施宇彬

【摘要】線段和的最值問題是全國各地中考的熱門命題類型，其表現(xiàn)形式主要有兩種，即“a+b”型和“a+k·b”型.其中“a+b”型問題以“將軍飲馬問題”為主，再輔以少量變式，也有少量的“費馬點問題”.而“a+k·b”型問題主要有三類：“胡不歸問題”、阿波羅尼斯圓問題、定邊對定角問題.而本文中將重點介紹的是幾何法中的“胡不歸模型”.操作方法是通過旋轉(zhuǎn)變換，轉(zhuǎn)移線段的位置，從而有機地聚合線段，求得最值.

【關(guān)鍵詞】加權(quán)線段;胡不歸模型;轉(zhuǎn)化思想

平面幾何知識是初中階段數(shù)學必考的重要內(nèi)容之一，最值問題一直是中考命題的熱、難點.而線段和的最值問題特別是加權(quán)線段和“a+k·b”型往往在壓軸題中，與動點結(jié)合，綜合性比較強，因此難度比較大，也是學生學習過程中較難突破的題型.本文主要通過對加權(quán)線段和“a+k·b”型問題構(gòu)造“胡不歸模型”求解，讓學生能解一題通一類，真正做到舉一反三，觸類旁通.

一、問題產(chǎn)生

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A（-3，0），點B（2，0），點C（0，4），點D是線段OA上的一點，連接CD.

動點P從點A出發(fā)，沿著AD方向以2個單位/秒的速度運動至點D，然后再沿著DC方向以1個單位/秒的速度運動至點C后停止，求點P這個運動過程所用時間的最小值.

此問題來自2019年浙江省金華市初中畢業(yè)升學適應性訓練卷，考生普遍對點P運動時間最小值的求解感到手足無措.求解最值問題，首先我們的第一思路一定是在七下時候所學習到的“將軍飲馬”模型，眾所周知，在“將軍飲馬”類問題中，其實質(zhì)是“a+b”型問題，各條線段前的系數(shù)都為1，通過“對稱轉(zhuǎn)移”方法，轉(zhuǎn)化線段求得最值. 而此題中，點P沿AD方向、DC方向的速度并不相同，根據(jù)題意，運動時間表示為：12AD+CD.整體考慮，如果我們能在圖中找到（或構(gòu)造出）12AD這一線段，那問題就迎刃而解了.到底如何轉(zhuǎn)換呢？在此，我們提出解決加權(quán)線段和最值問題非常著名的“胡不歸模型”.

二、問題背景

從前，有個小伙子在外地做學徒，當他獲悉在家的老父親病危的消息后，便立即啟程趕路.由于思鄉(xiāng)心切，他只考慮了“兩點之間線段最短”的原理，所以選擇了全是砂礫地帶的直線路徑A→B（如圖2），而忽視了走折線路徑A→D→B雖路程多但速度快的實際情況.當他氣喘吁吁地趕到家時，老人剛剛咽氣，小伙子失聲痛哭，鄰里勸慰小伙子時告訴他，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？……”

這個古老的傳說，引起人們的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他應該選擇一條怎樣的路線？這就是風靡千百年的“胡不歸問題”.

三、模型構(gòu)建

用數(shù)學語言表達就是：

如果當初這個小伙子懂得運用“胡不歸模型”，選擇了先沿著驛道快馬加鞭走到D′位置，然后再直沖家門或許他還是有希望見到自己老父親的最后一面的，這是多么凄美的故事??！

四、模型應用

讓我們回到點P運動時間最小值的求解中，根據(jù)題意，P在這個運動過程中所用時間表示為12AD+CD.再通過應用“胡不歸模型”，我們發(fā)現(xiàn)sin30°=12.如圖4，轉(zhuǎn)化為求CD+DF的最小值（DF⊥AE），我們發(fā)現(xiàn)當C，D，F(xiàn)三點共線且DF⊥AE時為最小值（此時D在D′位置），故分析可得：12AD+CDmin=1cos∠OCD·OD+（OA-OC·tan∠OCD）·sin∠DAF=32+23.

問題的本質(zhì)：“a+k·b”型問題利用三角函數(shù)sin α=k，通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移線段位置，根據(jù)“垂線段最短”將斜線段轉(zhuǎn)化為垂線段求最值.

五、模型推廣

如圖5，在平面直角坐標系中，點A在拋物線y=-x2+4x上，且橫坐標為1，點B與點A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AB與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，點E的坐標為（1，1）.

點P為線段AB上方拋物線上的任意一點，過點P作AB的垂線交AB于點H，點F為y軸上一點，當△PBE的面積最大時，求PH+HF+12FO的最小值.

分析：此題選自2018年重慶中考卷第26題，通過以上對“胡不歸模型”的介紹與講解，相信我們對此題的最值求解不再是難題.不同于前面例題介紹的，這里是求三段線段和的最小值，看起來難度好像更大.執(zhí)果索因，我們發(fā)現(xiàn)，求PH+HF+12FO的最小值是在△PBE的面積最大的前提條件下，通過分析，我們可以知道此時點P的位置是唯一的，因此PH的長度是固定的、可求的.所以求PH+HF+12FO的最小值我們轉(zhuǎn)換成求HF+12FO的最小值.再由sin30°=12，我們通過旋轉(zhuǎn)線段30°角，就可以將系數(shù)的問題解決了.

解答過程如圖6至圖12.

問題小結(jié)：第（2）問考查雙最值問題.前半部分根據(jù)面積最大值轉(zhuǎn)換成求線段最大值，從而將P點化動為靜;后半部分為三條線段和最小問題，其中一條線段的長度前面帶有系數(shù)，建立“胡不歸模型”，構(gòu)造三角函數(shù)，再根據(jù)垂線段最短，利用思維導圖方法，從而將問題得到完美解決.

六、模型演練

（2017年廣州中考題） 如圖13，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O.△COD關(guān)于CD的對稱圖形為△CED.

（1）求證：四邊形OCED是菱形.

（2）連接AE，若AB=6 cm，BC=5 cm.

① 求sin∠EAD的值.

② 若點P為線段AE上一動點（不與A重合），連接OP，一動點Q從A出發(fā)，以1 cm/s的速度沿線段OP勻速運動到點P，再以1.5 cm/s的速度沿線段PA勻速運動到點A后停止運動.當點Q沿上述路線運動到點A所需要的時間最短時，求AP的長和點Q走完全程所需的時間.

此題為2017年廣州中考題，留給讀者自行學習演練，體會“胡不歸模型”的方法步驟：

本文旨在通過“胡不歸模型”來解決學生不太擅長的“a+k·b”型線段的最值問題.著名數(shù)學家、莫斯科大學教授雅潔卡婭提出：解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題.教師要讓學生跳出題海，提升能力，提高素養(yǎng)，要注重問題的通性通法.教師在講解題目時要抓住問題的本質(zhì)，把題目思路理清楚，過程講清楚，讓學生解題有抓手，還要注重聯(lián)系，把題目都串聯(lián)起來，將方法進行提升，真正可以起到“做一題、會一類、通一片”的效果.本文的內(nèi)容僅代表個人對此類數(shù)學問題的一些想法和實踐，若有不當之處，敬請專家批評、指正，本人不甚感謝.

【參考文獻】

[1]張洪彥.構(gòu)造幾何圖形解題例說[J]. 中學數(shù)學教學， 1998（5）：44-45.