羅志浩 楊偉東

[摘? 要] 在初中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中，教師不僅要教會(huì)學(xué)生怎樣做題，更應(yīng)滲透學(xué)科核心素養(yǎng)，優(yōu)化數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)，才更有助于培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力. 文章以一道課本正方形習(xí)題為例，談?wù)勅绾芜M(jìn)行幾何題變式教學(xué)探析.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);正方形;習(xí)題;變式

根據(jù)新課標(biāo)要求，培養(yǎng)并提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，成為當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂重要的教學(xué)目標(biāo). 本文以人教版八年級(jí)下冊(cè)第 69 頁(yè)第14題為例，綜合運(yùn)用正方形的性質(zhì)、余角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形全等等知識(shí)，通過(guò)一系列變式拓展探究，構(gòu)建幾何知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，尋求圖形共性，挖掘問(wèn)題本質(zhì)特征，提高課堂教學(xué)效率，促進(jìn)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

原題引入

如圖 1，四邊形 ABCD 是正方形，點(diǎn) E 是邊 BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且 EF 交正方形外角∠DCG 的平分線 CF 于點(diǎn) F，求證：AE=EF.

思路點(diǎn)撥? 取 AB 的中點(diǎn) M，連接 ME，則AM=EC， 易證△AME≌△ECF，所以AE=EF.

證明? 取 AB 的中點(diǎn) M，連接EM，則AM=EC，因?yàn)椤螦ME=180°-45°=135°，∠ECF=90°+45°=135°，所以∠AME=∠ECF;因?yàn)椤螹AE=90°-∠AEB，∠FEC=180°-90°-∠AEB，所以∠MAE=∠FEC，所以△AME≌△ECF，所以AE=EF.

考點(diǎn)分析? 此題考查了角平分線的性質(zhì)、余角的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形全等及添加輔助線等知識(shí)點(diǎn).

注? 本題分析的重點(diǎn)是E點(diǎn)和∠AEF=90°這兩個(gè)條件，能否將這兩個(gè)條件進(jìn)行改變，將E點(diǎn)變?yōu)閯?dòng)點(diǎn)，∠AEF角度的確定跟正多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角是否有關(guān)，對(duì)問(wèn)題的設(shè)計(jì)能不能通過(guò)改變圖形結(jié)構(gòu)，改變命題的條件引入相似和特殊多邊形的判定，最后加強(qiáng)條件引入坐標(biāo)系，求線段最值問(wèn)題以達(dá)到題目的升華.

變式探究

變式1? 從特殊變?yōu)橐话?，把“點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是BC邊上（除 B，C 外）的任意一點(diǎn)”（如圖2），或改為 “點(diǎn)E 是BC邊延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)”（如圖3），或改為“點(diǎn)E是BC邊反向延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)”（如圖4），但結(jié)論、解題思路都不發(fā)生改變.

設(shè)計(jì)意圖? 以上變式是在正方形的基礎(chǔ)上，通過(guò)改變點(diǎn)的位置，達(dá)到一圖多變的目的，讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的魅力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理等核心素養(yǎng).

變式2? 如圖5，點(diǎn)M是等邊△ ABC的邊BC所在直線上的任意一點(diǎn)（除 B，C 外），作∠AMN=60°，射線 MN與三角形外角∠ACD 的平分線交于點(diǎn) N，試探究AM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

解答? AM=NM. 理由如下：在AB上截取EA=MC，連接EM，因?yàn)椤?=∠AMP-∠B，∠2=∠ AMP-∠AMN，∠AMN=∠B=60°，所以∠1=∠2，又因?yàn)镃N平分∠ACP，∠4=∠ACP=60°，所以∠MCN=∠3+∠4=120°，又因?yàn)锽A=BC，EA=MC，所以BA-EA=BC-MC，即BE=BM，所以△BEM為等邊三角形，∠6=60°，所以∠5=180°-∠6=120°，得到∠MCN=∠5. 所以△AEM≌△MCN（ASA），故AM=NM.

設(shè)計(jì)意圖? 此變式改變圖形載體，將原題中的“正方形ABCD”改為“正三角形 ABC”，同時(shí)改變夾角的度數(shù)，其他條件不變. 但此題與原題解讀思路如出一轍，有利于讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的規(guī)律及本質(zhì).

變式3? 如圖6，M 是正五邊形 ABCDE 的邊BC所在直線上的任意一點(diǎn)（除B，C外），作∠AMN=108°，射線MN與外角∠DCF的平分線交于點(diǎn)N，結(jié)論“AM=MN”還成立嗎？

證明? 在AB上截取AG=MC，連接MG. 因?yàn)槲暹呅蜛BCDE是正五邊形，所以∠B=∠BCD=108°，AB=BC;因?yàn)锳G=MC，所以AB-AG=BC-MC，即BG=BM，所以∠BGM=∠BMG=36°，所以∠AGM=180°-∠BGM=180°-36°=144°. 因?yàn)镃N是∠DCF的平分線，所以∠DCN =36°，所以∠MCN=∠MCD+∠DCN=108°+36°= 144°，所以∠AGM=∠MCN= 144°. 因?yàn)椤螧MG+∠AMG+∠AMN+∠CMN=180°，∠ABM+∠BAM+∠BMA=180°，所以∠BAM=∠NMC，所以△AGM≌△MCN，所以AM=MN.

設(shè)計(jì)意圖? 此變式旨在深化學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，提高學(xué)生發(fā)散性和創(chuàng)新性思維能力. 事實(shí)上在正五邊形、正六邊形、正八邊形、正九邊形等圖形中，只要保證∠AMN的度數(shù)與正多邊形每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)相等，其他條件不變，即可證明AM=MN.

變式4? 已知：如圖7，正方形ABCD，BM，DN分別是正方形的兩個(gè)外角平分線，∠MAN= 45°，將∠MAN繞著正方形的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，邊AM，AN分別交兩條角平分線于點(diǎn)M，N，連接MN.

（1）求證：△ABM∽△NDA;

（2）連接BD，當(dāng)∠BAM的度數(shù)為多少時(shí)，四邊形BMND為矩形？并加以證明.

解答? （1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°. 因?yàn)锽M，DN分別是正方形的兩個(gè)外角平分線，所以∠ABM=∠ADN=135°. 因?yàn)椤螹AN=45°，所以∠BAM=∠AND=45°-∠DAN. 所以△ABM∽△NDA.

（2）因?yàn)樗倪呅蜝MND為矩形，所以BM=DN，因?yàn)椤鰽BM∽△NDA，所以=，所以BM2=AB2，所以BM=AB，所以∠BAM=∠BMA==22.5°.

設(shè)計(jì)意圖? 此變式考查學(xué)生相似三角形、特殊四邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)的靈活應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)從特殊到一般的過(guò)程，充分挖掘了學(xué)生思維的深度、廣度，培養(yǎng)了學(xué)生的探究能力.

變式5? 如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形ABCO，A（0，3），點(diǎn)D為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE，∠ADE=90°，連接OE，求OE的最小值.

解答? 因?yàn)椤螦OD=∠ADE=∠EHD=90°，所以∠ADO+∠EDH=90°， ∠EDH+∠DEH=90°，所以∠ADO=∠DEH. 因?yàn)锳D=DE，所以△ADO≌△DEH，所以O(shè)A=DH=OC，OD=EH，所以O(shè)D=CH=EH，所以∠ECH=45°. 因?yàn)閥=x+b過(guò)點(diǎn)（3，0），所以點(diǎn)E在直線y=x-3上運(yùn)動(dòng)，作OE′⊥CE，則△OCE′是等腰直角三角形. 因?yàn)镺C=3，所以O(shè)E′=. 所以O(shè)E的最小值為.

設(shè)計(jì)意圖? 此變式相比原題，由淺入深，層層深入，環(huán)環(huán)相扣，增加相似和最值問(wèn)題，但遷移應(yīng)用原題的思路方法，即可找到新問(wèn)題的本質(zhì)特征，有利于培養(yǎng)學(xué)生化歸等數(shù)學(xué)思想方法.

結(jié)束語(yǔ)

作為一線數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該活用、深挖教材例、習(xí)題資源，通過(guò)不斷地融入新知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建原題和變式題之間的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，尋找解題思路的共性，提高幾何課堂教學(xué)效率，這既可提高教師的專業(yè)素養(yǎng)，又能培養(yǎng)并提升學(xué)生的核心素養(yǎng).