戴耀藝

摘 要：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，既有自己本身的特性，也具有函數(shù)的性質(zhì)，因此在教學(xué)和解題過(guò)程中充分挖掘數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，借助函數(shù)性質(zhì)解決數(shù)列問(wèn)題，感悟函數(shù)思想在解決數(shù)列問(wèn)題中的作用。

關(guān)鍵詞：函數(shù);函數(shù)思想;數(shù)列

數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合是高考的熱點(diǎn)，有時(shí)也是難點(diǎn)。函數(shù)思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，也是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的數(shù)學(xué)思想之一。所謂函數(shù)思想，就是用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，分析和研究實(shí)際問(wèn)題或數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的形式，把這種數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)并加以研究（一般借助函數(shù)的性質(zhì)、圖象等），從而更快更好地解決問(wèn)題。從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。從這個(gè)意義上看，它豐富了學(xué)生所學(xué)的函數(shù)概念范圍，有些數(shù)列的問(wèn)題可用函數(shù)思想來(lái)解決。引導(dǎo)學(xué)生以函數(shù)的概念、圖像、相關(guān)性質(zhì)為紐帶，構(gòu)建函數(shù)與數(shù)列的橋梁，揭示兩者間的內(nèi)在聯(lián)系，能有效的解決數(shù)列問(wèn)題。

圖象是函數(shù)特征的直觀呈現(xiàn)，借助函數(shù)圖象來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題（以形助數(shù)）是我們?cè)诮忸}中經(jīng)常采用的手段，也就是所謂的數(shù)形結(jié)合。這里將等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式看做關(guān)于n的函數(shù)，利用函數(shù)對(duì)應(yīng)的圖象關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題，簡(jiǎn)化了運(yùn)算。

沒(méi)有給出數(shù)列的具體類(lèi)型，可以通過(guò)數(shù)列的遞推關(guān)系，寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，用不完全歸納法找到數(shù)列的規(guī)律，從而解決問(wèn)題。但是需要由較強(qiáng)的推理歸納能力。所以僅僅利用數(shù)列的知識(shí)不容易解決，而如果我們從函數(shù)視角去考慮，借助函數(shù)的周期性，對(duì)數(shù)列會(huì)有一個(gè)新的更清晰認(rèn)識(shí)。

數(shù)列的遞推關(guān)系，也蘊(yùn)含著函數(shù)本質(zhì)。本題是轉(zhuǎn)化為函數(shù)表示，變量是正整數(shù)集，比一般的實(shí)數(shù)集更簡(jiǎn)單。因此找到函數(shù)的周期性，在大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程的同時(shí)，很好地培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力。

例3、判斷數(shù)列的單調(diào)性。

點(diǎn)撥：構(gòu)造，顯然，顯然在是增函數(shù)，所以數(shù)列是遞增函數(shù)。

這里將通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的形式，通過(guò)判斷函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定數(shù)列的單調(diào)性，符合數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的這一規(guī)定，在這里是一種演繹推理。函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的單調(diào)性既有聯(lián)系又有區(qū)別，也就是說(shuō)如果數(shù)列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)單調(diào)則該數(shù)列一定單調(diào)，但反之如果數(shù)列單調(diào)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)不一定單調(diào)，關(guān)鍵的原因在于數(shù)列是一個(gè)定義域在正整數(shù)集N+（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的特殊函數(shù)，是一個(gè)離散的函數(shù)，在圖像上表示的一些離散的點(diǎn)。

在教學(xué)過(guò)程中提倡學(xué)生學(xué)會(huì)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方法。學(xué)會(huì)構(gòu)建函數(shù)，使用數(shù)學(xué)的函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的體驗(yàn)、思考與參與，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。在構(gòu)建函數(shù)之后，往往需要利用函數(shù)的概念和性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，而函數(shù)的基本性質(zhì)包括了奇偶性、單調(diào)性、周期性，最值性零點(diǎn)等等，畫(huà)出函數(shù)圖像采用數(shù)學(xué)結(jié)合的方法解決問(wèn)題。因此在數(shù)列教學(xué)過(guò)程中滲透函數(shù)思想，要結(jié)合已知特征進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，這樣不僅可以進(jìn)一步鞏固之前學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)知識(shí)，融會(huì)貫通，而且可以進(jìn)一步拓寬學(xué)生解決數(shù)列問(wèn)題的視野。

法二、直接考慮數(shù)列本身的結(jié)構(gòu)特征。構(gòu)造二次函數(shù)，把看成函數(shù)，它的定義域是，作為遞增數(shù)列，對(duì)應(yīng)的函數(shù)必然為遞增函數(shù)，而且單調(diào)增區(qū)間為，此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）為離散函數(shù)，要函數(shù)單調(diào)遞增，只需考慮動(dòng)軸與已知區(qū)間的位置。從對(duì)應(yīng)圖像上看，對(duì)稱軸在的左側(cè)可以（如圖），作為孤立的點(diǎn)，此時(shí)B點(diǎn)比A點(diǎn)高。于是，得λ>-3。

這幾個(gè)例題的分析與解析，可以看出數(shù)列作為離散函數(shù)的典型，在高中數(shù)學(xué)中具有重要位置。借助函數(shù)來(lái)解決數(shù)列的最值問(wèn)題，恒成立問(wèn)題等，由于方法多、技巧性強(qiáng)，難度比較大。因此在數(shù)列的具體教學(xué)過(guò)程中，要重視函數(shù)思想的滲透，將函數(shù)的概念、圖象、函數(shù)性質(zhì)等融入數(shù)列的教學(xué)過(guò)程中，在數(shù)列知識(shí)與函數(shù)知識(shí)的交匯融合中，使學(xué)生的知識(shí)脈絡(luò)不斷優(yōu)化與完善，進(jìn)一步鞏固函數(shù)知識(shí)和數(shù)列知識(shí)，同時(shí)也能使學(xué)生的思維能力得以發(fā)展與提高。在教學(xué)過(guò)程中，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫?，讓學(xué)生在情境中體會(huì)知識(shí)的形成過(guò)程，在感悟的過(guò)程中深刻領(lǐng)會(huì)當(dāng)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法，深刻理解用函數(shù)思想解決數(shù)列問(wèn)題的本質(zhì)。如果學(xué)生理解并掌握之后，往往能誘發(fā)知識(shí)的遷移，使學(xué)生產(chǎn)生舉一反三、融會(huì)貫通的解決各種數(shù)列問(wèn)題，提升學(xué)生的邏輯運(yùn)算和推理能力，從而迅速有效的解決問(wèn)題。