趙國(guó)慧

[摘? 要] 以一道平面向量題教學(xué)實(shí)錄為例，認(rèn)為“一題多解”雖然能訓(xùn)練學(xué)生的求異思維，但人的精力有限，考場(chǎng)也不主張“一題多解”，所以我們應(yīng)該讓“一題多解”走向“一題優(yōu)解”，讓學(xué)生從“多解”中感悟“優(yōu)解”，從而達(dá)到優(yōu)化數(shù)學(xué)思維的目的.

[關(guān)鍵詞] 一題多解;實(shí)錄;感悟;高中數(shù)學(xué)

問題的提出

“一題多解”，是數(shù)學(xué)教學(xué)習(xí)題課上經(jīng)常出現(xiàn)的一種現(xiàn)象，但教師往往只重視這種現(xiàn)象的發(fā)生，卻沒有在意每一種解法的實(shí)質(zhì)分析，“一題多解”只浮于教堂教學(xué)的表面，有時(shí)只是一種解題游戲. 筆者認(rèn)為，“一題多解”雖然能訓(xùn)練學(xué)生的求異思維，但人的精力有限，考場(chǎng)也不主張“一題多解”，所以我們應(yīng)該讓“一題多解”走向“一題優(yōu)解”. 因此“一題多解”后，教師應(yīng)該給出恰當(dāng)點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生從“多解”中感悟“優(yōu)解”，從而達(dá)到優(yōu)化數(shù)學(xué)思維的目的. 基于此，本文展示“一題多解”課例實(shí)錄，以期拋磚引玉，共同探討.

課例實(shí)錄

習(xí)題課上，教師出了一道平面向量題請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完成. 幾分鐘后，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生集思廣益，出現(xiàn)了四種典型的解法. 雖然四種解法都完全正確，但相比之下總能分出伯仲，于是，教師請(qǐng)四位學(xué)生上黑板展示自己的解法，而教師則來一個(gè)即興點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生感悟各種解法的優(yōu)劣.

題目：設(shè)向量a，b滿足a=1，b=2，2a+b=（2，0），求a·b.

學(xué)生1（解法1：利用定義解題）：

設(shè)a=（m，n），b=（p，q），則a=1，b=2？圯m2+n2=1，p2+q2=4，2m+p=2，2n+q=0？圯m=■，n=±■，p=1，q=？芎■.

所以a=■，■，b=（1，-■）或a=■，-■，b=（1，■），所以a·b=-1.

教師點(diǎn)評(píng)：這種解法是解決這類問題最普通的方法. 當(dāng)同學(xué)們看到題目后，都會(huì)從定義入手去尋找解題思路. 題目中既然出現(xiàn)了向量2a+b的坐標(biāo)形式，那么自然而然想到用坐標(biāo)法來解決這個(gè)問題，于是想到設(shè)出向量a，b的坐標(biāo)，并根據(jù)題目條件，列出等式，并進(jìn)行計(jì)算，最終得到問題的結(jié)果，思路自然、嚴(yán)謹(jǐn). 不過在利用定義解題的過程中，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這里出現(xiàn)了大量的較為復(fù)雜的計(jì)算，因此建議運(yùn)用度為30%.

學(xué)生2（解法2：利用三角換元法求解）：

知識(shí)聯(lián)系：在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P為任意角α的終邊與圓x2+y2=r2（r>0）的交點(diǎn)，則P（rcosα，rsinα）.

設(shè)a=（cosα，sinα），b=（2cosβ，2sinβ），由2a+b=（2，0），所以2cosα+2cosβ=2，2sinα+2sinβ=0，即cosα=1-cosβ，sinα=-sinβ.

兩式平方相加可得cosβ=■，從而sinβ=±■.

因此cosβ=■，sinβ=■，cosα=■，sinα=-■或cosβ=■，sinβ= -■，cosα=■，sinα=■.

所以a=■，■，b=（1，-■）或a=■，-■，b=（1，■），所以 a·b=-1.

教師點(diǎn)評(píng)：換元思想是中學(xué)數(shù)學(xué)解題中一種重要的方法，經(jīng)過換元可以將復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)單，陌生問題變得熟悉[1]■. 上述解法將向量知識(shí)與第四章“三角函數(shù)”相聯(lián)系，采用了三角換元法，把原來的向量問題轉(zhuǎn)化為三角問題.這種解法既鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，又讓學(xué)生從中深深體會(huì)到了數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性和連貫性. 更令人可喜的是，它的解題過程得到了簡(jiǎn)化，較解法1的四元二次方程組要來的容易許多.建議運(yùn)用度為60%.

學(xué)生3（解法3：利用圖像求解）：

設(shè)2a=■=P（m，n），b=■=R（p，q），■=Q（2，0）.

由題意有：■+■=■，則四邊形OPQR為平行四邊形（如圖2）.

又因?yàn)椤?■=■=2，所以△OPQ，△OQR都是等邊三角形，所以所求的向量是：

思路一：所以a=■，■，b=（1，-■）或a=■，-■，b=（1，■），則a·b=-1.

思路二：向量a，b的夾角為120°，則a·b=a·bcos120°=-1.

教師點(diǎn)評(píng)：這種解法的特點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合.我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”[2]■■. 數(shù)與形反映了現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式.這種解法緊緊抓住了已知條件中數(shù)的特征，把三個(gè)向量的模長(zhǎng)都視為2，再將它放入坐標(biāo)系中研究，并借助平面幾何的等邊三角形的有關(guān)知識(shí)，讓問題解決得更快捷.特別在思路2的運(yùn)算中，計(jì)算a·b的值需用到兩個(gè)向量的夾角，而在平面直角坐標(biāo)系中，夾角為多少，令人一目了然，從而真正實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化.這種解法直觀，簡(jiǎn)潔，明了，避免了機(jī)械的計(jì)算，建議運(yùn)用度為80%.

學(xué)生4（解法4：利用模的定義求解）：

因?yàn)?a+b=（2，0），所以2a+b=■=2.

又2a+b=■=■=■=■，

則■=2，即a·b=-1.

教師提問：若將2a+b=（2，0）改為2a+b=（2cosγ，2sinγ），結(jié)果如何？

學(xué)生4：2a+b=■=■=2，所以a·b=-1.

教師點(diǎn)評(píng)：此時(shí)此刻，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了嗎？它們的結(jié)果是一致的，所以無論坐標(biāo)以何種形式出現(xiàn)，只要滿足2a+b=2（常數(shù)）這個(gè)條件，我們就可以用解法4來解決. 對(duì)比四種解法，不難發(fā)現(xiàn)解法1、解法2、解法3都不簡(jiǎn)潔，而解法4一枝獨(dú)秀，值得推廣開來. 建議運(yùn)用度為100%.

教師總評(píng)：數(shù)學(xué)解題貴在轉(zhuǎn)化，我們可以依據(jù)定義轉(zhuǎn)化，也可以利用數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互關(guān)系轉(zhuǎn)化. 本題的解法4直接運(yùn)用向量模的定義以及二次根式的非負(fù)性，把向量的模進(jìn)行平方后轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積，這種方法不僅讓學(xué)生加深了對(duì)a2=a2的理解，而且檢驗(yàn)了學(xué)生對(duì)向量數(shù)量積運(yùn)算律的掌握情況. 對(duì)此，我們對(duì)這種方法點(diǎn)個(gè)贊?。▽W(xué)生鼓掌）

教學(xué)感悟

有人說，教師要有一桶水，方可給學(xué)生一杯水[3]. 而后又有人說，教學(xué)相長(zhǎng). 這兩句話其實(shí)體現(xiàn)了教與學(xué)之間的辯證關(guān)系. 在學(xué)生學(xué)習(xí)初期，學(xué)生的確不如教師，要教師“教”，而當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)到一定程度時(shí)，他們就會(huì)有自己的思想、自己的觀點(diǎn)，這時(shí)就需要教師“引”. “一題多解”反映了學(xué)生的思路，體現(xiàn)了大眾智慧，這時(shí)的教師也許不如學(xué)生的思維活躍，于是產(chǎn)生了“教學(xué)相長(zhǎng)”的效應(yīng)，但此時(shí)的教師還是學(xué)生學(xué)習(xí)組織者與指導(dǎo)者，面對(duì)學(xué)生的“一題多解”必須加以正確引導(dǎo)，以教師獨(dú)特的、專業(yè)的目光對(duì)各種解法進(jìn)行剖析，讓學(xué)生有更深刻的理解，而不是聽之任之.

那么，教師該如何對(duì)待“一題多解”呢？首先，教師自己要刻苦鉆研，深入對(duì)題目進(jìn)行研究，掌握“一題多解”的實(shí)質(zhì)，用研究的眼光看待“一題多解”，做到站得高看得遠(yuǎn). 其次，要鼓勵(lì)學(xué)生“一題多解”，讓學(xué)生在“一題多解”中感悟數(shù)學(xué)的奧妙，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的融會(huì)貫通與靈活應(yīng)用的目的. 最后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生厘清每一種解法的思路與問題揭示的本質(zhì)，而不是為“一題多解”而“一題多解”，而是讓學(xué)生從“一題多解”中感悟“一題優(yōu)解”，為學(xué)生考查答題打下扎實(shí)的基礎(chǔ).

如何上好習(xí)題課，有人講究課堂容量，認(rèn)為盡可能讓學(xué)生多練題，可以達(dá)到熟能生巧的目的. 此言似乎有一定的道理，但從減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)角度看，未必可行. 那么，減負(fù)增效路在何方？筆者以為，“一題多解”式的習(xí)題解法研究課是一種有效的嘗試，這種課不需要學(xué)生解許多題目，也不需要教師講許多題目，可思維量一點(diǎn)沒有減少，而且更有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]? 周浩. 巧借三角換元 妙解高考試題[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（09）.

[2]? 周德明，丁強(qiáng).形缺數(shù)時(shí)難入微——從2015年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第13題說起[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（34）.

[3]? 趙存卿. “杯水”與“桶水”的反思[J]. 教學(xué)與管理，2002（08）.