陳云明 許姍姍

[摘? 要] 核心素養(yǎng)的培育是一個(gè)系統(tǒng)工程，數(shù)學(xué)抽象是這個(gè)工程最初的、最重要的一步，沒有對數(shù)學(xué)抽象的深刻理解，是無法以之為基石，從而走向核心素養(yǎng)培育的目標(biāo). 對數(shù)學(xué)抽象的深度理解，可以體現(xiàn)在這樣的幾個(gè)方面：一是認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象的發(fā)展史，二是認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象促進(jìn)人的成長的價(jià)值，三是認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)知機(jī)制. 對深度教學(xué)的理解到實(shí)施，需要教師超越原有的教學(xué)認(rèn)識，需要對包括數(shù)學(xué)抽象在內(nèi)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素進(jìn)行深度解讀.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)抽象;理解;實(shí)施

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)理論的提出，使得數(shù)學(xué)抽象再次進(jìn)入了數(shù)學(xué)教學(xué)研究的視野，對于數(shù)學(xué)抽象而言，筆者以為很多時(shí)候?qū)ζ淅斫饧仁鞘煜さ?，又是陌生? 說其熟悉，是因?yàn)閿?shù)學(xué)抽象這個(gè)概念在高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的領(lǐng)域中，是最為常見的概念之一;說其陌生，是因?yàn)楹芏鄷r(shí)候?qū)?shù)學(xué)抽象的理解是經(jīng)驗(yàn)性的，在教學(xué)實(shí)施的過程中，常常只是遵照最基本的從形象事物到抽象概念的抽象模式. 顯然，只滿足于這樣的理解，對于核心素養(yǎng)背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)來說，可能是不夠的. 核心素養(yǎng)的培育是一個(gè)系統(tǒng)工程，數(shù)學(xué)抽象是這個(gè)工程最初的、最重要的一步，沒有對數(shù)學(xué)抽象的深刻理解，是無法以之為基石，從而走向核心素養(yǎng)培育的目標(biāo)的. 那么，對數(shù)學(xué)抽象的理解應(yīng)當(dāng)如何進(jìn)行呢？筆者以為，關(guān)鍵在于概念的切入與理解路徑的選擇，可以肯定的一點(diǎn)是概念的切入非常重要，不滿足于經(jīng)驗(yàn)角度的理解，而從相對專業(yè)、學(xué)術(shù)的角度去建構(gòu)認(rèn)識，是認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象的前提;在具體的教學(xué)實(shí)踐中形成能夠滿足核心素養(yǎng)培育需要的理解，是數(shù)學(xué)抽象奠定數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要基石. 然后具體到數(shù)學(xué)抽象的學(xué)術(shù)理解，一般認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象是對空間形式和數(shù)量關(guān)系的抽象. 數(shù)學(xué)抽象一般會(huì)經(jīng)由“簡約階段”“符號階段”“普適階段”等三個(gè)基本階段，在具體的教學(xué)實(shí)踐中，以教學(xué)形態(tài)出現(xiàn)的數(shù)學(xué)抽象，遵循數(shù)學(xué)抽象的一般規(guī)律，同時(shí)又具有實(shí)物抽象、半符號抽象、符號抽象和形式化抽象四種表現(xiàn)形式. 本文就從這個(gè)理解出發(fā)，談?wù)労诵乃仞B(yǎng)背景下高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象的理解與實(shí)施.

■數(shù)學(xué)抽象亟須建立深度理解

對一個(gè)概念的理解深度，決定了實(shí)際教學(xué)中理論落地的高度，數(shù)學(xué)抽象要超越經(jīng)驗(yàn)性理解，所需要的深度來自對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的思考，來自對數(shù)學(xué)學(xué)科及其教學(xué)的哲學(xué)思考. 從數(shù)學(xué)的內(nèi)容與對象這一數(shù)學(xué)哲學(xué)層面上分析，數(shù)學(xué)具有抽象性特點(diǎn)的主要表現(xiàn)形式有層次性、模型化、理想化、形式化和符號化等，數(shù)學(xué)抽象的合理性表現(xiàn)在：數(shù)學(xué)抽象抽取的是事物對象的量的關(guān)系和空間形式，同時(shí)抽象的結(jié)果具有可靠的確定性. 基于這樣的闡述，對數(shù)學(xué)抽象的深度理解，可以體現(xiàn)在這樣的幾個(gè)方面：

一是認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象的發(fā)展史. 詩史可以增智，一部數(shù)學(xué)發(fā)展史就是一部人類發(fā)展史，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要承擔(dān)起核心素養(yǎng)培養(yǎng)的任務(wù)，就要通過數(shù)學(xué)史來為學(xué)生充實(shí)必備品格，同時(shí)對于教師建立數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)知而言，也有著極為重要的作用. 研究表明，數(shù)學(xué)抽象最早在古希臘時(shí)代就被提出來，發(fā)現(xiàn)勾股定理的畢達(dá)哥拉斯，是數(shù)學(xué)抽象的始祖之一，古希臘哲學(xué)家（數(shù)學(xué)家）更多地認(rèn)為“抽象的東西”才是數(shù)學(xué)研究的對象. 到了當(dāng)下，著名數(shù)學(xué)教育家史寧中教授更是在多篇著作、文章中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)識，其認(rèn)為抽象包括兩種情況，一是經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上對事物的抽象，其可以理解為生活中的抽象;二是符號與論證基礎(chǔ)上的抽象，其可以理解為數(shù)學(xué)抽象. 但筆者以為，數(shù)學(xué)抽象不能完全脫離生活抽象而存在，高中生的數(shù)學(xué)抽象更多的是兩者的結(jié)合.

二是認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象促進(jìn)人的成長的價(jià)值. 數(shù)學(xué)抽象不只是數(shù)學(xué)的抽象，數(shù)學(xué)抽象是“人”運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行抽象的過程，在這個(gè)過程中人的數(shù)學(xué)抽象本領(lǐng)也會(huì)得到培養(yǎng)，必須認(rèn)識到的是，人才是數(shù)學(xué)抽象的主體. 在數(shù)學(xué)抽象的過程中，只有其發(fā)揮對人的成長的促進(jìn)作用時(shí)，數(shù)學(xué)抽象的價(jià)值才最終體現(xiàn)了出來，而數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，能夠發(fā)揮培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力的作用.

三是認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)知機(jī)制. 數(shù)學(xué)抽象的過程，從經(jīng)驗(yàn)的角度來看，是從形象的生活對象走向抽象的數(shù)學(xué)對象的過程，因此一般認(rèn)為只要能夠從形象走向抽象，那數(shù)學(xué)抽象就完成了. 但學(xué)生的學(xué)習(xí)過程是一個(gè)認(rèn)知發(fā)展的過程，在這個(gè)過程中，心理這方面的變化值得教師研究. 有人從認(rèn)知心理的角度，提出數(shù)學(xué)抽象的不同階段，包括知覺抽象、圖形抽象、數(shù)量抽象、類別概念的抽象等. 顯然這對應(yīng)著不同的認(rèn)知階段，作為解釋高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程很重要的理論，認(rèn)知視角下的數(shù)學(xué)抽象理解，顯然也具有不可替代的價(jià)值.

■基于深度理解的數(shù)學(xué)抽象教學(xué)

基于上面的理解，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，對前面兩個(gè)理解進(jìn)行了初步滲透，而對認(rèn)知理解下的數(shù)學(xué)抽象進(jìn)行了更多的實(shí)踐探究. 進(jìn)一步的研究表明，數(shù)學(xué)抽象的心理學(xué)過程分為“認(rèn)識——內(nèi)化——應(yīng)用”等三個(gè)階段. 教師在教學(xué)過程中可以與之對應(yīng)地從概念、總結(jié)、類比能力以及數(shù)學(xué)應(yīng)用能力等途徑實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)目標(biāo). 而在教學(xué)模式上，也可以采用翻轉(zhuǎn)課堂、項(xiàng)目學(xué)習(xí)和開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等形式使學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中形成對數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng). 這樣的分析有著顯著的系統(tǒng)論視角，下面來看一個(gè)例子.

在“函數(shù)”的教學(xué)中，第一任務(wù)是幫學(xué)生建立起函數(shù)的概念. 從數(shù)學(xué)的角度來看，集合與對應(yīng)法則是數(shù)學(xué)抽象的兩個(gè)關(guān)鍵詞，教師的著力點(diǎn)也就在這兩個(gè)關(guān)鍵詞上. 實(shí)際上，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識體系中的一個(gè)非常重要的概念，其應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生通過抽象的方式建立，那么這個(gè)過程應(yīng)該如何設(shè)計(jì)呢？筆者從這三個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行了設(shè)計(jì)：

環(huán)節(jié)一，引導(dǎo)學(xué)生思考生活中存在函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)事物. 由于學(xué)生已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了函數(shù)概念，因此這個(gè)問題是合適的，但尋找例子的過程中，學(xué)生的思路卻可以拓寬. 例如，生活中看似沒有決定關(guān)系的兩個(gè)事物之間，常常是存在函數(shù)關(guān)系的，如傳染性疾病的患病人數(shù)與時(shí)間之間的關(guān)系. 在不少學(xué)生看來，患病是由病毒或細(xì)菌導(dǎo)致的，其與時(shí)間沒有關(guān)系，但作為流行病學(xué)的研究對象，傳染病的傳染人數(shù)與時(shí)間之間卻有著密切的關(guān)系，認(rèn)識這種關(guān)系，實(shí)際上就可以建立符合高中數(shù)學(xué)知識體系的函數(shù)概念認(rèn)識.

環(huán)節(jié)二，進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，建立函數(shù)概念. 這里分兩步：一是從學(xué)生熟悉的事例入手，如自由落體中的高度與時(shí)間的關(guān)系，這個(gè)函數(shù)關(guān)系明確，學(xué)生比較熟悉;二是上面的例子，可以給學(xué)生提供一些實(shí)例（如圖1），學(xué)生可以直觀地看到感染確診人數(shù)與時(shí)間的關(guān)系，而從圖像的形狀，學(xué)生往往也可以有對應(yīng)某種圖像的心理傾向，如猜想是不是二次函數(shù)等.

環(huán)節(jié)三，建立函數(shù)概念，引導(dǎo)學(xué)生反思. 函數(shù)概念的建立過程就是用數(shù)學(xué)語言描述函數(shù)概念的過程，對應(yīng)著傳統(tǒng)的定義教學(xué)，這里不再贅述. 而從學(xué)習(xí)反思的角度來看，上述兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)需要引導(dǎo)學(xué)生反省過程，從而形成面向認(rèn)知的默會(huì)知識. 如高中數(shù)學(xué)對函數(shù)的界定，更多的是從集合與對應(yīng)法則的角度去描述的;而從認(rèn)知的角度來看，情境素材能刺激學(xué)生的知覺，然后學(xué)生的知覺會(huì)對與函數(shù)相關(guān)的知識進(jìn)行選擇性加工. 經(jīng)過這個(gè)信息輸入的通道，學(xué)生的思維實(shí)際上就完成了基于函數(shù)概念建構(gòu)需要的對應(yīng)，如學(xué)生很快認(rèn)識到上面例子中，“感染人數(shù)”與“時(shí)間”之間就是一對函數(shù)關(guān)系，于是學(xué)生也就認(rèn)識到，在實(shí)際生活中函數(shù)可以用來描述兩個(gè)事物之間的關(guān)系，理念上都可以演變成函數(shù)，這其中涉及知覺抽象、圖形抽象、數(shù)量抽象等，而這個(gè)案例也可以視作是認(rèn)知視角下數(shù)學(xué)抽象的實(shí)踐案例.

■深度教學(xué)從理解走向?qū)嵤?/p>

雖然說從認(rèn)知視角認(rèn)識數(shù)學(xué)抽象，對于一線教師來說存在不小的困難，但對于核心素養(yǎng)來說，這樣的努力又是非常有必要的. 在人們探究核心素養(yǎng)的培育途徑時(shí)，人們尋找到了深度學(xué)習(xí)這一途徑，而深度學(xué)習(xí)對應(yīng)著教師的角色，其實(shí)就變成了深度教學(xué). 對深度教學(xué)的理解到實(shí)施，需要教師超越原有的教學(xué)認(rèn)識，需要對包括數(shù)學(xué)抽象在內(nèi)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進(jìn)行深度解讀. 在對數(shù)學(xué)抽象的深度研究中，有研究者認(rèn)為，對數(shù)學(xué)教學(xué)研究很多時(shí)候就是對教學(xué)模式的研究，也正因?yàn)槿绱耍澳Ｊ浇?gòu)形式化”這一原則就可以看成關(guān)于數(shù)學(xué)抽象的最基本準(zhǔn)則. 這是一個(gè)非常有意思的判斷，對數(shù)學(xué)抽象教學(xué)進(jìn)行模式建構(gòu)的形式化理解，實(shí)際上確實(shí)可以讓學(xué)生在理解數(shù)學(xué)抽象的過程中，有效地反省過程，形成認(rèn)知理解，進(jìn)而以一種模式化的思路提升自身的數(shù)學(xué)抽象水平.

以上是筆者對數(shù)學(xué)抽象的理解從經(jīng)驗(yàn)走向深度的一點(diǎn)總結(jié)，文中的淺顯觀點(diǎn)，希望得到同行們的有價(jià)值的指正！