王慧

[摘? 要] 學(xué)習(xí)是一個以學(xué)生為主體的知識結(jié)構(gòu)生成的過程，知識的習(xí)得是一個涉及感性認(rèn)知、理性總結(jié)以及實(shí)踐運(yùn)用的動態(tài)生成過程，如何平衡教學(xué)預(yù)設(shè)與學(xué)生自主知識生成之間的矛盾一直以來是令教師們頭疼的難題. 筆者認(rèn)為從教學(xué)的本質(zhì)目的出發(fā)，教師的課堂預(yù)設(shè)固然重要，學(xué)生的內(nèi)在生成過程才是教師最應(yīng)該關(guān)注的，文章選取了一個較為成功的教學(xué)案例作為具體闡明觀點(diǎn)的事例.

[關(guān)鍵詞] 生成性教學(xué);課堂預(yù)設(shè);解三角形;高考題改編

前言

研究認(rèn)知心理學(xué)以及現(xiàn)代教學(xué)理論的結(jié)論可知，學(xué)習(xí)是一個以學(xué)生為主體的知識結(jié)構(gòu)生成的過程. 知識和單純的信息不同，它需要知識接收者的主觀參與，知識的習(xí)得是一個涉及感性認(rèn)知、理性總結(jié)以及實(shí)踐運(yùn)用的動態(tài)生成過程，因此知識本身是不能被簡單傳遞的，知識的傳授需要教師結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知能力和實(shí)際的教學(xué)情況靈活調(diào)整教學(xué)策略，教師需要化主導(dǎo)為引導(dǎo)，提供線索以幫助學(xué)生內(nèi)生出對于知識的理解和感悟.

為了把握教學(xué)進(jìn)度，保證一定的課堂效率，教師需要在課前備課并對教學(xué)過程以及教學(xué)效果進(jìn)行一定的預(yù)設(shè)，如何平衡教學(xué)預(yù)設(shè)與學(xué)生自主知識生成之間的矛盾一直以來是令教師們頭疼的難題. 筆者認(rèn)為從教學(xué)的本質(zhì)目的出發(fā)，教師的課堂預(yù)設(shè)固然重要，學(xué)生的內(nèi)在生成過程才是教師最應(yīng)該關(guān)注的，即要更多地關(guān)注學(xué)生得到了什么，而不是只盯著自己教了什么. 筆者也為解決此問題做出了很多嘗試，本文中筆者選取了一個較為成功的教學(xué)案例作為具體闡明觀點(diǎn)的事例，以一道高考改編題的多種解法為切入點(diǎn)，希望能給各位讀者就如何平衡預(yù)設(shè)與生成這一問題帶來一些啟發(fā).

改編問題與課前預(yù)設(shè)

1. 原題再現(xiàn)

原題：已知△ABC中，若已知AB=2，AC=■BC，則S△ABC的最大值是______.

原題解法：解決本題的常用方法有兩個，第一種方法是利用解三角形中的余弦定理，將本題轉(zhuǎn)化為關(guān)于邊BC的函數(shù)最優(yōu)化問題，這種方法在思維上十分自然，絕大多數(shù)學(xué)生都會采用這一思路來解題，不過此方法也會帶來較大的計(jì)算量;第二種方法是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，由■=k（k>0，k≠1）聯(lián)想到C點(diǎn)的軌跡是一個阿波羅尼斯圓，通過建立直角坐標(biāo)系以解析幾何的方法計(jì)算出面積的最大值，第二種方法雖然巧妙，但是很少有學(xué)生能夠想到.

2. 例題改編與教學(xué)預(yù)設(shè)

若△ABC是一個等腰三角形且以BC為底邊，現(xiàn)已知某一腰上的中線長為2，試求該三角形面積的最大值.

新舊問題關(guān)系：中線將大三角形分成面積相等的兩部分，因此求大三角形面積的最大值可以轉(zhuǎn)化為求任一小三角形面積的最大值，而求小三角形面積的大致思路與原題呼應(yīng)，而通過模糊邊長的具體數(shù)值，突出其比例關(guān)系，筆者希望能夠引導(dǎo)學(xué)生回憶起阿波羅尼斯圓的概念，并積極應(yīng)用有關(guān)方法解決問題.

課堂預(yù)設(shè)：由于學(xué)生平時對于解三角形的知識方法較為熟悉，故學(xué)生的第一反應(yīng)是利用余弦定理解決問題，同時教師需要給出適當(dāng)?shù)奶崾竞忘c(diǎn)撥，學(xué)生才能想到建系，利用阿波羅尼斯圓的思想轉(zhuǎn)化問題，本節(jié)課的重點(diǎn)放在阿波羅尼斯圓方法的介紹上.

課堂教學(xué)過程展示

筆者先讓學(xué)生進(jìn)行了一段時間的自主思考，然后讓學(xué)生分享自己解決本問題的方法. 和預(yù)期一樣，第一位發(fā)言的學(xué)生A提出了基于余弦定理的解法：

如圖1所示，設(shè)AD=a，AB=2a，則可得cosA=■=■，根據(jù)A∈（0，π）以及同角三角函數(shù)關(guān)系可知sinA=■，所以S■=■·2a·2a·sinA=■■，同時根據(jù)三角形三邊之關(guān)系可得■

在學(xué)生A展示完方法后，學(xué)生B提出通過同角三角函數(shù)關(guān)系計(jì)算sinA比較麻煩，可以換一種思路轉(zhuǎn)化問題：由cosA=■=■可知a2=■，則S=■·2a·2asinA=■（0

即A=α0時，S■取得最大值，則可得此時sinA=■，（S■）■=■.

這種方法雖然也從余弦定理出發(fā)，卻采用了一種很巧妙的轉(zhuǎn)化，一定程度上減少了計(jì)算量，同時結(jié)合了導(dǎo)數(shù)的知識，將問題結(jié)構(gòu)體現(xiàn)得更加清楚，這有些出乎筆者的意料. 緊接著，學(xué)生C提出不利用導(dǎo)數(shù)的知識也可以解決該問題：

得到S=■后可直接通過萬能公式將其轉(zhuǎn)化為S=■，再由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)tan■=■時，S■=■.

筆者在課堂上并沒有著重強(qiáng)調(diào)萬能公式，這位學(xué)生卻能夠?qū)⑵鋬?nèi)化并靈活使用，這著實(shí)讓筆者感到驚喜. 此時課堂時間已經(jīng)過去將近一半，學(xué)生們反應(yīng)熱烈，仍不斷有學(xué)生舉手示意，想要分享自己的解法，筆者還沒有按照課堂預(yù)設(shè)介紹阿波羅尼斯圓的方法，但由于堅(jiān)信多給學(xué)生一些自主生成的空間能帶來更好的教學(xué)效果，筆者沒有打斷學(xué)生的交流.

學(xué)生D提出還可以利用重心挖掘數(shù)量關(guān)系：如圖2所示，連接頂點(diǎn)A與BC的中點(diǎn)E，與BD相交于G，易知G是△ABC的重心.

因?yàn)锽D=2，則由重心的性質(zhì)可知，GD=■，GB=■. 設(shè)∠DBC=α，由于△ABC等腰且E是底邊BC的中點(diǎn)，所以∠AEB=90°，則BE=■cosα，BC=■cosα，則可得S■=2S■=2×■×DB×BC×sinα=2×■×2×■cosα×sinα=■sin2α.又0<α<■，所以0

這位學(xué)生注意到了等腰三角形三線合一的幾何性質(zhì)，跳出了余弦定理的思路，轉(zhuǎn)而利用重心帶來的比例關(guān)系解決問題，不失為一個新穎有效的方法，筆者表揚(yáng)了這位同學(xué)并借機(jī)引導(dǎo)學(xué)生向他學(xué)習(xí)，廣泛聯(lián)想，學(xué)會挖掘出題目中的隱藏信息.

此時學(xué)生E提出可以利用解析幾何的方法求該最值：

如圖3所示建立平面直角坐標(biāo)系并設(shè)B（-m，0），C（m，0），A（0，n），則可得D■，■. 因?yàn)锽D=2，所以可得■+■=4，即9m2+n2=16. 又9m2+n2≥6mn，當(dāng)且僅當(dāng)3m=n時取得等號，所以6mn≤16，mn≤■，則S■=■×2m×n=mn≤■，最大值為■.

緊接著學(xué)生F提出在學(xué)生E的思路上，可以用三角代換的方法更準(zhǔn)確地刻畫S■的變化：

在9m2+n2=16中，可令3m=4cosθ，n=4sinθ，即m=■cosθ，n=4sinθ，則面積可以表示為S■=mn=■sinθcosθ=■sin2θ，易知θ可以取到■，則S■=■.

這兩位同學(xué)吸收了數(shù)形結(jié)合的思想方法，他們分享的兩種解法引起了其他學(xué)生的極大興趣，但可能是由于思考時間較短的問題，學(xué)生沒有再提出新的解決方法. 見學(xué)生思考遇到了瓶頸，筆者順著前面兩位學(xué)生的方法，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)沿著數(shù)形結(jié)合的思想探索下去，并提示他們關(guān)注AB=2AD這一條件，很快思路被打開的學(xué)生想到了阿波羅尼斯圓的方法：

沿BD方向?yàn)闄M軸正方向，以其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，則可得B（-1，0），D（1，0）. 設(shè)A（x，y），由AB=2AD可得■=2，即■=2，化簡后可得x-■■+y2=■，即A的運(yùn)動軌跡是一個以■，0為圓心，■為半徑的圓（不包含與橫軸的交點(diǎn)），對于△ABD，軌跡上的點(diǎn)到BD的最長距離為■，所以（S△ABD）max=■，即（S△ABD）max=■.

一節(jié)課下來筆者只完成了對一道改編題的探究，若是以課堂預(yù)設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)，本節(jié)課必然稱不上是高效的，但是課堂教學(xué)的目的不是簡單地傳遞信息，而是引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)生出對于知識的理解. 本節(jié)課上學(xué)生的思維被充分激發(fā)，且課堂討論氛圍十分熱烈，絕大多數(shù)學(xué)生都在積極參與思考，從這個角度觀察，本節(jié)課實(shí)際上是頗有成效的.