溫暉

[摘? 要] 培育初中生的幾何直觀素養(yǎng)是值得探討的課題. 數(shù)學章節(jié)復習應該實現(xiàn)復習課的育人功能，培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，增強學生的數(shù)學自我效能感. 變式探究是培育學生的幾何直觀素養(yǎng)的有效方式. “數(shù)軸上兩點距離問題”是培育學生幾何直觀能力的重要載體.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學;幾何直觀;變式探究;章節(jié)復習;兩點距離

如何培育初中學生的幾何直觀素養(yǎng)是初中數(shù)學教學的重要課題. 《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）指出：“幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用.”[1]

筆者認為，數(shù)學章節(jié)復習不是課本知識的簡單重復，應該梳理知識形成能力，實現(xiàn)復習課的育人功能，增強學生的數(shù)學自我效能感，著力提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng). 變式探究是培育學生的幾何直觀素養(yǎng)的有效方式. 數(shù)軸是培養(yǎng)初中生幾何直觀的第一個核心概念. 本文以“數(shù)軸上兩點距離問題”的章節(jié)復習為例，分享筆者的實踐與思考.

教學設計

案例? 數(shù)軸上兩點距離問題

1. 教學內(nèi)容解析

教材地位：數(shù)軸是初中數(shù)學的核心概念. 《標準》要求：“能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，能比較有理數(shù)的大小.”“借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，掌握求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對值的方法，知道|a|的含義（這里a表示有理數(shù)）.”

數(shù)軸上兩點距離問題涉及數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、有理數(shù)運算等基礎知識，具有一定的綜合性. 解決問題，要求學生利用數(shù)軸的幾何直觀，運用數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法. 因此，數(shù)軸上兩點距離問題是培養(yǎng)學生幾何直觀的重要載體.

教學重點：數(shù)軸上兩點距離問題.

教學難點：數(shù)軸上兩點距離問題.

2. 學生學情分析

從知識基礎來看，剛?cè)氤跻坏膶W生在“有理數(shù)”一章（《義務教育課程標準教科書·數(shù)學》 〈人教版〉七年級上冊）的新課學習中，對用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)已有初步認識，知道相反數(shù)與絕對值的幾何意義，能用數(shù)軸上點的移動解釋有理數(shù)加減運算的結(jié)果，但利用數(shù)軸的幾何直觀處理相關(guān)問題的能力尚待進一步提升.

從思維基礎來看，剛?cè)氤跻坏膶W生解決數(shù)軸上兩點距離問題是有困難的，主要表現(xiàn)在三個方面：一是問題表征有困難，這類問題需要學生選擇合適的表征形式去審清題意;二是方法選擇有困難，這類問題需要學生選擇數(shù)形結(jié)合去解決問題;三是分類討論有困難，這類問題中表示數(shù)的點的位置往往不確定，容易出現(xiàn)“對而不全”.

3. 教學目標設置

（1）通過數(shù)軸上兩點距離問題的復習，促進學生對數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值和有理數(shù)加減運算法則的深刻理解.

（2）通過數(shù)軸上兩點距離問題的復習，進一步提升學生的幾何直觀能力.

4. 教學策略選擇

本節(jié)課主要采用問題驅(qū)動策略和變式探究策略.

5. 教學過程設計

在設計理念上，基于“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的課程理念，基于數(shù)學章節(jié)復習的目標定位，在章節(jié)復習教學中尋找發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的方式和方法. 為此，在“有理數(shù)”章節(jié)復習中，筆者選擇數(shù)軸上兩點距離問題，力圖培育學生的幾何直觀素養(yǎng).

在課堂操作上，本節(jié)課采用如下操作程序：復習回顧——變式探究——反饋評價——總結(jié)提煉——布置作業(yè).

教學環(huán)節(jié)1：復習回顧

將復習內(nèi)容問題化，用4個問題引領學生回顧所學知識.

問題1：數(shù)軸與普通直線有何不同？怎樣用數(shù)軸表示有理數(shù)？

設計意圖：引導學生復習數(shù)軸的三要素.

問題2：設a為正數(shù)，怎樣用數(shù)軸表示-a？a與-a有何關(guān)系？

設計意圖：引導學生復習相反數(shù)的概念，用數(shù)軸解釋一個數(shù)的相反數(shù).

問題3：設a為有理數(shù)，怎樣理解a？

設計意圖：引導學生復習絕對值的概念，從代數(shù)與幾何兩個角度表征絕對值.

問題4：在數(shù)軸上，點A，B分別表示數(shù)-2，3，能求出點A和點B的距離嗎？（依據(jù)《義務教育課程標準教科書·數(shù)學》〈人教版〉七年級上冊第24頁“探究”改編）

設計意圖：引導學生計算數(shù)軸上兩點的距離，幫助學生利用有理數(shù)的減法或數(shù)軸上點的左右移動解決問題，為變式探究提供先行組織者.

教學環(huán)節(jié)2：變式探究

變式1：在數(shù)軸上，點A，B分別表示數(shù)a，b，則點A，B之間的距離AB=______（用含a，b的式子表示）.

設計意圖：引導學生一般化，建構(gòu)數(shù)軸上兩點距離公式.

變式2：在數(shù)軸上，點A表示數(shù)-2，點B表示數(shù)b，若點A，B之間的距離AB=5，則b=______.

設計意圖：引導學生逆向思考，固化數(shù)軸上兩點距離問題的解決方法.

變式3：數(shù)軸上點M，N表示的數(shù)分別為-50，20，點P表示的數(shù)為x. 如果點P到點M、點N的距離相等，那么x的值是______.

設計意圖：引導學生化歸轉(zhuǎn)化，強化數(shù)形結(jié)合.

變式4：數(shù)軸上點M，N表示的數(shù)分別為-50，20，點P表示的數(shù)為x. 是否存在點P，使點P到點M、點N的距離之和是80？若存在，求x的值;若不存在，請說明理由.

設計意圖：引導學生類比遷移，學會講清道理.

問題5：比較變式2、變式3、變式4中的已知條件和解題目標，有何發(fā)現(xiàn)？反思變式2、變式3、變式4的解題過程，有何感悟？

設計意圖：引領學生解題反思，認識數(shù)軸上兩點距離問題的結(jié)構(gòu)特征，積累解題經(jīng)驗.

教學環(huán)節(jié)3：反饋評價

（1）（2017年廣州市初中畢業(yè)生學業(yè)考試數(shù)學卷第1題）如圖1，數(shù)軸上兩點A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點B表示的數(shù)為（ ? ?）

A. -6 ? ? ? ? ?B. 6

C. 0 ? ? ? ?D. 無法確定

（2）在數(shù)軸上，點A向左移動2個單位長度到達點B，再向右移動5個單位長度到達點C. 若點C表示的數(shù)為1，則點A表示的數(shù)為（ ? ）.

A. 7B. 3C. -3 D. -2

（3）數(shù)軸上表示數(shù)-14和表示數(shù)5的兩點之間的距離為______.

（4）已知x為整數(shù)，且-2

設計意圖：引領學生自我評價.

教學環(huán)節(jié)4：總結(jié)提煉

問題6：本節(jié)課學習了什么，同學們有何感悟？

設計意圖：引領學生歸納總結(jié)，提煉數(shù)學思想方法.

教學環(huán)節(jié)5：布置作業(yè)

（1）綜合運用：七年級數(shù)學上冊第51頁第2題;七年級數(shù)學上冊第52頁第10題.

（2）拓廣探索：數(shù)軸上點M，N表示的數(shù)分別為-50，20，點P表示的數(shù)為x. 若點P到點M、點N、點O（原點）的距離之和是80，求x的值.

設計意圖：引領學生變式訓練，強化數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化和分類討論等思想方法.

教學實錄

教學片段1：變式探究

師：將問題4一般化，可得變式1.（投影）

變式1：在數(shù)軸上，點A，B分別表示數(shù)a，b，則點A，B之間的距離AB=______（用含a，b的式子表示）.

生1：AB=a-b.

生2：AB=b-a.

師：正確！為何有兩個表達式？

生3：因為a-b和b-a互為相反數(shù)，所以它們的絕對值相等.

師：深刻！a-b的幾何意義是什么？

生4：a-b是數(shù)軸上表示數(shù)a的點到表示數(shù)b的點之間的距離.

師：類似地，a+b是數(shù)軸上哪兩個點之間的距離？

生5：a+b是數(shù)軸上表示數(shù)a的點到表示數(shù)-b的點之間的距離.

生6：a+b是數(shù)軸上表示數(shù)b的點到表示數(shù)-a的點之間的距離.

師：很好！下面交換問題4的條件與結(jié)論，可得變式2.（投影）

變式2：在數(shù)軸上，點A表示數(shù)-2，點B表示數(shù)b，若點A，B之間的距離AB=5，則b=______.

學生獨立思考后作答.

生7：b=3.

師：確定嗎？點B在數(shù)軸上的位置確定嗎？

生7：應該是b=-7或b=3. 因為AB=5，點B的位置不確定，所以點B在點A的左邊或右邊，所以b的值為-2-5=-7或者-2+5=3.

師：正確！點A把數(shù)軸分成了左、右兩部分，點B落在哪個部分不確定，需要分類討論！

師：將變式2中的已知條件稍作變更，可得變式3. （投影）

變式3：數(shù)軸上點M，N表示的數(shù)分別為-50，20，點P表示的數(shù)為x. 如果點P到點M、點N的距離相等，那么x的值是______.

師：能畫數(shù)軸示意圖表示已知條件嗎？哪位同學來畫一下.

生8主動在黑板上畫圖，但畫好后又擦掉了.

師：你已畫了3次，但都擦掉了，有何疑惑？

生8：我不知道要不要標注單位長度.

師：注意到單位長度，非常好！你覺得有必要把所有單位長度標出來嗎？

生9：沒有必要，因為只畫示意圖，把點的相對位置表示清楚就可以了.

在黑板上畫圖的學生還是猶猶豫豫，教師請生9協(xié)助生8畫圖，得到了如下示意圖（圖2）：

緊接著，生9講道理.

生9：因為MN的長度為70，除以2得到35，所以把點M向右平移35個單位長度，可得點P表示的數(shù)為-15.

師：為什么取70的一半？為何把點M向右平移？移動點N怎樣？

生9：因為數(shù)軸上點P滿足PM=PN，所以點P一定在點M、點N的中間位置，所以PM=MN=35. 把點M向右平移35個單位長度，可得點P表示的數(shù)為-15.

生10：把點N向左平移35個單位長度，也可得點P表示的數(shù)為-15.

師：非常棒！伸出你的雙手.

全班學生熱烈鼓掌.

師：停！將變式3中的已知條件再作變更，可得變式4.（投影）

變式4：數(shù)軸上點M，N表示的數(shù)分別為-50，20，點P表示的數(shù)為x. 是否存在點P，使點P到點M、點N的距離之和是80？若存在，求x的值;若不存在，請說明理由.

師：類比變式3的解法，能解決變式4嗎？

生眾：應該可以.

學生動筆畫數(shù)軸示意圖.

教師巡堂后，請學生11在黑板上畫出如下示意圖（圖3、圖4）：

師：你為何畫了兩個示意圖？

生11：點P的位置不確定. 由于PM+PN=80，MN=70，所以點P不可能落在線段MN上，只能落在線段MN之外.

師：很好！點M和點N把數(shù)軸分成了三個區(qū)域，先確定點P落在哪個區(qū)域. 由示意圖知，點P在點M的左邊，或者點P在點N的右邊，能求得點P表示的數(shù)嗎？

生12：點P表示的數(shù)為-55或者25.

師：為什么？能講清道理嗎？

生12：因為PM+PN=80，MN=70，所以點P在點M的左邊，或者點P在點N的右邊.

當點P在點M的左邊時，如圖3，由PM+PN=PM+PM+MN=80，得PM=5，所以點P表示的數(shù)為-50-5=-55.

當點P在點N的右邊時，如圖4，由PM+PN=MN+PN+PN=80，得PN=5，所以點P表示的數(shù)為20+5=25.

師：非常棒！掌聲響起來.

全班學生熱烈鼓掌.

師：停！這是一道存在性問題，怎樣作答？

生眾：數(shù)軸上存在點P，使PM+PN=80，點P表示的數(shù)為-55或者25.

師：正確！接下來，請思考問題5（投影）：

問題7：比較變式2、變式3、變式4中的已知條件和解題目標，有何發(fā)現(xiàn)？反思變式2、變式3、變式4的解題過程，有何感悟？

生13：變式2給出數(shù)軸上兩點之間的距離，已知一個點表示的數(shù)，求另一個點表示的數(shù).

生14：變式3給出數(shù)軸上點到兩個點之間的距離相等，已知兩個點表示的數(shù)，求另一個點表示的數(shù).

生15：變式4給出數(shù)軸上點到兩個點之間的距離之和，已知兩個點表示的數(shù)，求另一個點表示的數(shù).

師：變式2、變式3、變式4都是數(shù)軸上兩點距離問題.

生16：變式2、變式3、變式4的解題過程都是先畫數(shù)軸示意圖，再求點表示的數(shù).

生17：變式3、變式4的解題過程都是先轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離，再求點表示的數(shù).

師：求解數(shù)軸上兩點距離問題要注重數(shù)形結(jié)合、分類討論.

教學片段2：總結(jié)提煉

師：（投影問題6）本節(jié)課學習了什么？有何感悟？

生18：學習了“數(shù)軸上兩點距離問題”.

生眾：求解“數(shù)軸上兩點距離問題”，要注重數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸轉(zhuǎn)化.

師：數(shù)軸是初中學習的第一個數(shù)形結(jié)合模型，同學們要學會用數(shù)軸處理問題！正如數(shù)學家華羅庚所說，“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”.

教學反思

“數(shù)軸上兩點距離問題”的復習教學，注重發(fā)揮數(shù)軸的幾何直觀作用，學生經(jīng)歷了解決問題的過程，在變式探究中提升了初一學生的幾何直觀素養(yǎng). 主要亮點如下：

1. 注重問題引領

本節(jié)課以6個問題引領學生學習，較好地體現(xiàn)了教師的主導作用. 問題1、問題2、問題3將復習內(nèi)容問題化，有利于學生回顧所學知識;問題4引導學生計算數(shù)軸上兩點的距離，幫助學生利用有理數(shù)的減法或數(shù)軸上點的左右移動解決問題，為變式探究提供先行組織者;問題5引導學生解題反思，旨在引領學生認識變式問題的結(jié)構(gòu)特征;問題6旨在引領學生積累解題經(jīng)驗. 在處理這6個問題中，學生較好地彰顯了主體地位. “問題引領”正是數(shù)學教學實現(xiàn)學生與教師“雙中心”的一個十分有效的手段[2].

2. 注重變式探究

變式探究是促進學生數(shù)學深度學習、提升數(shù)學核心素養(yǎng)的有效方式. 本節(jié)課用變式1、變式2、變式3和變式4引領學生變式探究. 變式1基于問題4的一般化，建構(gòu)了數(shù)軸上兩點距離與兩個數(shù)差的絕對值的聯(lián)系;變式2基于問題4的逆向探求，固化了解決數(shù)軸上兩點距離問題的方法，強化了學生對有理數(shù)減法的幾何表征，學生認識到分類討論的重要性;變式3基于變式2條件的變更，引領學生化歸轉(zhuǎn)化，強化了數(shù)軸的直觀作用;變式4基于變式3的解題經(jīng)驗，旨在促進學生深度學習，讓學生學會類比遷移. 這樣的變式探究對培育學生的幾何直觀素養(yǎng)是富有成效的.

3. 注重講清道理

初中數(shù)學教學要注重數(shù)學思考，特別是在突出重點、突破難點的過程中應該引導學生講清道理. 例如，本節(jié)課中的變式3是教學重點. 在變式3的教學中，學生經(jīng)歷了處理“數(shù)軸上兩點之間距離問題”的思考過程. 首先，引導學生畫出表示PM=PN的示意圖并講清道理;其次，引導學生將PM=PN轉(zhuǎn)化為PM=35，從而解決問題.

又如，變式4是本節(jié)課的教學難點（也是教學重點）. 在變式4的教學中，用啟發(fā)性提示語——“類比變式3的解法，能解決變式4嗎”，引領類比遷移，讓學生主動建構(gòu)解決問題的方法. 首先，讓學生畫數(shù)軸示意圖，學生在畫數(shù)軸示意圖中感悟分類討論思想;其次，啟發(fā)引導學生將題設條件PM+PN=80轉(zhuǎn)化為PM=5或PN=5;最后，引導學生講清道理，從而解決問題.

4. 注重提高學生的自我效能感

初中數(shù)學教學要注重提高學生的自我效能感. 研究表明，數(shù)學自我效能感是影響學生數(shù)學學業(yè)水平的重要心理因素，數(shù)學自我效能感水平與數(shù)學學業(yè)水平呈正相關(guān)[3]. 在數(shù)學課堂中，數(shù)學自我效能感水平較高的學生，積極參與數(shù)學活動，自主探究問題，自我評價意識較強，善于反思提煉. 具有較高的數(shù)學自我效能感對于學生未來的數(shù)學學習是非常有幫助的. 因此，為了增強學生的數(shù)學自我效能感，在課堂教學中教師要鼓勵學生積極參與、自主糾錯、主動建構(gòu)，要引導學生回顧反思、積累數(shù)學活動經(jīng)驗，要強化學生的數(shù)學學習動機，要讓學生體驗到學習成功的快樂.

幾何直觀是初中數(shù)學教學要著力培養(yǎng)的核心素養(yǎng)之一，培育學生的幾何直觀素養(yǎng)是值得深入探究的課題.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]鄭毓信.數(shù)學教育的“問題導向”（續(xù)）[J]. 中學數(shù)學教學參考，2018（11）.

[3]孫思雨，朱雁. 初中生數(shù)學自我效能感及其校準性的調(diào)查研究[J]. 數(shù)學教育學報，2019，28（06）.