張嘯

[摘? 要] 概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的一環(huán)，只有將學(xué)生的概念教學(xué)引向深入，才是有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué). 文章以“函數(shù)的單調(diào)性”的教學(xué)過程為例，提出以下新課程改革理念下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略：以情境促感知;以直觀促生成;以訓(xùn)練促鞏固;以體驗促深化.

[關(guān)鍵詞] 概念教學(xué);函數(shù)的單調(diào)性;創(chuàng)設(shè)情境;生成

長期以來，由于受到應(yīng)試教育的影響，一些數(shù)學(xué)教師輕概念、重解題，從而造成數(shù)學(xué)概念與解題嚴(yán)重脫節(jié)的后果. 新的《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：教學(xué)中應(yīng)加強基本概念和基本思想的理解，一些核心概念和基本思想需貫穿于教學(xué)的始終，幫助學(xué)生加深理解. 由此可見，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中最重要的一環(huán)，只有將學(xué)生的概念教學(xué)引向深入，才是有效的數(shù)學(xué)概念教學(xué). 筆者近期觀摩了青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課評比活動，其中一位教師執(zhí)教的“函數(shù)的單調(diào)性”一課給了筆者較大的啟發(fā)，下面將結(jié)合教學(xué)片段談?wù)剬Ω拍罱虒W(xué)的一點拙見.

■教學(xué)片段實錄與分析

教學(xué)片段1：創(chuàng)設(shè)情境——導(dǎo)入概念

問題1：試著作出以下函數(shù)的圖像，并指出圖像的變化趨勢：

（1）y=x+1;

（2）y=-2x+2;

（3）y=x2;

（4）y=■.

（學(xué)生獨立思考，很快完成作圖，并正確指出其變化趨勢）

問題2：請清晰闡釋“圖像呈現(xiàn)逐漸上升趨勢”的意思. 此時的x與函數(shù)值y是如何相互影響的？

生：隨著x值的增大，y值也隨之增大，圖像呈現(xiàn)上升的趨勢;隨著x值的增大，y值反而減小，則圖像呈現(xiàn)下降的趨勢.

師：這種形式是多種函數(shù)都具有的，今天這節(jié)課我們就以此為主題，對這種性質(zhì)做更進一步的探究和討論. （PPT揭示課題：函數(shù)的單調(diào)性）

評析：以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展和已有知識經(jīng)驗為背景，設(shè)計教學(xué)情境，點燃學(xué)生的求知欲. “作圖，并正確指出變化趨勢”以及“闡釋‘圖像呈現(xiàn)逐漸上升趨勢的意思”這兩個主問題，不僅為進一步的學(xué)習(xí)搭建了“腳手架”，逐步揭示了本節(jié)課的課題. 同時又具有一定的開放性，激發(fā)學(xué)生主動探究的愿望，讓學(xué)生運用已學(xué)數(shù)學(xué)知識，通過思考、觀察、探究、分析、猜測和歸納等過程，喚醒舊知，明確探究方向，具有一定的創(chuàng)新性. 同時使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，感受到數(shù)學(xué)是有用的.

教學(xué)片段2：抽象概括——生成概念

師：請大家思考并討論下列問題：對于某函數(shù)，若在區(qū)間（0，+∞）上，

（1）當(dāng)x=1時，有y=1;當(dāng)x=2時，有y=3，則“在區(qū)間（0，+∞）上，y隨著x的增大而增大”是否正確？

（2）當(dāng)x=1，2，3，4時，相應(yīng)地，y=1，3， 4，6，則“在區(qū)間（0，+∞）上，y隨著x的增大而增大”是否正確？

（3）若有x■

（學(xué)生思考后展開火熱的討論，并很快得出結(jié)論）

生：不能，且均可以通過舉例的方法加以說明.

問題3：誰能以數(shù)學(xué)語言來表述一個函數(shù)為增函數(shù)呢？現(xiàn)在能出示準(zhǔn)確定義嗎？請試著用自己的語言表述，并以小組為單位互相交流，待生成集體意見后進行展示. （學(xué)生展開討論）

師：下面請小組代表展示.

生：第一步：當(dāng)x■

第二步：當(dāng)x■

第三步：借助個別數(shù)值說明單調(diào)性：如函數(shù)y=x2（x∈R），當(dāng)x=-1，2，3，4，…，對應(yīng)地，y=1，4，9，16，…，是否可說y隨著x的增大而增大？

對于區(qū)間I上有限個或無限個自變量，均滿足x■

第四步：x■，x■“任意”中也有“不任意”，由于單調(diào)性描述的是函數(shù)的基本性質(zhì)，還需鏈接其區(qū)間，著重強調(diào)定義中的x■，x■∈I. 對于區(qū)間I內(nèi)的任意x■，x■，當(dāng)x■

最后得出函數(shù)單調(diào)性的定義......

評析：引導(dǎo)學(xué)生親歷數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程，并通過以下兩個關(guān)鍵性過程來實現(xiàn)建構(gòu)：①通過自然語言去描述函數(shù)圖像的特征，進而建構(gòu)函數(shù)單調(diào)性的意義. 教師以函數(shù)圖像為指引，引導(dǎo)學(xué)生去觀察、去發(fā)現(xiàn)，初步建立函數(shù)單調(diào)性的意義. 學(xué)生有多次圖像觀察的經(jīng)驗，此過程對于學(xué)生來說相對簡單. ②以數(shù)學(xué)符號表示意義，此過程相對抽象，學(xué)生建構(gòu)難度較大. 片段中教師找尋學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，通過多個循序漸進的問題串的呈現(xiàn)，觸及概念的底部與本質(zhì)，有效突破了“用符號語言刻畫動態(tài)數(shù)學(xué)對象”這一難點，提升了學(xué)生的理性思維. 而“以數(shù)學(xué)語言來表述一個函數(shù)為增函數(shù)”，不僅打開了學(xué)生的思維寬度，也為定義的落地進行了鋪墊，整個建構(gòu)過程流暢而自然，一氣呵成.

教學(xué)片段3：學(xué)以致用——深化概念

問題4：判斷：以下說法是否正確，并說明理由（舉例或畫圖），

（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為[a，+∞），若對于任意x>a，都有f（x）>f（a），則y=f（x）在區(qū)間[a，+∞）上遞增;

（2）設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為R，若對于任意x■，x■∈[a，+∞），且x■>x■，都有f（x■）>f（x■），則y=f（x）是遞增的;

（3）反比例函數(shù)f（x）=■的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0）∪（0，+∞）.

問題5：判斷并證明函數(shù)f（x）=0.001x+1的單調(diào)性.

問題6：證明函數(shù)f（x）=x+■（x>0）的單調(diào)性，

（1）在（0，1）上遞減;（2）在（1，+∞）上遞增.

問題7：物理學(xué)中的玻意耳定律P=■（k為正常數(shù)）中，有對于一定量的氣體，當(dāng)體積V減小時，壓強P增大，試著用函數(shù)單調(diào)性予以證明.

評析：教師通過對教材具有深度的理解設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生站在較高的角度探究概念本質(zhì)，在內(nèi)化中進一步優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu). 問題7聯(lián)系其他學(xué)科的數(shù)學(xué)知識，逐步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力，有了之前一系列問題作為鋪墊，學(xué)生比較順利地解決了這個具有一定難度的應(yīng)用問題. 在這個過程中，教師沒有輕易放過任何一個完善對函數(shù)單調(diào)性理解的機會，珍惜每一個引導(dǎo)學(xué)生深度思考的機會，深化對概念本質(zhì)的理解.

■概念教學(xué)的策略

1. 以情境促感知

數(shù)學(xué)概念的形成是由具體到抽象的過程，一些較難理解的數(shù)學(xué)概念，在教學(xué)時，切不可生硬地拋出，讓學(xué)生去記、去背. 而應(yīng)從學(xué)生的具體實際出發(fā)，有針對性地創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，提出問題，以直觀性較強、具有一定關(guān)聯(lián)性的例子，去幫助學(xué)生感知概念，促進感性認(rèn)識的形成[1]■.

2. 以直觀促生成

在概念學(xué)習(xí)中，學(xué)生不僅需通過多感官去感知，還需反復(fù)觀察文字符號，去聽取教師的言語說明，去實踐操作，更進一步地進行初步概括，形成表象. 這一過程，為理解和掌握概念提供了較好的感性基礎(chǔ). 因此，教師需運用好教具、多媒體等強化直觀教學(xué)，并用直觀的圖像讓抽象的概念變得直觀和形象，成為“看得見、摸得著”的事物. 例如，以上教學(xué)過程中，為使學(xué)生深度掌握概念本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生以圖像和符號去描述，有助于學(xué)生的理解和認(rèn)識.

3. 以訓(xùn)練促鞏固

概念教學(xué)的最高層次就是實現(xiàn)應(yīng)用，在應(yīng)用中使得理解和鞏固的概念得以發(fā)展和深化，也是將抽象知識化為行動的動態(tài)過程. 以上案例中，教師從發(fā)展的角度設(shè)計練習(xí)，以一些情境復(fù)雜的問題促使學(xué)生提煉和概括，進一步培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和深刻性，使學(xué)生從本質(zhì)上認(rèn)識所學(xué)概念[2]■.

4. 以體驗促深化

張奠宙先生曾說：“數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性在于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握、揭示和體驗. ”因此，在教學(xué)系統(tǒng)化概念的過程中，需引導(dǎo)學(xué)生感悟隱含于概念形成過程中的思想方法，需在應(yīng)用與推廣中自然而然地滲透思想方法，這才是促進概念深化的核心■[3].

總之，提高概念教學(xué)水平是一項艱巨而復(fù)雜的工程，同時也是每個數(shù)學(xué)教學(xué)工作者必須深思的問題，我們只有加強研究與交流，融合理論與實踐，才是可行之道. 我們需要轉(zhuǎn)型教學(xué)方式，從知識的重現(xiàn)轉(zhuǎn)變?yōu)橹R的重演，促進學(xué)生的有效建構(gòu)，將數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)教育落到實處，真正實現(xiàn)素養(yǎng)教育. 當(dāng)然，概念教學(xué)的探究之路漫長而又艱巨，需要廣大數(shù)學(xué)教師持之以恒地研究下去、行走下去，這個話題永遠不老！

參考文獻：

[1]? 吳敏，何嘉駒. 基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)探析——以人教版必修二《直線的傾斜角與斜率》為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2018（20）.

[2]? 匡繼昌. 如何理解和掌握數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實踐與研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（6）.

[3]? 盧娟，孫道斌. 在深度對話中讓數(shù)學(xué)概念課教學(xué)走向本真——“§5.1定義與命題”教學(xué)實錄與點評[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2017（10）.