李冬梅 劉冉

摘 要 數(shù)學(xué)概念是人們對數(shù)學(xué)關(guān)系和空間形式的抽象概括，它的特點就是概括性強、抽象度高，傳統(tǒng)教學(xué)活動中單一的呈現(xiàn)方式不利于學(xué)生深刻理解概念的本質(zhì)。本文提出基于概念形成與概念同化整合的教學(xué)活動設(shè)計，這樣更利于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，拓展思維空間，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高學(xué)習(xí)的興趣。另外，在運用多元表征理論進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計時應(yīng)注意學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷和學(xué)情等。

關(guān)鍵詞 多元表征 數(shù)學(xué)概念 概念形成 概念同化 認(rèn)知負(fù)荷

中圖分類號：G424? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2020.05.044

Abstract Mathematical concepts refer to the abstract generalization of mathematical relations and spatial forms; It is characterized by strong generality and high degree of abstraction. The single presentation mode of teaching activities in the design does not make use of students deep understanding the essence of concepts. This paper puts forward the teaching activity design of the integration of concept formation and concept assimilation. It can promote students understanding the mathematical concepts， enhance the interest of learning， expand thinking space and optimize the cognitive structure. We should pay attention to students' cognitive load and learning conditions when we use the multi-representations to design teaching activities of mathematical concepts.

Keywords multi-representations; mathematics conception; conception form; conception assimilation; cognitive load

數(shù)學(xué)概念是人們對數(shù)學(xué)關(guān)系和空間形式的抽象概括，是建立數(shù)學(xué)公理、法則的基礎(chǔ)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)運算、推理、判斷和證明的重要依據(jù)，更是展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維、進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的重要工具。它具有高度的概括性和抽象性和一定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。[1]正是由于數(shù)學(xué)概念的這三個特點，造成教學(xué)中學(xué)生難以高效、準(zhǔn)確理解與運用。

多元表征起初是由英國數(shù)學(xué)家迪因斯在上世紀(jì)60年代提出的多元具體化原則，該原則是指為了讓學(xué)生建立抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，而呈現(xiàn)給學(xué)生具體的實物模型或者創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫场?shù)學(xué)概念的多元表征指通過運用多種表現(xiàn)形式表征數(shù)學(xué)概念，反映概念的本質(zhì)含義，促進(jìn)學(xué)生掌握概念的結(jié)構(gòu)，內(nèi)化概念的認(rèn)知圖式。它在教學(xué)中的作用主要表現(xiàn)在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)概念的理解，提升學(xué)習(xí)的趣味性;拓展學(xué)生的思維，促進(jìn)積極認(rèn)知投入;豐富學(xué)生的知識，優(yōu)化其認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

1 運用多元表征進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動設(shè)計的過程

數(shù)學(xué)概念教學(xué)的本質(zhì)就是教師通過實施有效的教學(xué)活動，促使學(xué)生能夠概括出數(shù)學(xué)對象的共同本質(zhì)屬性，形成概念表象，理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，建構(gòu)良好的概念圖式。教學(xué)活動設(shè)計在其中起到重要作用。通常學(xué)生理解概念主要是概念形成和概念同化兩種方式，[2]在教學(xué)活動設(shè)計中，除了基于概念形成、概念同化的教學(xué)活動設(shè)計外，最重要的是基于概念形成與同化整合的教學(xué)活動設(shè)計。

基于概念形成與概念同化整合的多元表征教學(xué)設(shè)計，即綜合考慮概念形成和概念同化的特點，并結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)概念的特點，合理設(shè)計教學(xué)活動。其教學(xué)活動設(shè)計的過程：（1）復(fù)習(xí)舊知;（2）呈現(xiàn)新知的具體實例;（3）抽象概念實例的共同屬性;（4）建立新舊知識的聯(lián)系，深化理解;（5）運用概念。特別是在呈現(xiàn)新知的具體實例、抽象概括共同屬性和建立新舊知識的聯(lián)系三個環(huán)節(jié)中，教師要巧用多元表征，注重學(xué)生原有知識基礎(chǔ)，觀察分析概括概念的本質(zhì)屬性，建構(gòu)新的認(rèn)知圖式。下面我們以一元二次方程的概念教學(xué)為例，說明如何進(jìn)行概念形成與概念同化整合的多元表征教學(xué)活動設(shè)計。

1.1 復(fù)習(xí)舊知識

（1）以前我們學(xué)習(xí)過一元一次方程，請同學(xué)們寫出一個一元一次方程，說出它的一般形式（ ?a≠0），并從中概括出一元一次方程的特點。

（2）下列哪些方程是一元一次方程？

在復(fù)習(xí)舊課環(huán)節(jié)，教師設(shè)計兩個題目，題目1通過舉例，讓學(xué)生回憶一元一次方程的形式，并概括出它的一般形式，學(xué)生的思維經(jīng)歷了特殊到一般的形式，能夠快速撲捉到一元一次方程的特點，快速推出它的一般形式。題目2是運用一元一次方程的概念進(jìn)行判斷，即能夠運用概念做簡單的分析判斷。復(fù)習(xí)舊知識，這部分設(shè)計，主要的是為學(xué)習(xí)一元一次方程的概念建立聯(lián)系、搭建支架，為同化新概念做鋪墊。在教學(xué)活動設(shè)計的表征形式上，教師也運用情境表征、語言表征、模型表征等多種形式。

1.2 探索新知識

1.2.1 呈現(xiàn)問題

列出下面各題的數(shù)量關(guān)系式，并說說它們有什么特點？

（1）正方形桌面的面積是2m2，設(shè)正方形桌面的邊長是xm，則邊長與面積之間的數(shù)量關(guān)系怎么用方程表示？

（2）矩形花圃一面靠墻，另外三面所圍的柵欄的總長度是19m，花圃的面積是24m2，設(shè)花圃的寬是xm，花圃的長是（19-2）m，則花圃的寬與面積之間的數(shù)量關(guān)系怎么用方程表示？

（3）長5m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端到墻面的距離比梯子的頂端到地面的距離多1m，設(shè)梯子的底端到墻面的距離是xm，怎么用方程描述其中的數(shù)量關(guān)系？

1.2.2 獨立思考

老師先讓學(xué)生思考5分鐘，獨立嘗試求解。

1.2.3 討論分析

教師組織學(xué)生分小組交流合作討論，建立同桌，前后位之間4人一個小組，就問題展開小組討論，分析問題的思考過程，解答流程。教師可以依次與每個小組交流，查看學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，針對學(xué)生的問題，并作必要的引導(dǎo)。

1.2.4 小組匯報

根據(jù)學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)的情況，教師請各小組代表分別分享各自的答案，并就每個問題講述下思考過程，教師并做引導(dǎo)與點評。

1.2.5 歸納總結(jié)

針對學(xué)生求解的方程，，，，引導(dǎo)學(xué)生化簡方程，小組合作交流，看看這些方程有哪些特點？由學(xué)生總結(jié)出一元二次方程的含義，特點，教師做最后的重點說明，并就一元二次方程的一般式（a、b、c是常數(shù)，a≠0）中各部分的名稱與系數(shù)做重點講述。

1.3 鞏固練習(xí)

當(dāng)堂練習(xí)1：下列方程中哪些是一元二次方程？

當(dāng)堂練習(xí)2：將方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。

在探索新知識環(huán)節(jié)，教師設(shè)計三個具體的問題情境，通過組織學(xué)生思考，討論，列出每道題的方程，然后觀察、分析、討論交流，歸納出一元二次方程的概念和特點，理解一元二次方程的一般形式，建構(gòu)一元二次方程的認(rèn)知圖式。在整個教學(xué)設(shè)計中，通過小組合作學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)歷“獨立思考—討論分析—小組匯報—歸納總結(jié)”這一學(xué)習(xí)過程，培養(yǎng)自身數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)建模能力和合作交流能力。

在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，教師設(shè)計兩個題目，練習(xí)1是關(guān)于一元二次方程概念的判定，練習(xí)2是關(guān)于一元二次方程各個項與系數(shù)的掌握情況，通過上面的教學(xué)活動設(shè)計，這兩個教學(xué)目標(biāo)很自然的就能達(dá)到。在多元表征方法的運用上，兩個教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師采用了情境表征、語言表征、符號表征和模型表征等相結(jié)合，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知思考，交流討論，在小組合作交流中，更好地理解一元二次方程的概念，最終內(nèi)化認(rèn)知圖式。此外，通過該教學(xué)設(shè)計，也反映出教學(xué)設(shè)計者背后的教學(xué)理念。在知識觀上，反映出知識的獲得是由學(xué)生基于原有的知識經(jīng)驗主動建構(gòu)形成的。在學(xué)生觀上，摒棄了傳統(tǒng)教學(xué)中的直接灌輸，反映出知識的學(xué)習(xí)并不簡單由外到內(nèi)的轉(zhuǎn)移和傳遞，而是學(xué)生通過原有的知識經(jīng)驗同化新知識，豐富和改造自身知識經(jīng)驗。在教學(xué)觀上，教學(xué)就是要激發(fā)學(xué)生原有的相關(guān)知識經(jīng)驗，促進(jìn)學(xué)生知識經(jīng)驗的“生長”，教師的角色是一個引導(dǎo)者、促進(jìn)者。

2 運用多元表征進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動設(shè)計的反思

通過對以上教學(xué)活動設(shè)計的分析，我們自然有這樣的疑問，運用多元表征法進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)活動設(shè)計時，我們需要注意什么問題？是否表征形式越多越好呢？我們覺得應(yīng)從以下兩個方面考慮：

（1）有效的教學(xué)活動設(shè)計取決于認(rèn)知負(fù)荷。認(rèn)知負(fù)荷理論是由Sweller等人證實并發(fā)展來的理論，認(rèn)知負(fù)荷指工作記憶系統(tǒng)針對某一具體的學(xué)習(xí)任務(wù)進(jìn)行加工和保持信息過程中所承受的負(fù)荷總量，它包括外在認(rèn)知負(fù)荷、內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷、有效認(rèn)知負(fù)荷。外在認(rèn)知負(fù)荷指由于教師教學(xué)內(nèi)容選擇不當(dāng)，教學(xué)內(nèi)容組織呈現(xiàn)方式不當(dāng)導(dǎo)致與認(rèn)知加工過程無關(guān)的活動。[3]它指向教師所選擇的教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式是否恰當(dāng)。內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷指所學(xué)的內(nèi)容材料本身所含有信息的數(shù)量以及各信息之間相互作用而對認(rèn)知加工活動所產(chǎn)生的消極影響。它在一定程度上反映了學(xué)習(xí)任務(wù)的復(fù)雜性和難易度，學(xué)習(xí)任務(wù)越復(fù)雜，其產(chǎn)生的內(nèi)在負(fù)荷就愈大。有效認(rèn)知負(fù)荷指學(xué)生針對學(xué)習(xí)任務(wù)進(jìn)行認(rèn)知加工處理，建構(gòu)認(rèn)知圖式的過程中產(chǎn)生的認(rèn)知負(fù)荷，它指向于學(xué)生自身學(xué)習(xí)的過程。根據(jù)認(rèn)知負(fù)荷理論，學(xué)生學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的外在認(rèn)知負(fù)荷、內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷與有效負(fù)荷三者負(fù)荷的總和應(yīng)控制在學(xué)生負(fù)荷總量的最近發(fā)展區(qū)之內(nèi)，有效的教學(xué)活動設(shè)計遵循的原則應(yīng)該是降低外在負(fù)荷，內(nèi)在負(fù)荷，增加有效負(fù)荷，引導(dǎo)以促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)恰當(dāng)?shù)恼J(rèn)知圖式。

（2）有效的教學(xué)活動設(shè)計充分考慮學(xué)生的學(xué)情。既然認(rèn)知負(fù)荷理論決定了教學(xué)活動的設(shè)計，所以依據(jù)認(rèn)知負(fù)荷理論的基本觀點，教師有效的教學(xué)活動設(shè)計必須充分考慮學(xué)生的學(xué)情。比如說學(xué)生的原有知識基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)邏輯思維水平和學(xué)習(xí)方式等等。只有充分考慮學(xué)生的學(xué)情，根據(jù)不同的學(xué)生學(xué)情，精選學(xué)習(xí)內(nèi)容，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，才能將外在認(rèn)知負(fù)荷、內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷與有效負(fù)荷降到學(xué)生所成承受的最近發(fā)展區(qū)之內(nèi)。

基金：湖南省2019年普通高校教學(xué)改革研究項目（2019-291-477）

參考文獻(xiàn)

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