羅宇珊

【摘要】? 中考代數(shù)幾何綜合題，歷來是拉開分值關(guān)鍵題目，難度非常大。傳統(tǒng)的思路和方案，教學(xué)成果并不突出。本文運(yùn)用思維導(dǎo)圖的教學(xué)方式，探索采用形象化、網(wǎng)絡(luò)化、結(jié)構(gòu)化的思維模式，在代數(shù)幾何綜合題中幫助學(xué)生找出界點(diǎn)，分類討論方面取得一定的成效，從而實(shí)現(xiàn)高分突破。

【關(guān)鍵詞】? 思維導(dǎo)圖 初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 代數(shù)幾何綜合 界點(diǎn)

【中圖分類號(hào)】? G633.6 ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】? A ? ? 【文章編號(hào)】? 1992-7711（2020）04-134-02

思維導(dǎo)圖，是一種利用圖像進(jìn)行思考的輔助工具，可以比較形象化地幫助學(xué)生快速梳理和把握知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系，有利于學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，幫助其記憶與理解，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維，快速提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)效。

中考代數(shù)幾何綜合題，是中考試卷中的最后一道大題。其分值達(dá)到9分，往往成為學(xué)生拉開分值的關(guān)鍵題目。對(duì)于學(xué)生沖刺中考數(shù)學(xué)高分，甚至是滿分，起著非常關(guān)鍵的作用。筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中，巧妙探索引入思維導(dǎo)圖方法，幫助學(xué)生構(gòu)建形象化、網(wǎng)絡(luò)化的知識(shí)架構(gòu)，提高了學(xué)生解決幾何綜合體的能力和水平，收到了不錯(cuò)的教學(xué)效果。以2019年6月的中考成績(jī)?yōu)槔?，筆者所任教的兩個(gè)班級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率為94.35%，高分人數(shù)21人（共89人參加考試）從而印證了日常教學(xué)中思維導(dǎo)圖的訓(xùn)練對(duì)學(xué)生實(shí)現(xiàn)高分突破方面，取得了較好的成效。現(xiàn)分三個(gè)方面闡述如下。

一、代數(shù)幾何綜合題的題型特點(diǎn)及思維導(dǎo)圖方法的解題優(yōu)勢(shì)

代數(shù)幾何綜合題是中數(shù)數(shù)學(xué)中覆蓋面最廣、綜合性最強(qiáng)的題型，對(duì)于提高學(xué)生分析能力和綜合素養(yǎng)發(fā)揮著重要作用。一般來講，其題型設(shè)計(jì)主要是把代數(shù)中的數(shù)學(xué)公式、函數(shù)，幾何中的三角形、四邊形等圖形變換，以及幾何數(shù)學(xué)解題方法等內(nèi)容，有機(jī)地結(jié)合在一起，進(jìn)行開放性、關(guān)聯(lián)性問題研討，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維。不難看出，常規(guī)的學(xué)習(xí)方法及解題思路，難以有效將復(fù)雜、廣泛的知識(shí)內(nèi)容，有機(jī)融合、熟練應(yīng)用，以至于此類題目往往成為日常教學(xué)及解題的重點(diǎn)和難點(diǎn)，師生投入精力大但收效不盡如人意。

思維導(dǎo)圖方法，其特點(diǎn)是迅速為學(xué)生構(gòu)建完整知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，讓學(xué)生在腦海中，對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系和建構(gòu)有個(gè)形象認(rèn)識(shí)和宏觀把握。可以讓學(xué)生更加直觀地記憶各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容及相關(guān)之間的邏輯關(guān)系，很好地克服代數(shù)幾何綜合體解題中的難點(diǎn)和困難。從實(shí)際教學(xué)效果來看，也有效印證了這一點(diǎn)。師生教學(xué)互動(dòng)中，不少學(xué)生反映，考場(chǎng)上時(shí)間緊張，面對(duì)代數(shù)幾何綜合題，往往難以快速把握解題要領(lǐng)，可謂事倍功半。采用思維導(dǎo)圖教學(xué)方法后，感覺腦海里逐漸形成了一張比較清晰全面的知識(shí)關(guān)聯(lián)架構(gòu)圖，考試過程中熟練靈活應(yīng)用，很快助力自己找到解題的方向和重點(diǎn)，如有神助。

二、日常教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生思維導(dǎo)圖解題思路的方案和步驟

常言說，“工欲善其事必先利其器”。要想在解題中熟練應(yīng)用好思維導(dǎo)圖思路，首先要輔導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)有個(gè)全面的認(rèn)知和把握。

筆者在實(shí)際教學(xué)中，先輔導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)與幾何兩大方面，通過回憶關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，自主構(gòu)建繪制思維導(dǎo)圖，讓知識(shí)要點(diǎn)、邏輯關(guān)系在學(xué)生腦海中變動(dòng)鮮活、生動(dòng)、直觀。具體來講，代數(shù)方面主要是分一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等維度構(gòu)建思維導(dǎo)圖;幾何方面，是通過三角形、四邊形等圖形相關(guān)的線段位置關(guān)系的判斷、數(shù)量關(guān)系或者面積的計(jì)算等維度構(gòu)建思維導(dǎo)圖。

日常教學(xué)中，將繪制、完善過程與中考復(fù)習(xí)過程有機(jī)統(tǒng)一，幫助學(xué)生不斷加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)和邏輯關(guān)系的理解把握，增強(qiáng)記憶效果，從而達(dá)到高效復(fù)習(xí)和提高解題能力的目的。

三、分三種題型，闡述思維導(dǎo)圖在解題中的具體應(yīng)用

代數(shù)幾何綜合的類型大致可以分為動(dòng)點(diǎn)型、動(dòng)線類及動(dòng)圖類等三種類型的探究題?，F(xiàn)介紹分析解題過程如下。

（一）動(dòng)點(diǎn)型探究題解題應(yīng)用，思路更清晰。

例題：廣東省2018年中考數(shù)學(xué)卷第25題

本題大致題意：Rt△OAB，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到下圖。第一問直接求出∠OBC度數(shù)，第二問通過連接AC，作OP⊥AC，求OP的長(zhǎng)度。第三問則是一個(gè)雙動(dòng)點(diǎn)，求函數(shù)解析式及最值的問題。

此題中，先找到此題涉及的知識(shí)點(diǎn)：“旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、求三角形第三邊上的高、函數(shù)的最值問題”，第一和第二問題都比較簡(jiǎn)單，難點(diǎn)在第三問題。如何突破難點(diǎn)，關(guān)鍵在于找到運(yùn)動(dòng)過程的界點(diǎn)，當(dāng)0≤x≤8/3時(shí)N、M分別在OB和OC上，此時(shí)由M向OB邊上作垂線段即是三角形的高，可用三角函數(shù)表示出高的長(zhǎng)度，以及表示出底，便可以表示出面積。當(dāng)8/3≤x<4時(shí)，即M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到BC上而N點(diǎn)還在OB上的時(shí)候，同樣的方法表示出高的長(zhǎng)度。當(dāng)4≤x25/4<時(shí)，即M、N兩點(diǎn)均運(yùn)動(dòng)到BC上時(shí)，此時(shí)三角形的高為AB，而表示出底即可以表示出面積。

運(yùn)動(dòng)過程確定后，就可以利用思維導(dǎo)圖的形式展開思路。這樣的思路讓解題過程更清晰，書寫時(shí)也不容易出現(xiàn)思路中斷或思維混亂的情況。根據(jù)思維導(dǎo)圖的思路很容易寫出規(guī)范的解題步驟。

圖1 本題思維導(dǎo)圖示例

（二）動(dòng)線型探究題解題應(yīng)用，分析更全面

例題：廣東省2016年中考數(shù)學(xué)卷第25題

本題大致題意：正方形ABCD的一邊BC在其所在的直線上平移得到的新線段，通過連接相應(yīng)的點(diǎn)，作垂直等得到如下的圖形。該題同樣設(shè)置三個(gè)問題：（1）直接判斷四邊形APQD是什么四邊形？

（2）判斷兩條線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明。（3）在平移變換過程中，求函數(shù)的解析式及最值問題。

此題中，第一問大多數(shù)學(xué)生可以輕松回答。第二問中判斷兩條線段的數(shù)量和位置關(guān)系，考生通過看圖，便可以猜出相等于與垂直。但是如何去證明呢？我們可以通過簡(jiǎn)單的思維導(dǎo)圖加以分析找到方法。通過簡(jiǎn)單分析，便可找到本題可通過△ABO與△PQO全等證明OA、OP兩條線段相等，從而由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，輕松證明∠AOP為直角。

圖2 本題第二問思維導(dǎo)圖示例

第三問，是本題的失分點(diǎn)，也是本題難點(diǎn)。而本題給出的兩個(gè)圖形其實(shí)已經(jīng)提醒學(xué)生，本問中線段PQ運(yùn)動(dòng)方向可以向左與向右，那么，分類討論成為解決本問的關(guān)鍵，下面，借助思維導(dǎo)圖，對(duì)第三問進(jìn)行分析。

圖3 本題第三問思維導(dǎo)圖示例

（三）動(dòng)圖型探究題解題應(yīng)用，難點(diǎn)易突破

例題：2013年廣東省中考數(shù)學(xué)卷第25題

本題大致題意：一副直角三角板現(xiàn)固定其中一塊三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動(dòng)有關(guān)數(shù)學(xué)問題。如圖所示，設(shè)置了以下三個(gè)問題：（1）如圖②，求∠EMC的度數(shù);（2）如圖③，當(dāng)EF經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求FC的長(zhǎng);（3）求函數(shù)的解析式已經(jīng)自變量取值范圍的問題。

此題中，閱讀量較大，學(xué)生得分率較低，出現(xiàn)問題的主要原因是：題目新穎，畏難心理？學(xué)生花費(fèi)時(shí)間多，找不到突破口。但是事實(shí)上，中考最后一道代數(shù)幾何綜合的題目，都是會(huì)分為三小問，其中第一問通常情況下都是比較簡(jiǎn)單，絕大部分的學(xué)生是可以解決的。

本題第一問，可以直接利用三角形的外角和定理快速解決，只是，如何在考場(chǎng)上緊張緊迫的時(shí)間內(nèi)，迅速想到本題所考察的知識(shí)點(diǎn)，還是要依仗平日里的積累和思維訓(xùn)練。為此，我們?cè)谄饺绽锏慕虒W(xué)以及中考的復(fù)習(xí)中，需要堅(jiān)持引導(dǎo)學(xué)生畫思維導(dǎo)圖，目的就是在考場(chǎng)上能對(duì)問題作出快速而正確地反應(yīng)。

本題第二問中，求CF的長(zhǎng)度，我們可以在腦海里呈現(xiàn)出求直角三角形中線段方法的思維導(dǎo)圖：一、勾股定理，二、三角函數(shù)，三、等積法……這樣便可迅速通過閱讀題目，找到本題的解題方法：利用三角函數(shù)求解。

本題第三問，即為本題的拉分題，考生可以通過分析整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，畫出思維導(dǎo)圖。利用這種方法既容易找到突破口解決問題，又可以縮短解題的時(shí)間。

圖4 本題第三問思維導(dǎo)圖示例

綜上所述，采取思維導(dǎo)圖解題，可收事半功倍之效。學(xué)生在升中考試前復(fù)習(xí)中，可以翻看溫習(xí)自己構(gòu)建的思維導(dǎo)圖，不斷強(qiáng)化理解和鞏固記憶。力爭(zhēng)做到，讓思維導(dǎo)圖中的知識(shí)架構(gòu)和邏輯關(guān)系，入腦入心，轉(zhuǎn)化為自身潛意識(shí)的一部分。如此，在進(jìn)入考場(chǎng)后，熟練掌握和靈活應(yīng)用腦海中的思維導(dǎo)圖，可以幫助學(xué)生迅速理清思路，抓住要領(lǐng)、實(shí)現(xiàn)快速解題，從而取得優(yōu)異的成績(jī)。思維導(dǎo)圖方式，只要學(xué)生平時(shí)能夠多加練習(xí)、多加運(yùn)用，熟能生巧，掌握規(guī)律，考場(chǎng)上就會(huì)感覺如有神助，取得意想不到的收獲。

[ 參? 考? 文? 獻(xiàn) ]

[1]李曉鵬.中學(xué)生思維導(dǎo)圖學(xué)習(xí)法光明日?qǐng)?bào)出版社.

[2]廣東省初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試試卷（2013年、2016年、2018年）.

[3]《萬唯中考試題研究》.