曹愛東

摘 要：本研究提出的“拆解法”是將數學綜合題化難為易、化繁為簡、化整為零的一種行之有效的解題方法. 這種解題方法按照數學問題所含知識點之間的聯系，通過觀察、分析它們的結構特征，把綜合題拆成幾個貼近學生認知水平、容易解決的小問題，通過各個破解，進而解決問題. 它更符合多數學生尤其是學困生的認知水平，更好地還原難題的本來面目，讓學生在拾級而上的解題過程中不斷收獲、不斷成長，消除攻克難題的畏懼心理，體會數學學習的樂趣.

關鍵詞：數學解題;難題拆解;綜合題破解

美國著名數學家哈爾莫斯（Halmos，1916-）提出“數學的真正組成部分是問題和解”，而要解決越來越復雜的數學問題，除必須掌握有關數學內容的基本知識，加強必要的訓練外，還需要掌握一定的解題方法. “拆解法”是將初中數學綜合題化難為易、化繁為簡、化整為零的一種行之有效的解題方法.

1“拆解法”的內涵

1.1 問題背景

如何解答數學綜合題，既是學生們在學習數學時深感頭痛、苦苦探求的課題，也是教師們在工作實踐中需要展開研究的課題[1].本研究者一直思索是否有一種相對應用廣泛的通法可以解決所有綜合題？經過多年的教學探索和實踐，現在有了結果.

1.2 理論依據

德國數學家希爾伯特（David Hilbert，1862-1943）說過：“在討論數學問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用.” 可能在大多數場合，我們尋找一個問題的答案而未能成功的原因，就在于有一些比手頭問題更簡單、更容易的問題沒有解決，或者沒有完全解決. 這一切都有賴于要找出這些比較容易的問題，并能運用盡可能完善的方法和能夠推廣的概念來解決它們. 這種方法是克服數學困難的重要的杠桿之一.

著名美國數學家和數學教育家波利亞（George Polya，1887～1985）在《怎樣解題》一書中說：“如果你不能解決所提出的問題，那么可先去解決一個更特殊的問題或解決這個問題的一部分.”

我國數學家華羅庚（1910-1985）也強調：解題時先足夠地退，退到我們最易看清楚問題的地方，認透了、鉆深了，然后再上去[2].

基于以上了解，并根據方法論的基本原理和數學解題的基本思想、基本方法，我們可以使用“拆解法”將綜合題分成幾個小問題，按層次解決.

1.3 定義、適用原則及范圍

定義：所謂“拆解法”就是按照數學問題所含知識點之間的聯系，通過觀察、分析它們的結構特征，把綜合題拆成幾個貼近學生認知水平、容易解決的小問題，化整為零，通過各個破解，進而解決問題的一種數學解題方法.

原則：在熟悉數學基礎知識和掌握基本解題方法的基礎上運用“拆解法”.

范圍：所有的中等難度及壓軸試題都適用，適用于所有層次學生的學習，特別是學困生.

1.4 目的、方法與意義

目的：有利于夯實雙基，提煉典型的思維方法，讓解題思路更具體、更清晰、更有條理性，使復雜問題簡單化，有效提高學生的綜合解題能力.

方法：把復雜問題分拆成若干個簡單的問題，然后各個擊破.

意義：操作性強、應用范圍廣、適用學生多，尤其為學困生低起點、高輸出解決綜合題提供可能.

2 “拆解法”的應用舉例

2.1 試題呈現

題目 （2019年北京中考第27題）已知∠AOB=30°，點H為射線OA上一定點，OH=3+1，點P為射線OB上一點，點M為線段OH上一動點，連接PM，滿足∠OMP為鈍角，以點P為中心，將線段PM順時針旋轉150°，得到線段PN，連接ON.

（1）依題意補全圖1;

（2）求證：∠OMP=∠OPN;

（3）點M關于點H的對稱點為點Q，連接QP.寫出一個OP的值，使得對于任意的點M總有ON=QP，并證明.