江亞波

[摘? 要] 深度教學(xué)給數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和發(fā)展提供了肥沃的土壤，文章以浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)“一元二次方程”為教學(xué)嘗試，通過(guò)教師深入地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、剖析數(shù)學(xué)過(guò)程、挖掘數(shù)學(xué)思想，以期提升學(xué)生的技能，訓(xùn)練學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 深度教學(xué);一元二次方程;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);教學(xué)策略

數(shù)學(xué)深度教學(xué)是指教師在深刻理解和把握數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過(guò)讓學(xué)生深度參與其中，以期提升學(xué)生技能、訓(xùn)練學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)的一種教學(xué)形態(tài). 它能觸及數(shù)學(xué)知識(shí)底部和本質(zhì)，探查數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，其目標(biāo)指向?qū)W生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 浙教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)下冊(cè)“2.1 一元二次方程”是系統(tǒng)認(rèn)識(shí)一元二次方程的起點(diǎn). 一元二次方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量相等關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型[1]. 產(chǎn)生、定義與表示一元二次方程的過(guò)程和蘊(yùn)含其中的抽象思想、歸納思想、符號(hào)表示思想、演繹思想，以及用一元二次方程概念進(jìn)行辨別和求二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等，對(duì)培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著重要的促進(jìn)作用. 那么，怎樣才能使基于深度教學(xué)的“一元二次方程”發(fā)揮應(yīng)有的教育價(jià)值呢？筆者在多次螺旋式加深發(fā)展的教學(xué)探索與思考基礎(chǔ)上，形成教學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行實(shí)踐并反思.

1. 以史激趣，創(chuàng)設(shè)情境

師：大家看過(guò)《九章算術(shù)》嗎？它是中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著，里面收集了許多有趣的數(shù)學(xué)小故事，今天筆者就給大家分享其中一個(gè).

問(wèn)題1（《九章算術(shù)》卷九 ）今有戶(hù)不知高廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，縱之不出二尺，斜之適出. 問(wèn)竹竿長(zhǎng)幾何？設(shè)竹竿的長(zhǎng)為x尺， 可列出方程：________.

（學(xué)生思考片刻后）

師：你是怎么將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理的？

生1：我先把門(mén)框看成一個(gè)矩形，竹竿看成一條線段，然后根據(jù)勾股定理便找到了等量關(guān)系（如圖1）.

師：這位同學(xué)回答得非常出色. 他很善于借助幾何直觀，將一個(gè)看似復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)畫(huà)圖，變得簡(jiǎn)明、形象.

問(wèn)題2有一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小3，個(gè)位數(shù)字的平方與這個(gè)數(shù)字相等，求這個(gè)數(shù). 設(shè)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字是n，可列出方程：________.

設(shè)計(jì)意圖? 作為課堂教學(xué)的前奏，這是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的首要環(huán)節(jié)，所以情境引入從幾何和代數(shù)兩個(gè)方面設(shè)置實(shí)例，讓學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)歷一元二次方程概念的產(chǎn)生過(guò)程. 尤其是問(wèn)題1的設(shè)置，融入數(shù)學(xué)史的教育，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中學(xué)生發(fā)言踴躍，既調(diào)節(jié)了課堂氣氛，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到了“寓教于樂(lè)”的效果.

2. 類(lèi)比分析，形成概念

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家觀察上述所列的兩個(gè)方程，思考它們與一元一次方程有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn).

生2：相同點(diǎn)是都是方程，兩邊都是整式，都含有一個(gè)未知數(shù);不同點(diǎn)是一元一次方程未知數(shù)的最高次數(shù)是1，而這兩個(gè)方程未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

師：好的. 上述所列方程有何共同特征？

生3：它們都含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)都是2，左右兩邊都是整式.

師：歸納得非常好！一般來(lái)說(shuō)，兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫一元二次方程.

設(shè)計(jì)意圖類(lèi)比可以激發(fā)學(xué)生的探索熱情，激活原有知識(shí)結(jié)構(gòu)新的生長(zhǎng)點(diǎn)，促進(jìn)知識(shí)遷移. 學(xué)生已經(jīng)理解并掌握了一元一次方程的概念，所以根據(jù)建構(gòu)主義理論，建立在一元一次方程的概念之上，才能有效地建構(gòu)一元二次方程的概念. 學(xué)生通過(guò)觀察、類(lèi)比以及分析、歸納，能逐步形成一元二次方程的概念.

3. 辨別歸納，統(tǒng)一形式

例1?請(qǐng)根據(jù)一元二次方程的概念，判斷下列方程是否是一元二次方程.

（前面5個(gè)小題都是讓學(xué)生一一解說(shuō)判斷的結(jié)果與判斷的依據(jù)）

師：方程（6）是一元二次方程嗎？

（大多數(shù)同學(xué)都舉起了手，筆者請(qǐng)其中一位沒(méi)有舉手的同學(xué)回答）

師：你為什么覺(jué)得這個(gè)方程不是一元二次方程？

生4：去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)后發(fā)現(xiàn)左右兩邊的2y2都被消掉了，所以它不是一元二次方程.

師：（豎起大拇指）這位同學(xué)很會(huì)思考問(wèn)題. （并進(jìn)行了必要的板演）所以該方程是一元一次方程，我們不能被它的表象所迷惑哦！現(xiàn)在我們?cè)倏捶匠蹋?）.

設(shè)計(jì)意圖從數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的角度看，經(jīng)過(guò)深度加工的學(xué)習(xí)內(nèi)容是具有挑戰(zhàn)性的，是觸及知識(shí)底部和本質(zhì)的. 該例題及幾個(gè)變式的設(shè)置，門(mén)檻低，立意高，重思維，促發(fā)展. 深度教學(xué)，既能讓學(xué)生深刻把握一元二次方程根的意義，又能為后續(xù)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，從而讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)需要教師的深度教學(xué)，應(yīng)從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，以學(xué)生的認(rèn)知水平為基礎(chǔ)，以教材內(nèi)容為載體，教一些學(xué)生“跳一跳，能夠得著”的知識(shí)，讓學(xué)生學(xué)一些既來(lái)源于教材，又高于教材的內(nèi)容. 教學(xué)中通過(guò)教師深度把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、剖析數(shù)學(xué)過(guò)程、挖掘數(shù)學(xué)思想，能讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正“落地生根”.

1. 深度理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上研究的是抽象的東西[2]. 數(shù)學(xué)課程改革強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解，因此，教師應(yīng)足夠地重視數(shù)學(xué)本質(zhì)的深刻把握. 如對(duì)例2的深度挖掘，也是基于對(duì)“一元二次方程的根”最本質(zhì)的理解與把握. 如果僅僅講完教材中的例2就草草了事，而后馬上進(jìn)入習(xí)題練習(xí)，試圖通過(guò)大量的訓(xùn)練達(dá)到對(duì)知識(shí)的理解與鞏固，那肯定是事倍功半. 在教學(xué)過(guò)程中，教師的深度教學(xué)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升有很大的幫助。

2. 深度剖析數(shù)學(xué)過(guò)程

剖析數(shù)學(xué)過(guò)程，實(shí)際上就是教師將數(shù)學(xué)的文本形式轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)家最初的思維過(guò)程，通過(guò)這樣一種“暴露”數(shù)學(xué)家艱難探索、推理過(guò)程的方式，讓學(xué)生了解到知識(shí)的來(lái)龍去脈，感悟到數(shù)學(xué)的魅力所在. 正如一元二次方程一般形式的推出過(guò)程，如果只是“蜻蜓點(diǎn)水”“一筆帶過(guò)”，那整個(gè)教學(xué)過(guò)程不僅顯得突兀，而且對(duì)提升學(xué)生的思維毫無(wú)益處. 但是當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了上述推導(dǎo)過(guò)程之后，他們就能感悟到一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般形式的必要性，并發(fā)現(xiàn)一元二次方程具有形式上的統(tǒng)一，在此過(guò)程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)也會(huì)在不知不覺(jué)間提升.

3. 深度挖掘數(shù)學(xué)思想

教師的深度教學(xué)，從學(xué)生的實(shí)際水平出發(fā)，充分挖掘教材當(dāng)中隱含的數(shù)學(xué)思想，并滲透到相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容之中，能讓學(xué)生更好地理解知識(shí)內(nèi)涵，從而有效提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 如在問(wèn)題1的解決過(guò)程中，學(xué)生首先面臨的問(wèn)題是“如何將這一實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理”. 通過(guò)教師的適時(shí)引導(dǎo)，學(xué)生意識(shí)到“可以把門(mén)框看成一個(gè)矩形，竹竿看成一條線段，然后根據(jù)勾股定理找到等量關(guān)系”. 雖然該過(guò)程比較簡(jiǎn)短，但是方程思想和轉(zhuǎn)化思想已悄然滲透;直觀想象、數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)也在慢慢提升.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]史寧中. 數(shù)學(xué)基本思想18講[M]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.