顧銀鳳

摘? 要：只有秉持“高觀點(diǎn)”，秉持?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的“大視角”“大概念”“大思想”“大結(jié)構(gòu)”，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生的進(jìn)階學(xué)習(xí)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師既要著眼于數(shù)學(xué)，又要著眼于學(xué)生，更要著眼于方法。只有這樣，才能引導(dǎo)學(xué)生在“高觀點(diǎn)”統(tǒng)領(lǐng)下進(jìn)行知識(shí)進(jìn)階、思維進(jìn)階和方法進(jìn)階。只有引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)不斷進(jìn)階，才能讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);高觀點(diǎn);高階學(xué)習(xí)

德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家克萊因倡導(dǎo)初等數(shù)學(xué)教學(xué)的“高觀點(diǎn)”，他認(rèn)為，許多初等數(shù)學(xué)的內(nèi)容必須放置于高等數(shù)學(xué)的視角內(nèi)來(lái)進(jìn)行審視，才能獲得通透性的理解。所謂“居高”才能“臨下”，“高屋”方可“建瓴”。只有秉持“高觀點(diǎn)”，秉持?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的“大視角”“大概念”“大思想”“大結(jié)構(gòu)”，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生的進(jìn)階學(xué)習(xí)，讓學(xué)生由低階認(rèn)知邁向高階思維狀態(tài)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，只有站立于“高觀點(diǎn)”視角上，才能把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，有效地引導(dǎo)學(xué)生的高階學(xué)習(xí)，讓學(xué)生真正成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人。

一、著眼于數(shù)學(xué)：“高觀點(diǎn)”統(tǒng)領(lǐng)下的知識(shí)進(jìn)階

秉持“高觀點(diǎn)”，首先要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行審視。不僅要把握數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，更要將數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)放置于數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思想方法中進(jìn)行審視。“高觀點(diǎn)”統(tǒng)領(lǐng)下的知識(shí)進(jìn)階，包括“大概念統(tǒng)領(lǐng)”“思想性包攝”“結(jié)構(gòu)性關(guān)聯(lián)”?！案哂^點(diǎn)”統(tǒng)領(lǐng)下的知識(shí)教學(xué)，往往抽象度高、概括性強(qiáng)、包攝性大、解釋性豐。既見(jiàn)樹(shù)木更見(jiàn)森林，既見(jiàn)皮囊更見(jiàn)靈魂。在“高觀點(diǎn)”下，學(xué)生不僅能把握數(shù)學(xué)核心知識(shí)、本質(zhì)，更能領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的核心思想方法。

《分?jǐn)?shù)的意義》（蘇教版五上）這部分內(nèi)容是在三年級(jí)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）（二）》的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的。教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，絕大部分教師都是從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，將單位“1”的量概括成“一個(gè)物體”“一個(gè)計(jì)量單位”“許多物體組成的一個(gè)整體”等。這樣的教學(xué)中，學(xué)生對(duì)單位“1”的量的理解是膚淺的、靜止的。單位“1”的量之于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不具有生長(zhǎng)性。筆者在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)態(tài)認(rèn)識(shí)單位“1”的量，將分?jǐn)?shù)放置于度量意義的高觀點(diǎn)下引導(dǎo)學(xué)生感受、體驗(yàn)，充分體現(xiàn)分?jǐn)?shù)的無(wú)量綱性。所謂“無(wú)量綱性”就是我們?cè)谟梅謹(jǐn)?shù)表示兩個(gè)量之間的關(guān)系時(shí)，無(wú)須考慮量的其他屬性，只需要把這個(gè)量平均分成若干份，表示這樣的幾份。筆者出示6個(gè)同樣大小的正方形，引導(dǎo)學(xué)生思考：這些正方形可以用哪些數(shù)來(lái)表示？由于標(biāo)準(zhǔn)不同（即將不同個(gè)數(shù)的正方形看成單位“1”的量），所以6個(gè)正方形可以用不同的數(shù)來(lái)表示。如將6個(gè)正方形看成一個(gè)整體，6個(gè)正方形就是單位“1”;將3個(gè)正方形看成一個(gè)整體，6個(gè)正方形就是整數(shù)“2”;將12個(gè)正方形看成一個(gè)整體，6個(gè)正方形就是“ ”等。在這里，單位“1”跳出了一般性的定義，成為一把尺子，可以進(jìn)行度量。不僅如此，這樣的教學(xué)有效地溝通了分?jǐn)?shù)、整數(shù)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)的理解獲得了一種連續(xù)性。單位“1”的量在度量意義視角下被賦予了靈動(dòng)的、深刻的內(nèi)涵，充分體現(xiàn)了分?jǐn)?shù)的無(wú)量綱性。

這樣的教學(xué)，站在“分?jǐn)?shù)的意義”高觀點(diǎn)視角下，運(yùn)用一種生成性、動(dòng)態(tài)性的教學(xué)方式，助推學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。學(xué)生在高觀點(diǎn)教學(xué)下能有效生成數(shù)感，形成對(duì)數(shù)學(xué)概念、知識(shí)的本質(zhì)洞察，形成對(duì)數(shù)學(xué)概念、知識(shí)的結(jié)構(gòu)性把握，形成對(duì)數(shù)學(xué)概念、知識(shí)背后思想的感悟。在高觀點(diǎn)視域下，大概念、大思想、大結(jié)構(gòu)是三位一體的。“大概念”離不開(kāi)“大思想”，同時(shí)它們一定是在“大結(jié)構(gòu)”之中的。從這樣的意義上說(shuō)，“高觀點(diǎn)”視角下的教學(xué)就是大概念教學(xué)、思想性教學(xué)、結(jié)構(gòu)性教學(xué)。

二、著眼于學(xué)生：“高觀點(diǎn)”統(tǒng)領(lǐng)下的思維進(jìn)階

用“高觀點(diǎn)”統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅要把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想等，更要把握學(xué)生的具體學(xué)情。如果說(shuō)，學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想是“高觀點(diǎn)”教學(xué)的基礎(chǔ)，那么，學(xué)生的具體學(xué)情就是“高觀點(diǎn)”教學(xué)的前提。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)以學(xué)生的思維為核心，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由表及里、由點(diǎn)及面、由淺入深地逐步發(fā)展、提升。要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行橫向、縱向思考，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)。教學(xué)中，教師要把握學(xué)生的具體學(xué)情，將教學(xué)切入學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”，引導(dǎo)學(xué)生由“可能發(fā)展區(qū)”邁向“現(xiàn)實(shí)發(fā)展區(qū)”。

比如教學(xué)《異分母分?jǐn)?shù)相加減》（蘇教版五上），一般教師通常創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，然后讓學(xué)生自主探究，比如“畫(huà)圖法”“化成小數(shù)法”“化成同分母分?jǐn)?shù)法”等。這樣的教學(xué)，盡管也能讓學(xué)生靈活掌握異分母分?jǐn)?shù)相加減的法則，但這種法則的掌握多半是停留在操作層面的。如何讓學(xué)生形成整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)相加減的“高觀點(diǎn)”？筆者在教學(xué)中以“圖片+算式”的方式分別呈現(xiàn)：1+1，1+10，1+0.1，并用問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生思考：算式中的兩個(gè)“1”是否可直接相加？由此激活學(xué)生對(duì)整數(shù)加減法、小數(shù)加減法法則的記憶，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：只有計(jì)數(shù)單位相同才能相加或相減。有了這樣的高觀點(diǎn)認(rèn)知，學(xué)生就會(huì)自主探究“異分母分?jǐn)?shù)加減法的法則”。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到，無(wú)論是將“異分母的分?jǐn)?shù)化成小數(shù)進(jìn)行計(jì)算”還是將“異分母的分?jǐn)?shù)化成同分母的分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算”，都是為了讓計(jì)數(shù)單位從不同轉(zhuǎn)變?yōu)橄嗤＿@樣，學(xué)生不僅深刻理解了異分母分?jǐn)?shù)相加減的法則背后的算理，更將整數(shù)加減法、小數(shù)加減法和分?jǐn)?shù)加減法的法則勾連、串接起來(lái)，形成了一種更為上位的認(rèn)知。

瑞士著名教育心理學(xué)家皮亞杰的認(rèn)知建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)生的學(xué)習(xí)就是主動(dòng)建構(gòu)認(rèn)知圖式的過(guò)程。當(dāng)新知與原有認(rèn)知圖式一致時(shí)，就會(huì)發(fā)生積極同化的學(xué)習(xí)現(xiàn)象;當(dāng)新知與原有認(rèn)知圖式不一致時(shí)，原有認(rèn)知圖式就會(huì)改變、調(diào)整，以便順應(yīng)新知?；凇案哂^點(diǎn)”視角，教師要引導(dǎo)學(xué)生把握整體，左右勾連。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生會(huì)主動(dòng)地進(jìn)行橫向數(shù)學(xué)化、縱向數(shù)學(xué)化的數(shù)學(xué)思考，進(jìn)而提高學(xué)生的思維品質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生的思維不斷進(jìn)階。

三、著眼于學(xué)習(xí)：“高觀點(diǎn)”統(tǒng)領(lǐng)下的方法進(jìn)階

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能否實(shí)現(xiàn)不斷進(jìn)階，不僅依賴(lài)于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性把握，而且需要對(duì)學(xué)生的具體學(xué)情進(jìn)行把握，還要能根據(jù)整體性知識(shí)以及學(xué)生的學(xué)習(xí)樣態(tài)，采用合適的方法對(duì)學(xué)生進(jìn)行引領(lǐng)、培養(yǎng)。從根本上說(shuō)，學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階歸根結(jié)底是學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，而學(xué)習(xí)方法是學(xué)習(xí)能力中的一個(gè)重要組成。著眼于學(xué)生的學(xué)習(xí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生的方法進(jìn)階。正如法國(guó)著名思想家笛卡爾所說(shuō)：“一切學(xué)習(xí)都是方法的學(xué)習(xí)?！?/p>

比如教學(xué)《圓柱的體積》（蘇教版六下），教師可以從“圓的面積”的推導(dǎo)復(fù)習(xí)開(kāi)始，啟發(fā)學(xué)生將圓柱體通過(guò)無(wú)限切割的方法轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生自然能領(lǐng)悟“化曲為直”的思想。從根本上說(shuō)，“轉(zhuǎn)化”“化曲為直”這些思想方法在數(shù)學(xué)中是一以貫之的，是一種“高觀點(diǎn)”“高內(nèi)涵”。在學(xué)生掌握了“圓柱的體積”之后，教師還可以將“長(zhǎng)方體的體積”“正方體的體積”并置其中，引導(dǎo)學(xué)生形成整體性認(rèn)知。通過(guò)多媒體動(dòng)畫(huà)演示，學(xué)生能直觀感知到：一個(gè)長(zhǎng)方形通過(guò)平移，能無(wú)限疊加成長(zhǎng)方體;一個(gè)圓形通過(guò)平移，能無(wú)限疊加成圓柱體。于是，長(zhǎng)方體、正方體和圓柱體的體積公式就在一個(gè)更高的層面上統(tǒng)一了，形成了“V=Sh”的上位認(rèn)識(shí)。對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，形成一種知識(shí)的上位認(rèn)識(shí)還是次要的，更重要的是學(xué)生在形成上位認(rèn)識(shí)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)思想得到了提升。就如同在長(zhǎng)方體、正方體和圓柱體體積統(tǒng)一公式的形成過(guò)程中，學(xué)生所感受到、體驗(yàn)到的一種無(wú)限疊加的極限思想，這種思想不僅對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)這部分知識(shí)內(nèi)容大有裨益，而且有助于學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。通過(guò)這樣的思想方法，學(xué)生對(duì)三棱柱、四棱柱等多棱柱的體積公式都能形成一種自主性建構(gòu)。

數(shù)學(xué)的思想、方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，秉持一種高觀點(diǎn)，進(jìn)行一種大概念、思想性、結(jié)構(gòu)性的教學(xué)，能讓學(xué)生舉一反三、觸類(lèi)旁通。可以這樣說(shuō)，只有“高觀點(diǎn)”視角下的數(shù)學(xué)知識(shí)才具有一種活性，內(nèi)含一種遺傳密碼，能再生知識(shí)、創(chuàng)生知識(shí)?！案哂^點(diǎn)”下的數(shù)學(xué)教學(xué)，能讓學(xué)生運(yùn)籌帷幄，更好地組織、利用、挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生打通“任督二脈”，從而能自主生產(chǎn)知識(shí)、建構(gòu)知識(shí)、創(chuàng)造知識(shí)。

德國(guó)著名數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因在《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中深刻指出：“數(shù)學(xué)教師應(yīng)具有較高的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，觀點(diǎn)越高，事物就越顯得簡(jiǎn)單?！薄案哂^點(diǎn)”下的數(shù)學(xué)教學(xué)，是當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的價(jià)值轉(zhuǎn)型。運(yùn)用現(xiàn)代教學(xué)理論，準(zhǔn)確把握小學(xué)數(shù)學(xué)的本質(zhì)、關(guān)鍵，注重思想方法的滲透，是“高觀點(diǎn)”下數(shù)學(xué)教學(xué)的必然。作為教師，只有“站得高”，才能“望得遠(yuǎn)”。運(yùn)用高觀點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，必然能讓小學(xué)數(shù)學(xué)園地呈現(xiàn)一派新的景象與新的生機(jī)。