朱美紅
【摘要】在高中數(shù)學(xué)教材中,所有知識(shí)板塊都不是獨(dú)立存在的,而是相互交叉、滲透的,構(gòu)成了一個(gè)系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).因此,在一線教學(xué)中,教師應(yīng)對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合,以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,提高教學(xué)的有效性.本文以“等差數(shù)列”一課為例,探討函數(shù)與等差數(shù)列知識(shí)整合的課堂設(shè)計(jì).
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);等差數(shù)列;知識(shí)整合;教學(xué)設(shè)計(jì)
引 言
高中數(shù)學(xué)教學(xué)是一項(xiàng)系統(tǒng)的任務(wù),在教學(xué)過(guò)程中,其中的任何一課都不能脫離教材的整體的知識(shí)架構(gòu),都不能脫離其他知識(shí)而獨(dú)立存在.從教材知識(shí)設(shè)置的角度來(lái)看,高中數(shù)學(xué)教材中所有知識(shí)都不是獨(dú)立存在的,而是相互交叉、相互滲透的,構(gòu)成了一個(gè)系統(tǒng)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),如函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)與向量和解三角形,等等.因此,高中數(shù)學(xué)教師需要具備大視野,能夠從整體的角度來(lái)審視每一課的功能及其對(duì)教材整體性知識(shí)架構(gòu)的影響;能夠通過(guò)知識(shí)整合來(lái)構(gòu)建系統(tǒng)的教學(xué)框架,引導(dǎo)學(xué)生建立認(rèn)知圖式,從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,提高教學(xué)質(zhì)量.基于此,本文以“等差數(shù)列”一課為例,立足函數(shù)與等差數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系,闡述基于知識(shí)整合的課堂教學(xué)設(shè)計(jì).
一、等差數(shù)列與函數(shù)知識(shí)整合的主要依據(jù)
在課堂教學(xué)中,教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵之一是把握教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)及其性質(zhì),進(jìn)而梳理其與其他知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,在此基礎(chǔ)上,將其他知識(shí)與教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整合.在這一過(guò)程中,教師需要從已學(xué)知識(shí)入手,引導(dǎo)學(xué)生將已學(xué)知識(shí)作為新課重難點(diǎn)知識(shí)的突破口,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性.以“等差數(shù)列”一課為例,數(shù)列本身就是一種特殊的函數(shù).在性質(zhì)上,它可以表述為以項(xiàng)數(shù)n為自變量的函數(shù),也可描述為以正整數(shù)集為定義域的函數(shù).而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教材中的基礎(chǔ)知識(shí),與其他知識(shí)之間存在直接聯(lián)系.僅就等差數(shù)列來(lái)說(shuō),函數(shù)是解決等差數(shù)列問(wèn)題的基本路徑之一.因此,將函數(shù)與等差數(shù)列進(jìn)行整合,是架構(gòu)知識(shí)圖式、提高教學(xué)質(zhì)量的重要手段.
具體來(lái)說(shuō),函數(shù)與等差數(shù)列知識(shí)整合的交互點(diǎn)表現(xiàn)在兩個(gè)層面.
第一個(gè)層面是一次函數(shù)與等差數(shù)列通項(xiàng)公式之間的整合.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本形式為an=a1+(n-1)×d,其中,an可看作n的一次函數(shù),它的圖像是一次函數(shù)上的離散點(diǎn),即所有表示(n,an)的點(diǎn)都在同一直線上.因此,一次函數(shù)與等差數(shù)列之間有著密切聯(lián)系.
第二個(gè)層面是二次函數(shù)與等差數(shù)列前n項(xiàng)的知識(shí)整合.在等差數(shù)列中,對(duì)于數(shù)列{an},通常用a1+a2+a3+…+an來(lái)表示{an}的前n項(xiàng)和,它的公式Sn=an1+n(n-1)d2可看作關(guān)于n的二次函數(shù),因此,可用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決等差數(shù)列與Sn最值的有關(guān)問(wèn)題.
此外,函數(shù)本身是一種數(shù)學(xué)的思想方法,是指導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展等差數(shù)列課堂學(xué)習(xí)的重要思想.在課堂上,教師可引導(dǎo)學(xué)生將函數(shù)作為學(xué)習(xí)新課的切入點(diǎn),讓學(xué)生運(yùn)用函數(shù)的方法來(lái)學(xué)習(xí)等差數(shù)列,將兩者進(jìn)行有機(jī)整合,建立起以函數(shù)和等差數(shù)列為主體的認(rèn)知圖式,以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性,打造高效課堂.
二、等差數(shù)列與函數(shù)知識(shí)整合的教學(xué)設(shè)計(jì)
在知識(shí)整合視角下,教師可根據(jù)等差數(shù)列一課的主要內(nèi)容,將授課過(guò)程劃分為多個(gè)環(huán)節(jié),并為每個(gè)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)不同的學(xué)習(xí)任務(wù)和目標(biāo),從而創(chuàng)設(shè)系統(tǒng)化的教學(xué)流程,提高教學(xué)質(zhì)量.基于此,筆者在設(shè)計(jì)本課時(shí)將教學(xué)過(guò)程劃分成了四個(gè)環(huán)節(jié):第一個(gè)環(huán)節(jié)是導(dǎo)入新課,教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),歸納等差數(shù)列的基本概念;第二個(gè)環(huán)節(jié)是加強(qiáng)概念認(rèn)知,教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生從一次函數(shù)入手,解析等差數(shù)列的性質(zhì)和公式;第三個(gè)環(huán)節(jié)是提煉歸納,教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生將二次函數(shù)與等差數(shù)列進(jìn)行整合,提高對(duì)等差數(shù)列的理性認(rèn)識(shí);第四個(gè)環(huán)節(jié)是鞏固練習(xí),教學(xué)目標(biāo)是通過(guò)習(xí)題練習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力.
1.第一個(gè)環(huán)節(jié)
教師以提問(wèn)導(dǎo)入新課:我們?cè)诔踔袝r(shí)學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)列知識(shí),而本課所要學(xué)習(xí)的等差數(shù)列,即屬于數(shù)列的范圍.那么,數(shù)列與等差數(shù)列之間具有哪些不同?
教師提示1:數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.
教師提示2:數(shù)列與等差數(shù)列的概念差異.
學(xué)生回顧之前所學(xué)知識(shí)并合作探究:
①數(shù)列是以正整數(shù)集(有限子集)為定義域的函數(shù).
②在數(shù)列中,如果每一項(xiàng)減去前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù),即等差數(shù)列.
教師板書:an=a1+(n-1)×d
設(shè)問(wèn):在這一通項(xiàng)公式中,什么是等差數(shù)列的常數(shù)?什么是公差?
學(xué)生閱讀教材并合作探究:n是等差數(shù)列的常數(shù),而常數(shù)也是等差數(shù)列的公差,即公式中的d.
筆者總結(jié):判斷等差數(shù)列成立的條件,是觀察數(shù)列中從第二項(xiàng)開(kāi)始,后一項(xiàng)減前一項(xiàng)的差是否相同.
2.第二個(gè)環(huán)節(jié)
教師設(shè)問(wèn):回顧一次函數(shù)的概念,對(duì)比它與等差數(shù)列通項(xiàng)公式,觀察它們之間具有哪些聯(lián)系?
學(xué)生合作探究:
①一次函數(shù):y=kx+b(k≠0),x是自變量,y是因變量,k和b是常數(shù);在b=0的前提下,k是常數(shù),y是x的正比例函數(shù).
②等差數(shù)列:在通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)×d中,當(dāng)d=0時(shí),an是n的常函數(shù);當(dāng)d≠0時(shí),則an是n的一次函數(shù).
課件展示:在等差數(shù)列{an}中,已知a1,d,am,an(m≠n),則d=an-a1[]n-1=an-am[]n-m,從而有an=am+(n-m)d.
教師設(shè)問(wèn):課件中給出了已知條件,那么可否直接求公差?
教師提示:將等差數(shù)列與一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行對(duì)比,觀察等差數(shù)列{an}的圖像.
學(xué)生合作探究:等差數(shù)列的圖像是均勻分布在一條直線上的孤立的點(diǎn),任選其中兩點(diǎn),如(n,an)和(m,am)(m≠n),類比直線的斜率公式可知公差d=an-am[]n-m.
師生歸納:
①等差數(shù)列的性質(zhì):在等差數(shù)列中,如果m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq.
3.第三個(gè)環(huán)節(jié)
教師設(shè)問(wèn):剛才通過(guò)一次函數(shù)與等差數(shù)列的整合,概括出了等差數(shù)列的性質(zhì).二次函數(shù)的概念是什么?二次函數(shù)與等差數(shù)列的性質(zhì)之間存在哪些聯(lián)系?能否運(yùn)用二次函數(shù)理論去解決等差數(shù)列問(wèn)題?
在問(wèn)題情境下,教師讓學(xué)生回顧二次函數(shù)的定義,進(jìn)而將兩者進(jìn)行整合.
學(xué)生回顧已學(xué)知識(shí)并合作探究:
①二次函數(shù)中引入了平方的概念,基本形式為y=ax2+bx+c(a≠0).
②在二次函數(shù)的概念下,等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式Sn=na1+n(n-1)d2,屬于關(guān)于n的二次函數(shù),證明能夠用二次函數(shù)的性質(zhì)去解決等差數(shù)列問(wèn)題,即y=ax2+bx+c(其中a=d2,b=a1-d2,c=0),能夠解決等差數(shù)列中Sn最值的有關(guān)問(wèn)題.
4.第四個(gè)環(huán)節(jié)
教師設(shè)問(wèn):通過(guò)剛才的學(xué)習(xí),可以看出函數(shù)與等差數(shù)列之間存在著密切聯(lián)系.那么,在學(xué)習(xí)或生活中遇到關(guān)于等差數(shù)列的實(shí)際問(wèn)題時(shí),如何正確選擇一次函數(shù)或二次函數(shù)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題?
教師提示:函數(shù)思想是數(shù)學(xué)思想中的一個(gè)重要方法,我們依托函數(shù)的基本方法,能用函數(shù)的概念去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題.
習(xí)題1:在能夠確定數(shù)列為等差數(shù)列的前提下,已知a2+a3+a4=18,a2a3a4=66,求a2,a3,a4.
習(xí)題2:如何運(yùn)用等差數(shù)列的常數(shù)和公差設(shè)計(jì)3個(gè)數(shù),使它們既能滿足等差數(shù)列的條件又方便計(jì)算?
三、教學(xué)過(guò)程
1.設(shè)立情境,引入課題
①大家首先從1開(kāi)始,按照2的倍數(shù)依次增加,能得到什么數(shù)列?
②漁民們?yōu)榱耸刽~塘里的魚類有良好的水質(zhì)環(huán)境,每天定時(shí)定量通過(guò)防水來(lái)清理魚塘中的雜魚,現(xiàn)在魚塘的水位為19米,通過(guò)人工防水每天水位降低2.5米,為了保證魚類的成活率,最低可以降到5米,那么大家想一想,從第一次開(kāi)始防水算起,到漁民可以清理魚塘之時(shí),魚塘每天的水位構(gòu)成一個(gè)什么數(shù)列?
③我國(guó)銀行的儲(chǔ)蓄政策規(guī)定,銀行以單利的方式進(jìn)行支付存款利息.這種單利方式計(jì)算本金和利息的公式為本金利息和=本金×(1+利率×存期).如果我們現(xiàn)在活期存進(jìn)10000元,年利率為0.65%,那么按照這種計(jì)算方式,在5年內(nèi),每一年的本金與利息之和構(gòu)成什么數(shù)列?
教師:以上三個(gè)問(wèn)題中的數(shù)蘊(yùn)涵著三列數(shù).上面三個(gè)例子中分別蘊(yùn)涵了三個(gè)數(shù)列,請(qǐng)同學(xué)們思考一下是哪三種數(shù)列.
學(xué)生回答:
①1,3,5,7,9,11…
②19,16.5,14,11.5,9,6.5,4…
③10065,10130,10195,10260,10335…
(設(shè)置意圖:將生活中的實(shí)例引入課堂,讓學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)生活中的等差數(shù)列模型,初步認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的特點(diǎn).)
2.觀察歸納,形成定義
①1,3,5,7,9,11…
②19,16.5,14,11.5,9,6.5,4…
③10065,10130,10195,10260,10335…
思考1:上面三個(gè)數(shù)列有什么相同之處?
思考2:總結(jié)上面三個(gè)數(shù)列的相同點(diǎn),請(qǐng)總結(jié)出等差數(shù)列的定義.
思考3:你能將第二個(gè)思考問(wèn)題的答案用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)嗎?
教師先引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)上述三個(gè)數(shù)列的相同之處,然后讓學(xué)生根據(jù)數(shù)列的共同特征歸納總結(jié)出等差數(shù)列的基本概念.
學(xué)生分成幾個(gè)小組分別討論,可能會(huì)得出以下幾個(gè)不同的結(jié)論,如上一個(gè)數(shù)和下一個(gè)數(shù)的差有著某種關(guān)系;這些數(shù)都是規(guī)律排列的等.但是只要學(xué)生的結(jié)論合理,符合等差數(shù)列的性質(zhì),教師就要給予學(xué)生肯定.
(設(shè)計(jì)意圖:通過(guò)對(duì)一定數(shù)量感性材料的觀察、分析,提煉出感性材料的本質(zhì)屬性;使學(xué)生體會(huì)等差數(shù)列的規(guī)律和共同特點(diǎn).)
3. 舉一反三,鞏固定義
(1)給出以下數(shù)列,教師引導(dǎo)學(xué)生回答等差數(shù)列的定義及性質(zhì),讓學(xué)生回答以下數(shù)列是否為等差數(shù)列,如果是,那么計(jì)算出公差d.
①2,2,2,2,2;
②2,1,2,1,2;
③5,4,3,2,1;
④3,6,9,12,15.
在這里需要注意的是,公差d可以是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù),甚至可以是0.教師應(yīng)提醒學(xué)生不可以將減數(shù)和被減數(shù)弄混.
(設(shè)計(jì)意圖:強(qiáng)化學(xué)生對(duì)等差數(shù)列“等差”特征的理解和應(yīng)用.)
思考4:假設(shè)某個(gè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n-1,那么這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?請(qǐng)帶入一組數(shù)據(jù)證明.
(設(shè)計(jì)意圖:強(qiáng)化學(xué)生對(duì)等差數(shù)列定義的理解.)
結(jié) 語(yǔ)
綜上所述,在高中數(shù)學(xué)等差數(shù)列一課的教學(xué)中,教師應(yīng)通過(guò)引入函數(shù)的概念,將一次函數(shù)、二次函數(shù)與等差數(shù)列的課堂教學(xué)進(jìn)行整合,加大了教材中各個(gè)知識(shí)板塊之間的契合度,實(shí)現(xiàn)了不同知識(shí)之間的整合,同時(shí)幫助學(xué)生建立起了認(rèn)知圖式.在教學(xué)過(guò)程中,教師把握住了一條主線,即函數(shù)概念與等差數(shù)列的概念,引導(dǎo)學(xué)生分析兩者之間的共通性,使學(xué)生在學(xué)習(xí)中體驗(yàn)函數(shù)思想的應(yīng)用價(jià)值,由此拓展了本課的教學(xué)功能,由知識(shí)整合到數(shù)學(xué)思想方法的整合,提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性,提升了教學(xué)質(zhì)量.
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