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        透視動態(tài)問題,深剖解析方法

        2020-11-06 07:39:39薛安定
        數(shù)學教學通訊·高中版 2020年9期

        薛安定

        [摘? 要] 立體幾何動態(tài)問題是高考的熱點題型,其中含有大量的數(shù)形信息,問題解析需要把握動態(tài)成因,關(guān)注圖形變化過程,合理進行化動為靜降維處理. 文章對動態(tài)問題歸類探究,解析問題的突破方法,提出相應的教學建議.

        [關(guān)鍵詞] 立體幾何;動態(tài);角度;距離;翻折

        問題綜述

        立體幾何中的動態(tài)問題是高考的經(jīng)典問題之一,由于問題中含有一些“不確定”因素,使得問題具有動態(tài)屬性,例如聯(lián)系動點、融合圖形翻折、平移等. 問題中的“不確定性”往往會對學生解析問題造成一定困難,需要采用對應的策略來處理. 一般立體幾何動態(tài)問題中隱含著一些規(guī)律性內(nèi)容,可將其作為打開解題突破口的關(guān)鍵條件,即采用化“動”為“靜”的轉(zhuǎn)化策略. 解析時應關(guān)注變化過程,總結(jié)變化規(guī)律,運用數(shù)學思想,合理引入?yún)?shù),適度代數(shù)推理,下面結(jié)合實例探究.

        類型探究

        立體幾何動態(tài)問題的類型較為多樣,從問題形式來看主要有角度類、距離類、翻折類等,下面對其進行深入探究.

        類型一:動態(tài)幾何中的角度問題

        立體幾何中角度問題是常見問題,涉及異面直線所成角、線面所成角、二面角等,若加入動態(tài)屬性,其求解難度會變大. 求解此類問題往往采用空間向量法,常利用點坐標參數(shù)來設定動態(tài)因素,以實現(xiàn)靜態(tài)轉(zhuǎn)化.

        例1:ABCD-A■B■C■D■為正方體,點E是側(cè)面ADD■A■內(nèi)的一個動點,已知B■E∥平面BDC■,如圖1所示,設直線B■E與直線AB所成角為θ,則sinθ的最小值為_____.

        解析:動點是形成動態(tài)幾何的因素,求異面直線所成角的正弦值的最小值,同樣可以采用空間向量法,引入坐標參數(shù)來實現(xiàn)動態(tài)問題的靜態(tài)轉(zhuǎn)化.

        以點D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD■為z軸建立空間直角坐標系,如圖2所示. 設正方體的棱長為1,點E(a,0,c)(其中0≤a≤1,0≤c≤1),則B■(1,1,1),B(1,1,0),D(0,0,0),C■(0,1,1),則可推知向量■=(a-1,-1,c-1),■=(1,1,0),■=(0,1,1),■=(0,1,0).

        設平面DBC■的法向量為n=(x,y,z),可推知n=(1,-1,1). cosθ=■=■. 又知B■E∥平面BDC■,則■·n=0,可解得a+c=1,可推知ac≤■■=■,則■≤■,sinθ=■=■≥■,a=c時等號成立,且滿足條件,所以sinθ的最小值為■.

        方法點睛:上述采用了空間向量法求異面直線所成角的正弦值的最小值,并利用坐標參數(shù)實現(xiàn)了動點的坐標具體化,促進了動態(tài)問題的靜態(tài)轉(zhuǎn)化. 因此對于涉及動點的立體幾何問題,可以引入坐標參數(shù)來簡化問題.

        類型二:動態(tài)幾何中的距離問題

        求空間距離是立體幾何的常見問題類型,同樣也可從動態(tài)角度來考查距離求解的方法. 往往動點、動直線是造成問題動態(tài)的常見因素,具體求解時需首先確定動態(tài)元素的運動軌跡,然后進行靜態(tài)轉(zhuǎn)化.

        例2:正方體ABCD-A■B■C■D■的棱長為4,點H是棱長AA■上的一點,且HA■=1,在側(cè)面BCC■B■內(nèi)作一邊長為1的正方形EFGC■,點P是側(cè)面BCC■B■內(nèi)的一個動點. 已知點P到平面CDD■C■的距離與線段PF的長相等,當點P運動時,HP的最小值為____________.

        解析:本題目同樣是因動點造成動態(tài)變化,解析時需要把握其中的距離關(guān)系,可以采用空間向量法,也可以建立平面坐標系來推導點P的運動軌跡,進而確定相應的線段最值.

        在棱BB■上取一點K,使得B■K=1,可知HK垂直于平面BCC■B■,連接PK,可知HP2=16+PK2. 在平面BCC■B■上建立平面坐標系,設定G為原點,GC■所在直線為x軸,GF所在直線為y軸,如圖4所示. 設點P的坐標為(x,y). 由題設條件可知點P的軌跡方程為x2=2y-1(其中x∈[-3,1],y∈■,4),軌跡為拋物線. 又可得點K的坐標為(0,4),則PK2=y2-6y+15,分析可知當y=3時,PK2可取得最小值6,所以HP的最小值為■.

        方法點睛:求解時采用了平面坐標系法,根據(jù)題設條件確定了動點的軌跡方程,然后建立了關(guān)于線段長的函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)確定了最終的答案. 因此對于軌跡特征明確的動態(tài)幾何問題可以從構(gòu)建軌跡方程入手.

        類型三:動態(tài)幾何中的翻折問題

        翻折、旋轉(zhuǎn)是幾何運動的重要方式,利用翻折和旋轉(zhuǎn)同樣可以構(gòu)建動態(tài)幾何,解析問題時需要關(guān)注翻折和旋轉(zhuǎn)的運動過程,充分把握其特性,挖掘其中的隱含規(guī)律來構(gòu)建相應的模型.

        例3:ABCD為平面內(nèi)的四邊形,已知AD=AB=■,CD=CB=■,AD⊥AB. 現(xiàn)將△ABD沿著對角線BD進行翻折,得到了△A′BD. 分析在△ABD折起至平面△A′BD的過程中,直線A′C與平面BCD所成最大角的正切值為____________.

        解析:連接AC,與BD的交點設為點E,則點A′的軌跡是一段以點E為圓心,以A′E長為半徑的圓弧. 軌跡確定,故可以在動點軌跡所在平面內(nèi)進行分析.

        在四邊形ABCD中,可求得BD=2,BE=ED=1,EA=1,EC=2. 探究動點A′運動軌跡所在平面,直線A′C與平面BCD所成角的平面角為∠A′CE,顯然當A′C與動點的軌跡圓相切時所成角最大,此時在Rt△A′CE中有EA=EA′=1,EC=2,所以∠A′CE=30°,則正切值tan30°=■.

        方法點睛:求解時采用了平面軌跡法,即確定翻折過程關(guān)鍵點的軌跡,然后從平面視角來直接判斷其最值情形. 問題解析充分把握翻折過程中的特殊位置,故求解翻折類立體幾何問題時可采用“軌跡轉(zhuǎn)化,特殊位置分析”的思路.

        教學建議

        上述對立體幾何常見的動態(tài)問題的特點、解析方法進行了剖析,充分掌握可以顯著提升解題能力,下面結(jié)合教學實踐提出兩點建議.

        1. 準確定位動態(tài)成因,合理開展轉(zhuǎn)化降維

        立體幾何動態(tài)問題的類型較多,上述所呈現(xiàn)的是其中較為常見的三種,形成動態(tài)問題的因素涉及動點、動直線、翻折等,解析問題的關(guān)鍵是準確定位動態(tài)成因,確定動態(tài)因素的軌跡或變化過程,為后續(xù)的降維轉(zhuǎn)化提供參考. 對于立體幾何動態(tài)問題一般采用幾何降維和化動為靜的轉(zhuǎn)化方式,其中降維處理有多種方式,可提取動點軌跡所在平面、關(guān)注其中的特殊位置、利用二面角構(gòu)建方法等,解析時需根據(jù)問題特點確定轉(zhuǎn)化降維方法. 而在教學中應引導學生深入剖析立體幾何動態(tài)問題的本質(zhì),結(jié)合化動為靜的策略來確定降維方法,形成該類問題的通性通法. 同時注重培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維,提升學生的思維靈活性.

        2. 掌握數(shù)形破解策略,發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)

        立體幾何動態(tài)問題常涉及距離、三角函數(shù)值、體積等知識,由于動態(tài)因素的存在,在解析時需要根據(jù)其動態(tài)情形來解析位置,其中必然需要利用方程、函數(shù)、不等式等代數(shù)知識,因此數(shù)形解析方法是該類問題常用的破解策略,需要重點掌握. 例如例2求距離問題時先結(jié)合動點軌跡建立了相應的函數(shù)方程,然后結(jié)合運動范圍及函數(shù)性質(zhì)確定了最終答案. 需要注意的是數(shù)形解析策略同樣是一種數(shù)學思想,在教學中需要引導學生掌握該思想的內(nèi)涵,掌握數(shù)形思想解析問題的方法技巧,教學中可以結(jié)合具體教學內(nèi)容,讓學生體驗數(shù)形結(jié)合思想的應用過程,逐步發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng).

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