張文哲 余玲玲

【摘要】 本文從數(shù)學(xué)角度對全要素生產(chǎn)率（TFP）的計(jì)算方法進(jìn)行闡述，描述所用到的數(shù)學(xué)工具.思想方法以及技巧，熟悉該領(lǐng)域的數(shù)理方法，為學(xué)習(xí)更高級的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論打下基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)方法;全要素生產(chǎn)率;應(yīng)用

1 引 言

關(guān)于全要素生產(chǎn)率（TFP）的研究，除了知道它的具體含義，一個(gè)很重要的問題是怎樣去計(jì)算它.這個(gè)問題目前仍然可以討論，比如對于國內(nèi)TFP增長率的估算存在分歧，不同學(xué)者之間測算結(jié)果大不相同，國內(nèi)外目前沒有一個(gè)統(tǒng)一的測算標(biāo)準(zhǔn).本文的焦點(diǎn)不在于討論TFP的內(nèi)涵以及測算的分歧，而在于關(guān)注目前計(jì)算全要素生產(chǎn)率所用到的數(shù)學(xué)方法和工具，從增長核算法、生產(chǎn)函數(shù)法、隨機(jī)前沿分析法（SFA）以及數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法（DEA）這四種主要方法分類闡述TFP變動(dòng)背后所涉及的數(shù)學(xué)理論和方法.

2 增長核算法

從投入產(chǎn)出率的角度出發(fā)，需要假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)的形式.設(shè)一生產(chǎn)周期內(nèi)有投入向量X≡x1，x2，…，xnT，對應(yīng)產(chǎn)出Y，時(shí)間變量t，以及動(dòng)態(tài)生產(chǎn)函數(shù)Y=f（X，t）.

3 生產(chǎn)函數(shù)法

通過建立數(shù)學(xué)模型描述投入變量與產(chǎn)出變量之間的關(guān)系，實(shí)際上是數(shù)學(xué)中函數(shù)思想在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)重要應(yīng)用.在描述經(jīng)濟(jì)增長時(shí)，通常涉及增長核算方程，一般的西方經(jīng)濟(jì)學(xué)教材中主要介紹的是C-D生產(chǎn)函數(shù)Y=AKaN1-a，其中Y為總產(chǎn)出，K為資本投入，L為勞動(dòng)投入，A為經(jīng)濟(jì)技術(shù)狀況，a為0到1的參數(shù).在計(jì)算TFP的變動(dòng)時(shí)，通常會(huì)用“索洛剩余”的方法來測算，具體是首先采用取對數(shù)的技巧將函數(shù)乘積形式轉(zhuǎn)化為對數(shù)加減形式，再使用最小二乘法來估計(jì)參數(shù).

通過觀察以上推導(dǎo)過程可以看到高等數(shù)學(xué)的微分學(xué)理論在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，具體來說首先是建立生產(chǎn)函數(shù)，然后使用多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)理論，通過結(jié)合多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則以及二階泰勒展開技巧得出所對應(yīng)的增長率公式.

4 隨機(jī)前沿分析法

關(guān)于參數(shù)和隨機(jī)變量的估計(jì)，可使用極大似然估計(jì)（ML）和修正的普通最小二乘法（COLS），也可通過廣義矩估計(jì)、貝葉斯估計(jì)等方法來改進(jìn)隨機(jī)前沿分析法.此部分內(nèi)容較多涉及概率統(tǒng)計(jì)方面的技巧方法.

5 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法

從投入-產(chǎn)出的二維幾何平面上看，線性回歸模型試圖通過一條直線來擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，而數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）方法則通過多個(gè)平面相交將離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)緊密的包絡(luò)在一起.

6 總結(jié)

不同于TFP的實(shí)證研究，本文從數(shù)學(xué)角度初步介紹和分析了計(jì)算TFP的方法，主要討論了四種方法，分別是增長核算法、生產(chǎn)函數(shù)法、隨機(jī)前沿分析法和數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法.前三種方法為參數(shù)法，通常首先是利用函數(shù)的思想建立數(shù)學(xué)模型，通過模型建立各經(jīng)濟(jì)變量之間的聯(lián)系.然后通過數(shù)學(xué)變換以及微積分理論進(jìn)行分析，得到特定模型下的TFP增長率計(jì)算公式;而DEA方法則是非參數(shù)的，它利用了集合的思想建立生產(chǎn)可能集，然后由此引入距離函數(shù)，再通過線性規(guī)劃方法來估算，特別是使用Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)得到綜合生產(chǎn)率指數(shù)，使得TFP的變動(dòng)得以刻畫.

本文的討論希望能夠增進(jìn)對于TFP領(lǐng)域數(shù)理方法和理論的了解，為學(xué)習(xí)更高級的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論打下基礎(chǔ).

【參考文獻(xiàn)】

[1]章祥蓀， 貴斌威.中國全要素生產(chǎn)率分析：Malmquist指數(shù)法評述與應(yīng)用[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究， 2008（6）：111-122.

[2]陽國亮， 何元慶.全要素生產(chǎn)率增長的度量方法[J].學(xué)術(shù)論壇， 2005（6）：93-96.

[3]沈漢溪.中國經(jīng)濟(jì)增長源泉分解——基于Solow增長核算、SFA和DEA的比較分析[D].杭州：浙江大學(xué)，2007.

[4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（下冊）：第七版[M].北京：高等教育出版社，2014.