的方向是向上的,所以在的時候,有最小值為。

        因?yàn)?img alt="" height="11" src="file:///C:/Users/ADMINI~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image154.png" width="47"/>,所以當(dāng)時,函數(shù)值為;當(dāng)時,函數(shù)值為。

        故函數(shù)的最大值為。

        三、函數(shù)最值在三角函數(shù)中的應(yīng)用

        在中學(xué)數(shù)學(xué)中,三角函數(shù)是一種特殊函數(shù),它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)于最值問題中常見的應(yīng)用,有利于使學(xué)生更好地去理解這種函數(shù)的一些基礎(chǔ)的知識,培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)的邏輯思維。在求解三角函數(shù)最值的時候,要能夠理解掌握三角函數(shù)的性質(zhì),并在公式的靈活變化中,還要能依據(jù)其他函數(shù)解決最值問題的特點(diǎn)來進(jìn)行分析,這種函數(shù)所學(xué)到的知識和一些思想應(yīng)該有機(jī)結(jié)合起來。如三角函數(shù)圖像的應(yīng)用。

        當(dāng)時,則、的值域?yàn)楹?,而?dāng)確定范圍時,求這類問題,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法就是最好的一種解題方法,一是結(jié)合三角函數(shù)的圖像,二是利用三角函數(shù)線。在求函數(shù)最值中,最直觀的方法便是圖像法,可觀察圖像,最大(?。┲悼稍谧罡撸ǖ祝c(diǎn)縱坐標(biāo)取得。求這類問題時,取值范圍是要先知道的,然后結(jié)合這個函數(shù)圖像,就很容易把函數(shù)最值求出來。

        例3:已知,,求的最值。

        解:由于,則.由的圖像可以看出。故。

        四、函數(shù)最值在實(shí)際生活中的應(yīng)用

        在生活中,人們總會遇到最值問題,如最經(jīng)濟(jì)的材料、最大的面積等等,我們就有必要尋找相對應(yīng)的適當(dāng)?shù)姆桨富虿呗?,而利用?dǎo)數(shù)去解決這類問題,是基本方法中的一種.求這類問題的步驟:先將問題構(gòu)造成數(shù)學(xué)模型,根據(jù)變量的關(guān)系寫出;先求的導(dǎo)數(shù),再去解;把的點(diǎn)的數(shù)值與端點(diǎn)的函數(shù)數(shù)值進(jìn)行比較,求出最值。注意:在求最值時,要考慮到問題的實(shí)際的意義,不符合的理應(yīng)舍去。當(dāng)求出的解是一個的時候,則這個解是極值便是最值,可以不用與端點(diǎn)再來比較。在解決實(shí)際問題時,要注意用函數(shù)表示出相關(guān)變量,以及的取值范圍。

        (一)用料最省、費(fèi)用最低問題

        最經(jīng)濟(jì)和低成本以各種形式出現(xiàn),可將這種形式的指標(biāo)表示為關(guān)于的函數(shù),求解最值的方法可以是導(dǎo)數(shù)或者其他的,注意的取值范圍。

        例5:在一次輪船比賽中,一艘輪船燃燒費(fèi)和船速的關(guān)系為。其他與速度無關(guān)的總費(fèi)用是96元/小時,求使1海里需要費(fèi)用的總和是最小,船速的值。

        分析:這個題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的方法,用所知道的條件去表示出函數(shù)的關(guān)系式,利用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行求解。分析問題中的各個量之間的關(guān)系,正確寫出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵。

        解:設(shè)船速為海里/小時,1海里的航行所要費(fèi)用為元,而1海里航行時間為,則,所以。

        令,解得

        因?yàn)楫?dāng)時,,當(dāng)時,所以當(dāng)時,取得極小值,也是最小值。

        故當(dāng)船速是20海里/小時,1海里航行需要的費(fèi)用總和最小。

        (二)面積、體積最大問題

        對面積或體積最大的問題,關(guān)鍵是分析這個幾何體的幾何特征,要選擇合適的量去建立我們要用到的目標(biāo)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求最值。

        例6:某工廠需要加工一種新形狀的玻璃,為此將材質(zhì)為玻璃的矩形玻璃和半圓進(jìn)行相接,就是將半圓直徑與矩形一邊相接,半圓的直徑是,當(dāng)矩形周長是10時,求矩形玻璃面積最大,的值。

        分析:本題考查的是尋找矩形玻璃的面積與半徑間的關(guān)系,并利用導(dǎo)數(shù)求最值。

        解:設(shè)矩形另一個邊為,由于半圓弧長為,可得到關(guān)系式為,所以,令,得。

        當(dāng)時,;當(dāng)時,。

        所以當(dāng)時,的極大值,也是最大值,故,矩形玻璃面積最大。

        五、結(jié)論

        本文主要介紹了函數(shù)最值在二次函數(shù)、三角函數(shù)以及實(shí)際生活問題中的應(yīng)用,通過相關(guān)例題的分析提供給學(xué)生一些思路和方法,從而提高學(xué)習(xí)效率。研究函數(shù)最值,不僅讓學(xué)生們對函數(shù)和數(shù)學(xué)本身有更好的了解,而且對解決實(shí)際問題有著更深遠(yuǎn)的意義。

        參考文獻(xiàn):

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