張治才

[摘 ?要] 從學(xué)生思維參與的角度，研究了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如何在課堂教學(xué)中落地.研究者提出以下促進思維深度參與的途徑：關(guān)注學(xué)生的思維起點，設(shè)計驅(qū)動學(xué)生思維的問題，順應(yīng)學(xué)生的課堂思維表現(xiàn).

[關(guān)鍵詞] 思維參與;課堂教學(xué);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是新修訂的2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中重要的課程目標(biāo)之一，也是當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)的熱門話題. 如何在課堂教學(xué)中讓核心素養(yǎng)落地生根，成為高中數(shù)學(xué)教師研究的重點問題. 新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)“把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進教學(xué)”.章建躍博士認(rèn)為：“理性思維是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的靈魂，發(fā)展學(xué)生的思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo).”因此，有效地啟發(fā)學(xué)生進行數(shù)學(xué)思考，成為落實核心素養(yǎng)的重要抓手.

促進思維深度參與是促使學(xué)生有效地進行數(shù)學(xué)思考的主要途徑.充分考慮學(xué)生的已有知識，精心設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，發(fā)揮教師的教學(xué)智慧，處理好課前預(yù)設(shè)與課堂生成的關(guān)系，合理組織數(shù)學(xué)活動，可以提升學(xué)生的思維參與度.下面結(jié)合教學(xué)實踐，分享如何在課堂教學(xué)中，促進學(xué)生的思維深度參與.

關(guān)注學(xué)生已有的思維起點，在數(shù)學(xué)概念的生成中發(fā)展核心素養(yǎng)

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要關(guān)注知識的生長點，數(shù)學(xué)思考要重視思維的起點. 從數(shù)學(xué)知識的生長點出發(fā)，研究新問題，就是在學(xué)生思維起點的基礎(chǔ)上進行新的數(shù)學(xué)思考. 這樣的思考符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維習(xí)慣，有助于學(xué)生從思維起點走向思維深刻. 在數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，從思維起點出發(fā)，設(shè)置問題，既能快捷地將思維聚焦在數(shù)學(xué)問題的解決上，又有助于完善學(xué)生的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu). 學(xué)生從思維的“原點”到“遠點”的思維活動中，從特殊到一般，具體到抽象的思維體驗中，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

案例1：在我區(qū)新教師培訓(xùn)活動中，筆者上了一節(jié)公開課“直線的方程（2）”，教學(xué)片段如下.

師：我們知道，解析幾何是用代數(shù)的方法來研究幾何問題，我們已經(jīng)對幾何圖形中的直線進行了一定的研究.

問題1：從幾何圖形的角度，確定一條直線，有哪些方法？

生1：方法一：通過兩個點.

方法二：通過一個點和傾斜程度（斜率k）.

師：非常好，通過直線上一個點和直線的傾斜程度可以確定直線，因此，從代數(shù)的角度，我們有直線的點斜式方程和斜截式方程. 既然兩點可以確定一條直線，那么從代數(shù)的角度，已知直線上兩點P，Q的坐標(biāo)，它的直線方程又如何？

問題2：求過點P（1，2），Q（-1，4）的直線方程，有哪些方法？

生2：借助點斜式方程y-2= ·（x-1）.

生3：設(shè)所求直線y=kx+b，把兩點代入，用待定系數(shù)法求出方程.

生4：設(shè)直線上任意一點的坐標(biāo)M（x，y），根據(jù)kMP=kPQ，可得 = ，求出直線方程x+y-3=0，且點P（1，2）也在該直線上.

問題3：一般化，直線l過兩點P （x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2），則直線l的方程是什么？（學(xué)生自主探究，然后交流）

生5：（法一）y-y1= （x-x1）（*）.

生6：（法二）聯(lián)立y1=kx1+b和y2=kx2+b，但是發(fā)現(xiàn)求解比較麻煩，暫時沒有求出來. （再給學(xué)生兩分鐘用此方法計算，有學(xué)生算出來了，有學(xué)生仍然沒有算出來）

師：剛才生6的方法計算比較大，我們在計算之前可以進行一個預(yù)判，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓菀紫氲降姆椒ú⒉灰欢ê糜嬎?

生7：（法三）設(shè)直線上任意一點的坐標(biāo)M（x，y），由kMP=kPQ，得 = .

師：剛才我們得到直線方程的兩種形式，從美觀的角度，我們把方程（*）改寫為 = .

問題4： = （**）和 = （***），哪一個方程作為直線的方程更恰當(dāng)？（學(xué)生討論）

師：作為直線的方程，除了從方程的角度考慮形式上的美觀，還應(yīng)該從圖形的角度去分析.

通過討論，得出方程（**）對應(yīng)的圖形為直線l去除點P （x1，y1），而方程（***）表示的圖形為直線l，因此選擇方程（***）作為過兩點的直線方程.

問題5：你認(rèn)為兩點式直線方程不能表示哪些直線？

生8：不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線，因為方程中分母不能為0.

評析：蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修2，通過P （x1，y1），Q（x2，y2）兩點直接運用點斜式方程求出兩點式直線方程.從教材的角度看，簡潔明了;從教學(xué)的角度，它并不是學(xué)生思維的起點.如果在教學(xué)中照本宣科，就會限制學(xué)生的思維，缺乏思維的參與過程，造成知識的掌握與思維的發(fā)展不同步.

直線的兩點式方程的生成過程，學(xué)生經(jīng)歷了思維參與的三個階段：思維的“原點”，思維的“中點”和思維的“遠點”.思維的“原點”（對應(yīng)問題1）包括兩方面，一是從幾何角度研究如何確定一條直線，二是通過直線上的點和傾斜程度確定一條直線的代數(shù)刻化. 思維的“中點”（對應(yīng)問題2）是已有的求直線方程的三種方法，是學(xué)生推導(dǎo)兩點式方程的方法鋪墊;思維的“遠點”（對應(yīng)問題3、問題4、問題5）是點斜式方程的一般形式的生成、辨析和理性認(rèn)識. 本設(shè)計從幾何中兩點確定一條直線出發(fā)，自然過渡到“求過兩點P（1，2），Q（-1，4）的直線方程”，再過渡到“求過兩點P （x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2）的直線方程”. 兩次過渡分別是思維的“起點”到“中點”，“中點”到“遠點”的自然發(fā)展. 在此思維活動中，學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般的思維過程，正是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的孕育過程. 問題3的法二計算相對較大，讓學(xué)生進行計算方法的預(yù)判和合理選擇，使得數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的發(fā)展在課堂中找到著力點;問題4和問題5的設(shè)置讓學(xué)生從理性的角度認(rèn)識直線的兩點式方程，讓思維走得更深、更遠.

設(shè)計驅(qū)動學(xué)生思維的問題，在數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)中提升核心素養(yǎng)

問題是數(shù)學(xué)的心臟，新課標(biāo)要求：“創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考與交流.” 好的問題能觸動思維的神經(jīng)，驅(qū)動學(xué)生思維，促使學(xué)生主動參與，積極思考. 驅(qū)動思維的問題可以使學(xué)生快速地將新的學(xué)習(xí)任務(wù)融入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，積極地探索數(shù)學(xué)知識間相互關(guān)聯(lián)，用已有的知識解決新問題，進而促進數(shù)學(xué)內(nèi)容的主動建構(gòu). 在數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)過程中，設(shè)計驅(qū)動思維的問題，讓學(xué)生在深度參與的思維活動中，孕育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識向數(shù)學(xué)素養(yǎng)的轉(zhuǎn)化.

案例2：“兩角和與差的余弦”的推導(dǎo)過程，教學(xué)片段如下.

如圖1，點P繞點O在半徑為1的圓O上運動，點O為定點. 同時，點Q繞點P在半徑為1的圓P上運動，已知P，Q兩點以相同的角速度按逆時針方向運動，且PQ⊥OP.

圖1

問題1：點Q的運動如何刻畫？

（讓學(xué)生思考，學(xué)生容易想到建立坐標(biāo)系，但整個問題獨立完成有一定困難，在教師的引導(dǎo)下師生共同完成）

生1：（法一）以點O為原點建立直角坐標(biāo)系，設(shè)∠POx=x，則P（cosx，sinx），由于PQ⊥OP，作PM∥x軸，交圓P于點M，則∠QPM=x+ ，但點Q的坐標(biāo)很難表示，因為點P不在原點.

師：能否對P，Q兩點進行平移，使得點P移到原點？

生（眾）：移了以后位置就變化了.

師：有沒有辦法使得平移以后與原來表示同樣的含義？

生2：考慮向量，向量 =cosx+ ，sinx+ ，則 = + =（cosx-sinx，cosx+sinx），則Q（cosx-sinx，sinx+cosx）.

師：處理得非常好，由此我們可以得到點Q的橫、縱坐標(biāo)分別是x的函數(shù).請大家思考，在剛才的過程中，最關(guān)鍵的步驟是什么？

生：引進向量 ，進而所有的坐標(biāo)問題都轉(zhuǎn)化為向量的問題.

此時，生3舉手示意.

生3：（法二）連接OQ可得∠OQx=45°，則有∠QOx=x+45°，在等腰直角三角形OPQ中，OQ= ，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得Q（ cos（x+45°）， sin（x+45°））.

師：非常好，從上面兩種方法，你能得到什么等量關(guān)系？

生3：可得 cos（x+45°）=cosx-sinx， sin（x+45°）=cosx+sinx.

師：變形，可以得到cos（x+45°）= cosx- sinx，這說明cos（x+45°）可以用x的三角函數(shù)和45°的三角函數(shù)來表示. 接下來，我們研究cos（α-β）與α，β的三角函數(shù)值的關(guān)系.

問題2：cos15°的值是多少？

（小組討論，每組派代表交流）

組1代表：cos15°=cos（45°-30°），在單位圓中作出45°，30°的終邊，接下來暫時還沒有想出來如何解決，然后我們又嘗試作出了15°角的終邊，但沒能解決這個問題.

組2代表：（在組1的基礎(chǔ)上補充）45°，30°角的終邊分別與單位圓交于P1，P2，則P1（cos45°，sin45°），P2（cos30°，sin30°），那么 · =cos45°cos30°+sin45°sin30°;又根據(jù)數(shù)量積的定義， · = · cos∠P1OP2=cos15°. 結(jié)合上面兩個式子，可得cos15°=cos（45°-30°）=cos45°·cos30°+sin45°sin30°.

組3代表：與組2相同的辦法，cos15°=cos（60°-45°）=cos60°cos45°+sin60°sin45°.

評析：本節(jié)課的難點在于從已有的知識體系中想到單位圓和向量，通過向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式. 解決了求cos15°的問題，對于一般情況cos（α-β）則不是教學(xué)的難點. 為了幫助學(xué)生思考，從思維驅(qū)動的兩個層次設(shè)計兩個問題.思維驅(qū)動的第一層次是思維喚醒.設(shè)置問題1，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下師生共同完成. 在此過程中，喚醒學(xué)生頭腦中已有的運用向量和單位圓解決問題的方法，為問題2的解決提供知識和方法的鋪墊.思維驅(qū)動的第二層次是思維聚焦. 設(shè)置問題2，聚焦在cos15°的值的求解上. 學(xué)生想到轉(zhuǎn)化為熟悉的45°和30°，是思維的嘗試;想到單位圓是問題1的活動經(jīng)驗的遷移;想到向量的數(shù)量積是在問題1的解決過程中用向量處理三角問題的活動體驗和已有的向量數(shù)量積的知識在學(xué)生頭腦中進行融合而產(chǎn)生的具有一定創(chuàng)造性的思維，是思維的深度參與，也是思維過程中重要的邏輯推理.

章建躍博士認(rèn)為：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成是以數(shù)學(xué)知識為載體，以數(shù)學(xué)活動為路徑而逐步實現(xiàn)的，情境化是數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑.” 數(shù)學(xué)內(nèi)部的問題情境是重要的數(shù)學(xué)情境. 學(xué)生在問題的驅(qū)動下，主動地運用已有的向量和單位圓的知識來解決新問題，在這樣的思維活動和推理過程中，逐步發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).

順應(yīng)學(xué)生的課堂思維表現(xiàn)，在數(shù)學(xué)性質(zhì)的探究中培育核心素養(yǎng)

課堂是動態(tài)生成的，葉瀾教授說：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進的旅程，隨時都有發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定的線路而沒有激情的行程.”好的課堂需要處理好教師的思維活動與學(xué)生的思維活動之間的差異，隨時關(guān)注學(xué)生的思維表現(xiàn)，捕捉他們的思維動態(tài)，順應(yīng)學(xué)生的思維過程.在數(shù)學(xué)性質(zhì)的探究中，敏銳地挖掘?qū)W生的想法，機智地調(diào)整教學(xué)活動，才能找到推動學(xué)生思維積極參與的切入點，找到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生長點.

案例3：筆者進行的“雙曲線的幾何性質(zhì)”教學(xué)中，教學(xué)片段如下.

問題1：橢圓研究了哪些內(nèi)容？

生：定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì).

追問：研究了橢圓的哪些幾何性質(zhì)？

眾：范圍，對稱性，長軸，短軸，離心率.

問題2：（教師在黑板上畫出雙曲線的大致圖形）雙曲線 - =1（a>0，b>0）上任意一點P（x，y）的坐標(biāo)有什么范圍？

生1：算出雙曲線與x軸的兩個交點坐標(biāo)，再觀察圖形，可得x≥a或x≤-a.

師：這個方法直觀可行.不過，圖形精確嗎？有沒有可能雙曲線上有一部分圖像在-a

生1：應(yīng)該沒有吧（略有猶豫）.

師：既然從圖像不能精確地說清楚，有沒有其他辦法說清楚？

生2：雙曲線的方程變形為 = +1可得 ≥1，得到x≥a或x≤-a.

師：非常好，從代數(shù)的角度，通過方程來研究.

師：y有沒有范圍限制？

生：（思考了一會兒）y可以取全體實數(shù)，沒有范圍限制.

問題3：既然y沒有范圍限制，作雙曲線圖形時，除了關(guān)注x≥a或x≤-a以外，是否可以隨意地畫圖？有沒有別的限制？

（此問題讓學(xué)生獨立思考比較困難，在老師的引導(dǎo)下，發(fā)現(xiàn)雙曲線的圖形受到直線y=± x的影響）

問題4：在第一象限內(nèi)，隨著x的增大，雙曲線的圖形遠離直線y= x還是靠近直線y= x？

眾：靠近，從圖上觀察得到.

多數(shù)同學(xué)馬上補充：圖形不一定精確，需要嚴(yán)格的理論說明.

（小組討論：如何嚴(yán)格地說明隨著x的增大，雙曲線的圖形與直線y= x越來越靠近）

通過小組討論，得出三種方法：

組1：設(shè)M（x0，y0）為第一象限內(nèi)雙曲線上任意一點，它到直線bx-ay=0的距離是d= ，根據(jù)y0= ?，化簡得d= · .

組2：過點M（x0，y0）作直線MQ垂直于x軸，與直線bx-ay=0在第一象限交于點Q，則yQ= x0，得到MQ=yQ-y0= .

組3：過點M（x0，y0）作直線MP垂直于y軸，與直線bx-ay=0在第一象限交于點P，再用類似組2的方法.

評析：本節(jié)課的開始并沒有回顧橢圓的幾何性質(zhì)的研究方法，想通過學(xué)生的回答挖掘?qū)W生原本的思維，而不是經(jīng)過教師誘導(dǎo)后的思維結(jié)果. 課前預(yù)設(shè)學(xué)生首先想到直接通過方程變形為 = +1，得 ≥1，進而求得范圍. 課堂上，學(xué)生在思考范圍問題時，首先想到的是求出雙曲線與x軸的交點，說明學(xué)生習(xí)慣于從圖形的角度直觀地思考. 運用方程研究幾何性質(zhì)是教師的思維體系，而非學(xué)生的思維體系. 教學(xué)中，沒有將學(xué)生的思維拉回到教師的預(yù)設(shè)上來，而是順應(yīng)學(xué)生的思維過程，沿著學(xué)生的思維路徑，設(shè)置追問，讓學(xué)生感受圖形可能不精確，進而自然地想到從方程的角度研究點的坐標(biāo)的范圍. 在此基礎(chǔ)上，設(shè)置問題3，讓學(xué)生思考圖形的限制范圍，進而探究出雙曲線的圖形受到直線y=± x的影響. 為了推動學(xué)生思考的進一步深入，迫使學(xué)生必須從代數(shù)的角度入手，設(shè)置問題4，思考雙曲線圖形的精確性，通過代數(shù)方法探究得到雙曲線的漸近線.

上述數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗讓學(xué)生真正地在數(shù)學(xué)體驗中感悟數(shù)形結(jié)合，對培養(yǎng)學(xué)生的理性思維有幫助. 鑒于學(xué)生習(xí)慣于從圖形的角度直觀地分析，整個過程抓住了學(xué)生課堂的思維表現(xiàn)，從學(xué)生的回答發(fā)現(xiàn)圖形本身在學(xué)生頭腦中更直觀，圖形信息更容易被提取.因此，分三步，分別從圖形中點的坐標(biāo)的范圍，圖形的整體限制范圍，圖形的精確性（分別對應(yīng)問題2、問題3、問題4）逐步完善雙曲線的精確的幾何特征. 每一步的解決都需要學(xué)生從代數(shù)角度理性地分析和思考. 這正是數(shù)形結(jié)合在課堂中真正地落地生根. 在這三步數(shù)學(xué)活動體驗中，學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)都能得到較好的發(fā)展. 更重要的是，每一步都能助推理性思維的培養(yǎng). 從課堂表現(xiàn)來看，第三步中一大部分學(xué)生已經(jīng)自覺地想到從代數(shù)角度進行嚴(yán)格地說明，這表明前兩步的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累已經(jīng)對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的孕育起到了積極的作用.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展是一個長期的過程，只有力爭每一節(jié)數(shù)學(xué)課都能讓學(xué)生真正參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中來，發(fā)揮思考的主動性，促進思維的深度參與，才能有效地積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，進而內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).