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        加權(quán)線段和的最值問題

        2020-11-28 07:22:43施宇彬
        關(guān)鍵詞:轉(zhuǎn)化思想

        施宇彬

        【摘要】線段和的最值問題是全國各地中考的熱門命題類型,其表現(xiàn)形式主要有兩種,即“a+b”型和“a+k·b”型.其中“a+b”型問題以“將軍飲馬問題”為主,再輔以少量變式,也有少量的“費(fèi)馬點(diǎn)問題”.而“a+k·b”型問題主要有三類:“胡不歸問題”、阿波羅尼斯圓問題、定邊對定角問題.而本文中將重點(diǎn)介紹的是幾何法中的“胡不歸模型”.操作方法是通過旋轉(zhuǎn)變換,轉(zhuǎn)移線段的位置,從而有機(jī)地聚合線段,求得最值.

        【關(guān)鍵詞】加權(quán)線段;胡不歸模型;轉(zhuǎn)化思想

        平面幾何知識是初中階段數(shù)學(xué)必考的重要內(nèi)容之一,最值問題一直是中考命題的熱、難點(diǎn).而線段和的最值問題特別是加權(quán)線段和“a+k·b”型往往在壓軸題中,與動點(diǎn)結(jié)合,綜合性比較強(qiáng),因此難度比較大,也是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中較難突破的題型.本文主要通過對加權(quán)線段和“a+k·b”型問題構(gòu)造“胡不歸模型”求解,讓學(xué)生能解一題通一類,真正做到舉一反三,觸類旁通.

        一、問題產(chǎn)生

        如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(-3,0),點(diǎn)B(2,0),點(diǎn)C(0,4),點(diǎn)D是線段OA上的一點(diǎn),連接CD.

        動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿著AD方向以2個單位/秒的速度運(yùn)動至點(diǎn)D,然后再沿著DC方向以1個單位/秒的速度運(yùn)動至點(diǎn)C后停止,求點(diǎn)P這個運(yùn)動過程所用時間的最小值.

        此問題來自2019年浙江省金華市初中畢業(yè)升學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練卷,考生普遍對點(diǎn)P運(yùn)動時間最小值的求解感到手足無措.求解最值問題,首先我們的第一思路一定是在七下時候所學(xué)習(xí)到的“將軍飲馬”模型,眾所周知,在“將軍飲馬”類問題中,其實(shí)質(zhì)是“a+b”型問題,各條線段前的系數(shù)都為1,通過“對稱轉(zhuǎn)移”方法,轉(zhuǎn)化線段求得最值. 而此題中,點(diǎn)P沿AD方向、DC方向的速度并不相同,根據(jù)題意,運(yùn)動時間表示為:12AD+CD.整體考慮,如果我們能在圖中找到(或構(gòu)造出)12AD這一線段,那問題就迎刃而解了.到底如何轉(zhuǎn)換呢?在此,我們提出解決加權(quán)線段和最值問題非常著名的“胡不歸模型”.

        二、問題背景

        從前,有個小伙子在外地做學(xué)徒,當(dāng)他獲悉在家的老父親病危的消息后,便立即啟程趕路.由于思鄉(xiāng)心切,他只考慮了“兩點(diǎn)之間線段最短”的原理,所以選擇了全是砂礫地帶的直線路徑A→B(如圖2),而忽視了走折線路徑A→D→B雖路程多但速度快的實(shí)際情況.當(dāng)他氣喘吁吁地趕到家時,老人剛剛咽氣,小伙子失聲痛哭,鄰里勸慰小伙子時告訴他,老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸?胡不歸?……”

        這個古老的傳說,引起人們的思索,小伙子能否提前到家?倘若可以,他應(yīng)該選擇一條怎樣的路線?這就是風(fēng)靡千百年的“胡不歸問題”.

        三、模型構(gòu)建

        用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是:

        如果當(dāng)初這個小伙子懂得運(yùn)用“胡不歸模型”,選擇了先沿著驛道快馬加鞭走到D′位置,然后再直沖家門或許他還是有希望見到自己老父親的最后一面的,這是多么凄美的故事??!

        四、模型應(yīng)用

        讓我們回到點(diǎn)P運(yùn)動時間最小值的求解中,根據(jù)題意,P在這個運(yùn)動過程中所用時間表示為12AD+CD.再通過應(yīng)用“胡不歸模型”,我們發(fā)現(xiàn)sin30°=12.如圖4,轉(zhuǎn)化為求CD+DF的最小值(DF⊥AE),我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)C,D,F(xiàn)三點(diǎn)共線且DF⊥AE時為最小值(此時D在D′位置),故分析可得:12AD+CDmin=1cos∠OCD·OD+(OA-OC·tan∠OCD)·sin∠DAF=32+23.

        問題的本質(zhì):“a+k·b”型問題利用三角函數(shù)sin α=k,通過旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移線段位置,根據(jù)“垂線段最短”將斜線段轉(zhuǎn)化為垂線段求最值.

        五、模型推廣

        如圖5,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在拋物線y=-x2+4x上,且橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,直線AB與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,1).

        點(diǎn)P為線段AB上方拋物線上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)P作AB的垂線交AB于點(diǎn)H,點(diǎn)F為y軸上一點(diǎn),當(dāng)△PBE的面積最大時,求PH+HF+12FO的最小值.

        分析:此題選自2018年重慶中考卷第26題,通過以上對“胡不歸模型”的介紹與講解,相信我們對此題的最值求解不再是難題.不同于前面例題介紹的,這里是求三段線段和的最小值,看起來難度好像更大.執(zhí)果索因,我們發(fā)現(xiàn),求PH+HF+12FO的最小值是在△PBE的面積最大的前提條件下,通過分析,我們可以知道此時點(diǎn)P的位置是唯一的,因此PH的長度是固定的、可求的.所以求PH+HF+12FO的最小值我們轉(zhuǎn)換成求HF+12FO的最小值.再由sin30°=12,我們通過旋轉(zhuǎn)線段30°角,就可以將系數(shù)的問題解決了.

        解答過程如圖6至圖12.

        問題小結(jié):第(2)問考查雙最值問題.前半部分根據(jù)面積最大值轉(zhuǎn)換成求線段最大值,從而將P點(diǎn)化動為靜;后半部分為三條線段和最小問題,其中一條線段的長度前面帶有系數(shù),建立“胡不歸模型”,構(gòu)造三角函數(shù),再根據(jù)垂線段最短,利用思維導(dǎo)圖方法,從而將問題得到完美解決.

        六、模型演練

        (2017年廣州中考題) 如圖13,矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點(diǎn)O.△COD關(guān)于CD的對稱圖形為△CED.

        (1)求證:四邊形OCED是菱形.

        (2)連接AE,若AB=6 cm,BC=5 cm.

        ① 求sin∠EAD的值.

        ② 若點(diǎn)P為線段AE上一動點(diǎn)(不與A重合),連接OP,一動點(diǎn)Q從A出發(fā),以1 cm/s的速度沿線段OP勻速運(yùn)動到點(diǎn)P,再以1.5 cm/s的速度沿線段PA勻速運(yùn)動到點(diǎn)A后停止運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)Q沿上述路線運(yùn)動到點(diǎn)A所需要的時間最短時,求AP的長和點(diǎn)Q走完全程所需的時間.

        此題為2017年廣州中考題,留給讀者自行學(xué)習(xí)演練,體會“胡不歸模型”的方法步驟:

        本文旨在通過“胡不歸模型”來解決學(xué)生不太擅長的“a+k·b”型線段的最值問題.著名數(shù)學(xué)家、莫斯科大學(xué)教授雅潔卡婭提出:解題就是把要解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題.教師要讓學(xué)生跳出題海,提升能力,提高素養(yǎng),要注重問題的通性通法.教師在講解題目時要抓住問題的本質(zhì),把題目思路理清楚,過程講清楚,讓學(xué)生解題有抓手,還要注重聯(lián)系,把題目都串聯(lián)起來,將方法進(jìn)行提升,真正可以起到“做一題、會一類、通一片”的效果.本文的內(nèi)容僅代表個人對此類數(shù)學(xué)問題的一些想法和實(shí)踐,若有不當(dāng)之處,敬請專家批評、指正,本人不甚感謝.

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]張洪彥.構(gòu)造幾何圖形解題例說[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué), 1998(5):44-45.

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