盧良琦

【摘要】利用函數(shù)的不動點法求解數(shù)列的通項公式是高中數(shù)學常用的方法之一，該方法適用于數(shù)列中后一項與前一項存在關(guān)于項數(shù)的數(shù)量關(guān)系再求通項公式的情形，本文證明了在含有后一項與前一項的單項式中且兩者在次數(shù)相同（單調(diào)性函數(shù)的不動點問題）情況下的三種情形并給出了規(guī)律性的結(jié)論.把后一項與前一項都看成同一未知數(shù)再轉(zhuǎn)化成一元二次方程后，當Δ>0，通項公式既可能為常數(shù)列，也可能為分子與分母都有指數(shù)形式的分式，當Δ=0，通項公式既可能在某項中不存在，也可能是常數(shù)列，還可能是基于反比例函數(shù)的某種平移的結(jié)果，當Δ<0，通項公式既可能為周期數(shù)列，也可能是相對其他情況下最復雜的數(shù)列.通項公式在形式上的不同不僅取決于Δ，還取決于首項與一元二次方程的根的大小關(guān)系或一元二次方程的兩根的乘積是否為一.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學;函數(shù)的不動點;通項公式;周期數(shù)列

結(jié)論一：

當Δ>0，通項公式會因首項與一元二次方程的兩個根是否相同而有形式的明顯不同！

當首項與一元二次方程的兩個根相等，通項公式全是與首項相等的常數(shù)列.

當首項與一元二次方程的兩個根不相等，通項公式是分子與分母都為指數(shù)函數(shù)的分式，且后一項的分母是前一項的分子（不通分的情況下）.

結(jié)論二：

當Δ=0，通項公式會因首項與一元二次方程唯一的根在大小的較量上不光有形式上的不同，還有不存在的可能！

當首項小于一元二次方程的根，通項公式在某項中不存在！

當首項等于一元二次方程的根，通項公式全是與首項相等的常數(shù)列.

當首項大于一元二次方程的根，通項公式是通過反比例函數(shù)偏移后的函數(shù)，且后一項的分母是前一項的分子.

結(jié)論三：

當Δ<0，通項公式會因兩根乘積是否為一有明顯形式上的不同！

如果兩根像兩個互為倒數(shù)的實數(shù)一樣的乘積是一，不區(qū)分因比較首項與一元二次方程的根的大小的情況，通項公式是分子與分母都為三角函數(shù)的分式且是最小周期為正整數(shù)的周期函數(shù)！

如果兩根乘積不是一，規(guī)律在三種結(jié)論中最不明顯.

【參考文獻】

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