梁煜

【摘 要】本文闡明優(yōu)化高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)原則，以及高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)常見的二元模式，闡述優(yōu)化高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的三種方法，通過情境創(chuàng)設(shè)教學(xué)方式簡化概念理解難度，引入數(shù)學(xué)文化教學(xué)方式幫助學(xué)生溯根求源，然后有針對性地指導(dǎo)概念學(xué)習(xí)以提高教學(xué)效率。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 概念教學(xué) 建構(gòu)主義 教學(xué)模式

【中圖分類號(hào)】G ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2019）08B-0141-02

概念教學(xué)是保障學(xué)科系統(tǒng)化教學(xué)的前提，也是深入探討學(xué)科原理與應(yīng)用的基石，尤其在數(shù)學(xué)領(lǐng)域表現(xiàn)得更加突出。本質(zhì)上，數(shù)學(xué)作為一種從現(xiàn)實(shí)對象中抽象而成的空間形式、數(shù)量關(guān)系的反映形式，具有高度的概括性、精煉性和邏輯性。目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在一些誤區(qū)，如“重計(jì)算、輕概念”和“題海戰(zhàn)術(shù)”等，將數(shù)學(xué)概念視為一種僵化、機(jī)械的應(yīng)用依據(jù)，學(xué)生遠(yuǎn)沒有達(dá)到靈活運(yùn)用概念的程度?；诖耍疚耐ㄟ^分析高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的原則、模式，提出三種優(yōu)化教學(xué)方法，以供廣大高中數(shù)學(xué)教師參考。

一、優(yōu)化高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)原則

概念可以描述為“人類對客觀事物認(rèn)識(shí)中的基本邏輯單元和形式”，以此類推，“數(shù)學(xué)概念”就代表了人們對數(shù)學(xué)知識(shí)的基本邏輯單元和思維形式。從數(shù)學(xué)史的角度出發(fā)，“邏輯”與“思維”經(jīng)歷了漫長的演變和轉(zhuǎn)化過程，其作用主要是表達(dá)和解釋數(shù)學(xué)本質(zhì)，凝煉為概念;有了數(shù)學(xué)概念之后，人們才能脫離現(xiàn)實(shí)束縛展開更深入的研究、應(yīng)用，如新概念的推理、判斷、論證等，從而達(dá)到“高等數(shù)學(xué)”的層次。但溯根求源，真正的數(shù)學(xué)概念，原本并不抽象、乏味、枯燥，它原本都是自然社會(huì)和人類社會(huì)中存在的各種現(xiàn)象。由此，在高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程中，一個(gè)最主要的原則就是讓學(xué)生能夠系統(tǒng)地掌握“概念”的認(rèn)知過程，實(shí)現(xiàn)從“抽象”到“具象”的回歸，本文將其歸納為“建構(gòu)主義原則”。

建構(gòu)主義理論創(chuàng)始人讓·皮亞杰（Jean Piaget）指出，學(xué)習(xí)者的知識(shí)結(jié)構(gòu)是基于同化和順應(yīng)的過程實(shí)現(xiàn)的，即學(xué)生自身必須具備一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在外界因素的刺激下通過意義構(gòu)建才能獲得知識(shí)。更加通俗地說，學(xué)習(xí)是一個(gè)“質(zhì)變過程”，知識(shí)結(jié)構(gòu)不可能通過單純的知識(shí)積累而建成。在該理論下審視高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，我們發(fā)現(xiàn)，直接以“定義”“描述”等簡單方法，則會(huì)破壞意義建構(gòu)的可能性。不同的學(xué)生面對符號(hào)、字母、數(shù)字等元素構(gòu)成的表達(dá)式時(shí)，知識(shí)經(jīng)驗(yàn)相對豐富的學(xué)生可以快速理解，數(shù)學(xué)天賦不足的學(xué)生則難以達(dá)到意義建構(gòu)水平。只有堅(jiān)持建構(gòu)主義原則，建立具象實(shí)體與抽象概念之間的橋梁，從更低的層次上契合大部分學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，才能實(shí)現(xiàn)更大范圍內(nèi)的意義建構(gòu)。

二、高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)常見的二元模式

結(jié)合本人多年來高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，筆者認(rèn)為概念教學(xué)方法取決于概念獲得方式，在這一問題得以明確之后，才能展開高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)。由于概念獲得方式的差異，導(dǎo)致概念教學(xué)模式的差異。結(jié)合前人研究成果，本文將其歸納為“直觀形成獲得方式”下的教學(xué)模式和“概念同化獲得方式”下的教學(xué)模式兩類。

（一）高中數(shù)學(xué)概念“直觀形成獲得方式”下的教學(xué)模式

“直觀形成獲得方式”源于心理學(xué)范疇下的“概念形成”定義，相關(guān)的理論包括“共同因素說”（赫爾）、“共同中介說”（奧斯古德）、“假設(shè)考驗(yàn)說”（布魯納）等，其核心內(nèi)涵是指“概念”從現(xiàn)實(shí)對象或關(guān)系中直接抽象獲取，從實(shí)體存在轉(zhuǎn)化為符號(hào)表達(dá)。如下圖 1 所示，描述了一個(gè)“新概念”從無到有的演變過程。

此類概念貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)階段，在教學(xué)過程中，較為典型的描述方式為，首先，以客觀存在的物體為基礎(chǔ)材料（如教具、實(shí)物、圖片等），讓學(xué)生根據(jù)既有的生活化經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生直觀感知。然后，再針對物體進(jìn)行要素剝離，突出與數(shù)學(xué)概念密切相關(guān)的組成部分。最后，引導(dǎo)學(xué)生將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，形成精煉、準(zhǔn)確的概念描述形式。例如，在人教版高中數(shù)學(xué)（必修一）第一章《1.1 集合》的概念教學(xué)中，教師拿出籃球、足球、乒乓球、氣球四種實(shí)物，提出“體育器材集合”的要求，學(xué)生可以根據(jù)生活學(xué)習(xí)中的現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)快速地判斷出氣球和其他三種球類的差異，按此規(guī)律演化而成的概念都可以歸納為“直接形成”。值得一提的是，這種教學(xué)方式大多是從直觀角度出發(fā)，比較適應(yīng)學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)較好的情況，便于從不同對象中抽取出共同點(diǎn)。

（二）高中數(shù)學(xué)概念“概念同化獲得方式”下的教學(xué)模式

借鑒“概念同化”的心理學(xué)概念，“概念同化獲得方式”下的教學(xué)模式依賴于已經(jīng)被廣泛接受、理解和認(rèn)可的固有概念。在教學(xué)過程中，教師可以直接解釋概念的內(nèi)涵，并借助已有的知識(shí)幫助學(xué)生理解，這一過程即為“同化”，而后形成新的數(shù)學(xué)概念。很顯然，概念同化是建立在數(shù)學(xué)邏輯之上的，需要一定的演繹過程來解釋舊概念到新概念的形成過程，在整體上，始終處于抽象層次，其演化過程如圖 2 所示。

該模式下教學(xué)流程可以實(shí)現(xiàn)舉一反三，極大地簡化教學(xué)過程、節(jié)約教學(xué)時(shí)間。例如，在人教版高中數(shù)學(xué)（必修一）第一章《1.3 函數(shù)的基本性質(zhì)》中，當(dāng)學(xué)生理解了偶函數(shù)的概念之后，就不難推理出奇函數(shù)的概念，在教學(xué)過程中可以引入實(shí)例。

教師：結(jié)合偶函數(shù)的概念描述（f（-x）=f（x）），請問，函數(shù) ?y=x2，x∈[-1，2]是偶函數(shù)嗎？

學(xué)生：不是。

教師：請給出理由。

學(xué)生：因?yàn)殡m然 x2 永遠(yuǎn)為正數(shù)，始終位于 y 軸上側(cè)，但在定義域內(nèi) f（2）=4 存在，f（-2）=4 不存在，所以不能稱之為偶函數(shù)。

教師：根據(jù)這一過程能夠推論出奇函數(shù)的概念嗎？

學(xué)生：滿足 f（-x）=-f（x）的條件就是奇函數(shù)。

基于“同化”原理，可以降低高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)難度，但這種方式的應(yīng)用存在很大的局限性，勢必要求舊概念和新概念之間有密切的關(guān)聯(lián)度。

三、優(yōu)化高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的三種方法

（一）通過情境創(chuàng)設(shè)教學(xué)方式簡化概念理解難度

數(shù)學(xué)較之其他學(xué)科而言，更加注重邏輯能力、想象能力和抽象能力，加上數(shù)學(xué)概念的“符號(hào)化”特征，從而在教學(xué)方面形成了巨大的障礙。很多學(xué)生的第一感覺是“枯燥”“復(fù)雜”“繁瑣”，一個(gè)概念就如同一個(gè)冷冰冰、毫無生氣的“機(jī)器”，并且在數(shù)學(xué)解題過程中，這架機(jī)器還很容易“發(fā)生故障”，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤和思路偏差。那么，如何化解這一困難呢？許多著名的數(shù)學(xué)教育家都強(qiáng)調(diào)過“數(shù)學(xué)源于生活和生產(chǎn)”，以此為依據(jù)，通過情境創(chuàng)設(shè)的方式，讓學(xué)生完成從“具象”到“抽象”再“回歸具象”的思維過程，能夠極大地簡化概念理解難度。

將數(shù)學(xué)概念融入現(xiàn)實(shí)存在的事物當(dāng)中，讓學(xué)生在“看得見、摸得著”的情況下抽象出數(shù)學(xué)概念，并根據(jù)這一過程推導(dǎo)出更多的新概念。比如，人教版高中數(shù)學(xué)（必修一）第一章《1.3 ?函數(shù)的基本性質(zhì)》中，關(guān)于“奇偶性”的概念描述就顯得十分抽象，教材指出“一般地，如果對于函數(shù) f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè) x，都有 f（-x）=f（x），那么函數(shù) f（x）就是偶函數(shù)（even function）”，對應(yīng)地，指出“f（-x）=-f（x）”的條件成立則為“奇函數(shù)（odd function）”。這種描述方式并不等同于嚴(yán)格意義上的“概念”，而是基于一種客觀規(guī)律的特性描述。如果按圖索驥地展開概念教學(xué)，那么學(xué)生很容易產(chǎn)生混淆和理解誤差，從這一描述上看，奇函數(shù)和偶函數(shù)之間的差異在直觀上僅僅存在于“-”符號(hào)。對此，通過情境創(chuàng)設(shè)，可以很容易地讓學(xué)生理解“奇偶性”的特征和差異。例如針對“偶函數(shù)”，可展示一些對稱性圖形，如泰姬陵、蝴蝶、太極圖等，讓學(xué)生了解其中包含的“中心對稱”和“軸對稱”關(guān)系，讓學(xué)生結(jié)合偶函數(shù)圖象的對稱性展開思考。同一道理，利用“螺旋槳”“沙漏”等實(shí)體模型，也可以讓學(xué)生從其中抽象出奇函數(shù)的圖形特征，進(jìn)一步明確函數(shù)奇偶性的性質(zhì)。

（二）引入數(shù)學(xué)文化教學(xué)方式幫助學(xué)生溯根求源

根據(jù)數(shù)學(xué)概念的起源，引入數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家等文化內(nèi)容，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)概念的“根源”出發(fā)，接觸到生活、生產(chǎn)層面的要素，從客觀體驗(yàn)中懂得數(shù)學(xué)概念的演化過程。例如函數(shù)的概念，可以從數(shù)學(xué)史的角度出發(fā)，介紹其不同時(shí)期的發(fā)展過程，以及比如伽利略、牛頓、歐拉、柯西等數(shù)學(xué)家的研究過程，以此加深學(xué)生對“變量關(guān)系”的認(rèn)知。通過這種教學(xué)方法，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)概念不是憑空臆造出來的，而是為解決實(shí)際問題而提出的，并通過逐級(jí)演化變成了現(xiàn)在的狀態(tài)。弄清“前因后果”，對概念學(xué)習(xí)和理解大有裨益。

（三）有針對性地指導(dǎo)概念學(xué)習(xí)以提高教學(xué)效率

通過對高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的反思，發(fā)現(xiàn)不少教師對概念教學(xué)缺乏針對性，一般采取“概念解釋→舉例說明→開展新課”的流程。這個(gè)過程的“源頭”存在缺陷，當(dāng)學(xué)生面對一個(gè)新概念時(shí)，并不清楚它在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中所處的地位，及與其他概念之間的關(guān)系，以及概念的起源及演變過程。因此，針對性地指導(dǎo)概念學(xué)習(xí)應(yīng)該作為高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，具體的方法包括下面兩種。

第一，對比法。通過相似或相關(guān)聯(lián)概念的對比，可以清晰地發(fā)現(xiàn)舊概念和新概念之間的差異。例如，在人教版高中數(shù)學(xué)中存在的“子集與真子集”“對數(shù)與指數(shù)”“概率與頻率”等概念，都是極容易混淆的，通過對比之間的差異，有助于學(xué)生理解。例如，“概率”和“頻率”都包含了“率”，說明它們都是“比例值”，但它們之間有本質(zhì)的區(qū)別，通過舉例對比，學(xué)生就能較好地理解和掌握它們之間的差異。

第二，精細(xì)化法。數(shù)學(xué)概念具有高度概括性，用詞非常精煉，有時(shí)候甚至不符合語法習(xí)慣，這就需要教師進(jìn)一步地對概念進(jìn)行“精細(xì)化”處理，提煉出其中的“關(guān)鍵詞”，讓學(xué)生明白細(xì)微的差別。例如，人教版高中數(shù)學(xué)中的“集合”，有這樣描述：集合 A 中的任意一個(gè)元素在集合 B 中都有唯一的確定元素相對應(yīng)。在這描述中，“任意”和“唯一”應(yīng)該作為關(guān)鍵詞加強(qiáng)理解。

高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)遵循“以人為本”的建構(gòu)主義原則，理清概念形成與概念同化獲取方式，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的人文特質(zhì)，消除“抽象化”“符號(hào)化”帶來的學(xué)習(xí)壓力，從中體會(huì)到數(shù)學(xué)的魅力。

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（責(zé)編 盧建龍）