陳巖

[摘? 要] 數(shù)學(xué)是一門以思維活動(dòng)為主的學(xué)科，這就需要在教學(xué)中不斷強(qiáng)化觀察能力的作用.在數(shù)學(xué)問題的解決中，觀察能力的培養(yǎng)不僅需要激發(fā)學(xué)生的觀察意識(shí)，而且需要正確選擇觀察對(duì)象，同時(shí)還需掌握正確的觀察路徑.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);解題;觀察能力;培養(yǎng)

眾所周知，觀察是認(rèn)識(shí)世界的“窗戶”，觀察是解決問題的“踏板”，觀察是思維活動(dòng)的“觸角”，觀察是智慧生成的“雙眼”. 因此，觀察是思維活動(dòng)的開始，它是信息獲取的渠道，它是解題路徑的向?qū)?，它是分析問題的基礎(chǔ).

在數(shù)學(xué)問題的解決中，觀察也是一種行之有效的學(xué)習(xí)方式，具備敏銳的觀察力，在準(zhǔn)確發(fā)現(xiàn)問題、牢牢把握問題本質(zhì)、選擇最佳解題途徑等方面都具有重要的作用. 學(xué)生觀察能力的差異性在一定程度上也揭示了學(xué)生能力的差異性，這樣一來(lái)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力就成了數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一項(xiàng)重任，也成為廣大數(shù)學(xué)教師在教學(xué)活動(dòng)中所追求的重要目標(biāo). 本文擬對(duì)解題教學(xué)中觀察能力培養(yǎng)的策略以及具體路徑進(jìn)行探討，以期引起大家對(duì)觀察能力培養(yǎng)的關(guān)注與研究.

激發(fā)觀察意識(shí)

觀察能力是學(xué)生在解題的過(guò)程中必須具備的能力，只有學(xué)生形成觀察意識(shí)，才能更積極地進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，才能更快地發(fā)現(xiàn)隱含于題目之中的解法，才能更好地找尋出條件與結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)，才能使問題迎刃而解.

例1：如圖1，橢圓O的離心率為E=■，且有一準(zhǔn)線方程x=2■.

（1）試求出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)一動(dòng)點(diǎn)P滿足■=■+2■，點(diǎn)M，N在橢圓上，直線OM斜率與直線ON斜率的乘積為-■，是否存在定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使得PF1+PF2為定值？如果存在，請(qǐng)求出F1，F(xiàn)2的坐標(biāo);如果不存在，請(qǐng)闡明理由.

分析：觀察問題（1），易得出橢圓方程為■+■=1. 觀察問題（2），首先可以設(shè)點(diǎn)P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），據(jù)條件■=■+2■，可得P=（x1+2x2，y1+2y2）. 再?gòu)臈l件中“點(diǎn)M，N在橢圓上，直線OM斜率與直線ON斜率的乘積為-■”，可以得出兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足如下3個(gè)關(guān)系式：■+■=1，■+■=1，■·■=-■. 探究到了這一步，不少學(xué)生的思維出現(xiàn)了卡殼，無(wú)法繼續(xù)前進(jìn). 筆者適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生深入觀察和反復(fù)斟酌題目的結(jié)論“存在定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使得PF1+PF2為定值”，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的探究，學(xué)生終于發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)為“求點(diǎn)P的軌跡方程，并確定軌跡為橢圓”. 接著，再?gòu)拇鷶?shù)的視角反復(fù)觀察橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程“■+■=1”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及上述3個(gè)關(guān)系式之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步得出x2+2y2=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2=（x■+2y■）+4（x■+2y■）+4（x1x2+2y1y2）=20，也就是點(diǎn)P所在的橢圓方程，其中定點(diǎn)F1，F(xiàn)2坐標(biāo)為F1（-■，0），F(xiàn)2（■，0）.

正確選擇觀察對(duì)象

高中生心理上觀察事物所必備的基本素質(zhì)尚未完善，在解決問題的水平上對(duì)問題關(guān)鍵點(diǎn)、數(shù)量關(guān)系、圖形或公式的結(jié)構(gòu)特征及內(nèi)在規(guī)律的觀察上還有所欠缺.因此，只有注重對(duì)學(xué)生觀察方法的指導(dǎo)和培養(yǎng)，才能保證觀察的準(zhǔn)確性和正確性.

1. 問題的關(guān)鍵點(diǎn)

在進(jìn)行具體的解題活動(dòng)時(shí)，基于已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與解題經(jīng)驗(yàn)逐步建構(gòu)解題路徑. 借助觀察和運(yùn)算相結(jié)合的方式，關(guān)注到題目的關(guān)鍵詞、句，不僅有利于更快地找出解題思路，而且有利于架起解題經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)觀察之間的橋梁，通過(guò)反復(fù)地觀察，不斷地思辨，可以起到簡(jiǎn)化運(yùn)算和開闊思路的效果，從而使問題得到迅速解決.

例2：若等比數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+a4+a5=3，a■+a■+a■+a■+a■=12，試求出a1-a2+a3-a4+a5的值.

分析：從代數(shù)式的形式入手觀察，并與題設(shè)相結(jié)合可以得出a1+a2+a3+a4+a5為該等比數(shù)列{an}的前5項(xiàng)之和. 那么a■+a■+a■+a■+a■與a■-a■+a■-a■+a■是否也可視為一數(shù)列的前5項(xiàng)之和？有沒有可能是什么特殊數(shù)列呢？再次觀察它們的通項(xiàng)，并聯(lián)想等比數(shù)列的性質(zhì)，可以發(fā)現(xiàn)a■+a■+a■+a■+a■為等比數(shù)列{a■}的前5項(xiàng)之和，而a■-a■+a■-a■+a■為等比數(shù)列{-1n+1an}的前5項(xiàng)之和，且等比數(shù)列{an}，{a■}，{-1n+1an}三者的公比存在一定的數(shù)量關(guān)系. 至此，完整的解題路徑算是搭建完成了.

解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，那么等比數(shù)列{a■}的公比為q2，等比數(shù)列{-1n+1an}的公比為-q，據(jù)題意可得q≠1.

a■+a■+a■+a■+a■=■=3，

a■+a■+a■+a■+a■=■=■=3■=12，

即■=4，所以a■-a■+a■-a■+a■=■=4.

2. 內(nèi)在規(guī)律

在解題中，一些題目蘊(yùn)含的條件與性質(zhì)都較為隱蔽，需要通過(guò)反復(fù)觀察清楚揭示已知與未知的內(nèi)在聯(lián)系，深入挖掘并轉(zhuǎn)化結(jié)論和條件，找尋出正確的解題思路，使問題的解決達(dá)到“柳暗花明”的效果，同時(shí)也提升了學(xué)生觀察的敏銳性.

例3：已知f（a+b）=f（a）·f（b），且有f（1）=2，那么■+■+■+…+■=________.

分析：仔細(xì)觀察所求問題，可以發(fā)現(xiàn)它為數(shù)列■中的項(xiàng)，而■+■+■+…+■為該數(shù)列的前1005項(xiàng)之和，從而可以將問題轉(zhuǎn)化為找尋數(shù)列的通項(xiàng)問題.再次觀察條件f（a+b）=f（a）·f（b）和f（1）=2，不難察覺，令a=n，b=1，則有f（n+1）=f（1）·f（n）=2f（n），則有■=2，所以■+■+■+…+■=2010.

3. 式子的結(jié)構(gòu)特征

數(shù)學(xué)式子的結(jié)構(gòu)特征往往是問題解決的切入點(diǎn). 在解題中，關(guān)注到題目中所出現(xiàn)公式的結(jié)構(gòu)特征，也就是通過(guò)反復(fù)觀察，看穿公式的本質(zhì)，這樣一來(lái)才能有效展開聯(lián)想或啟迪直覺思維，從而實(shí)現(xiàn)解題過(guò)程中的靈活運(yùn)用.

例4：已知f（x）為定義在[-2，2]上的函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2（x1≠x2），有■>0恒成立，且f（x）≤1，則滿足f（log■x）<1的解集是________.

分析：本題中由于f（x）無(wú)具體表達(dá)式，為一個(gè)抽象函數(shù)，此處要求解不等式f（log2x）<1，自然離不開函數(shù)f（x）的單調(diào)性，觀察條件■>0，其中隱含條件是什么呢？此條件可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x1-x2>0時(shí)，f（x1）-f（x2）>0;當(dāng)x1-x2<0時(shí)，f（x1）-f（x2）<0，與函數(shù)單調(diào)性的定義相溝通，則可以判定函數(shù)f（x）為定義在[-2，2]上的增函數(shù).

解：據(jù)■>0，可得函數(shù)f（x）在[-2，2]上是增函數(shù). 因?yàn)閒（x）≤1，所以f（2）=1，所以f（log2x）<1可以轉(zhuǎn)化為f（log2x）

4. 圖形特征

在解題中，仔細(xì)觀察圖形特征，可以較為容易地把握?qǐng)D形特點(diǎn)，同時(shí)巧妙借助幾何性質(zhì)，使問題得到快速解決.

例5：已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的圓心位于第二象限，其半徑r=2■，且圓C與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O.橢圓■+■=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和是10.

（1）試求出圓C的方程.

（2）圓C上是否存在一點(diǎn)Q（不與原點(diǎn)O重合），到橢圓右焦點(diǎn)的距離為線段OF的長(zhǎng)，如果存在，試探求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若干不存在，請(qǐng)闡明原因.

分析：觀察問題（1），易得出圓C的方程為（x+2）2+（y-2）2=8. 觀察問題（2），不難發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q是圓C上的一點(diǎn)，且滿足QF=OF，再利用待定系數(shù)法聯(lián)立方程組即可求解，具體求解過(guò)程如下：因?yàn)閳AC的方程為（x+2）2+（y-2）2=8，且F（4，0）.

設(shè)Q（x，y），有（x-4）2+y2=16，（x+2）2+（y-2）2=8，

解得x=■，y=■或x=0，y=0（舍去）.由此可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為■，■.

然而，此解法中解方程組具有一定程度上的繁雜，是否存在其他簡(jiǎn)捷解題路徑呢？

我們可以通過(guò)畫圖重新建構(gòu)解題路徑. 如圖2，觀察圖形特征不難發(fā)現(xiàn)：四邊形COFQ中，有CO=CQ，OF=FQ. 所以CF垂直且平分OQ，所以O(shè)，Q關(guān)于直線CF對(duì)稱. 本題則可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)O關(guān)于直線CF的對(duì)稱點(diǎn). 具體解題過(guò)程如下：據(jù)條件可得a=5，F(xiàn)（4，0）. 又有O，Q在圓C上，所以O(shè)，Q關(guān)于直線CF對(duì)稱. 直線CF的方程：y-2=-■（x+2），即x+3y-4=0. 設(shè)Q（x，y），則有■=3，■+■-4=0，解得x=■，y=■，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為■，■.

（此解法看似書寫繁多，而解題過(guò)程所涉計(jì)算較少，不易出錯(cuò).）

培養(yǎng)正確的觀察路徑

正確的觀察路徑，也就是學(xué)會(huì)如何觀察，解決好觀察路徑的培養(yǎng)也是提高學(xué)生觀察能力的重要方面.

1. 全面觀察. 在觀察時(shí)，需立足整體，形成初步的觀察概念，再觀察部分的特征，從而牢牢把握問題的本質(zhì)，并有步驟、有條理地建立解題路徑.

2. 靈活觀察. 在觀察中，還需多角度、多方位進(jìn)行靈活觀察，透過(guò)問題的現(xiàn)象看到本質(zhì)，從而及時(shí)捕捉到有效信息，在正確解題的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈敏性.

3. 深刻觀察. 觀察的終極目標(biāo)就是實(shí)現(xiàn)思維能力的提升，因此觀察活動(dòng)需與思維訓(xùn)練有效溝通，在觀察中牢牢把握問題的本質(zhì)，做到目無(wú)全牛，從而提高解題的準(zhǔn)確性的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)有責(zé)任、有義務(wù)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力. 只有具備了觀察這一重要數(shù)學(xué)素養(yǎng)，才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，發(fā)展他們的解題能力，從而使思維能力向著深層次發(fā)展.