翟紅利

摘要：在解決解析幾何問(wèn)題是很遇到很復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題，這是就需要借助數(shù)形結(jié)合來(lái)解決問(wèn)題。解析幾何將形轉(zhuǎn)化為了數(shù)，完成了形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，這就是數(shù)形結(jié)合思想的一個(gè)非常重要的體現(xiàn)，另一個(gè)就是我們也需要完成數(shù)到形的轉(zhuǎn)化。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”。數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透。

關(guān)鍵詞：解析幾何;數(shù)形結(jié)合;以形助數(shù);以數(shù)輔形

在多年的教學(xué)經(jīng)歷中，我發(fā)現(xiàn)了這樣了一個(gè)現(xiàn)象：中等難度的題目，學(xué)生是能夠?qū)懗鲆恍┍匾倪^(guò)程的，但是往往因?yàn)轭}目的繁雜程度以及計(jì)算問(wèn)題而中途放棄。這類學(xué)生已經(jīng)掌握了一些數(shù)學(xué)解題的方法，但是對(duì)于數(shù)學(xué)思想的掌握還不到位，在沒(méi)有正確數(shù)學(xué)思想應(yīng)用的前提下，解題就變得索然無(wú)味，從而使學(xué)生喪失了解題的樂(lè)趣，阻斷了學(xué)生繼續(xù)研究的動(dòng)力。因?yàn)榻馕鰩缀问怯么鷶?shù)方法去解決幾何問(wèn)題，很多學(xué)生認(rèn)為解析幾何就是算，所以上述現(xiàn)象更加嚴(yán)重，為了解決這一現(xiàn)象，我們就來(lái)研究一下解析幾何中非常常用的一個(gè)數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合。

在解析幾何創(chuàng)立以前，幾何與代數(shù)是彼此獨(dú)立的兩個(gè)分支。解析幾何的建立第一次真正實(shí)現(xiàn)了幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合，使形與數(shù)統(tǒng)一起來(lái)，這是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次重大突破。解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法 來(lái)研究幾何問(wèn)題，基本方法是坐標(biāo)法。就是通過(guò)坐標(biāo)把幾何問(wèn)題表示成代數(shù)形式，然后通過(guò)代數(shù)方程來(lái)表示和研究曲線。高中階段主要研究的是平面解析幾何。除研究直線的有關(guān)性質(zhì)外，主要研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關(guān)性質(zhì)。解析幾何將形轉(zhuǎn)化為了數(shù)，完成了形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，這就是數(shù)形結(jié)合思想的一個(gè)非常重要的體現(xiàn)，另一個(gè)就是我們也需要完成數(shù)到形的轉(zhuǎn)化。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”。數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對(duì)象，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透。

數(shù)形結(jié)合的思想有兩方面，一方面是“以數(shù)助形”即在解決問(wèn)題時(shí)通過(guò)圖形的直觀幫助解題;另一方面是“以形解數(shù)”即在解決問(wèn)題時(shí)通過(guò)數(shù)的計(jì)算解決幾何問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)與形巧妙結(jié)合。研究數(shù)學(xué)的給出條件與所要解答問(wèn)題的關(guān)系，分析其中的代數(shù)意義和幾何的直觀，使數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合，是數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)。數(shù)形結(jié)合思想汲取了代數(shù)和幾何方法的優(yōu)點(diǎn)，在學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)應(yīng)用，在解析幾何中的很多題目中都得到了體現(xiàn)。 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想首先在解析幾何部分要掌握一些曲線的代數(shù)特征，在分析具體數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要分析其中所包含的代數(shù)問(wèn)題和幾何問(wèn)題兩個(gè)方面，然后設(shè)出合理的參數(shù)，建立相應(yīng)的關(guān)系，做好數(shù)量與圖形之間的轉(zhuǎn)換，最后根據(jù)題目要求確定所設(shè)的參數(shù)。解析幾何解題過(guò)程中恰當(dāng)使用數(shù)形結(jié)合的思想通常會(huì)達(dá)到事半功倍的功效。

一、模型的類型

解析幾何是形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，我們先來(lái)總結(jié)一下解析幾何中常用的數(shù)學(xué)模型，將數(shù)和形很好的對(duì)應(yīng)起來(lái)：

把“數(shù)”對(duì)應(yīng)的“形”找出來(lái)，就能把難題化抽象為具體并能揭示隱含的數(shù)量關(guān)系。一般方法是看形思圖、見(jiàn)數(shù)想形。

二、以形助數(shù)--借助圖形的直觀理解數(shù)量關(guān)系

（一）距離型

華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。”數(shù)學(xué)的數(shù)與形是不分家的。已知點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求：的最大值和最小值。首先我們根據(jù)條件點(diǎn)P為曲線上任意一點(diǎn)，容易看出此曲線為以，為半徑的圓。而表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以需要借助“形”根據(jù)圖像可知設(shè)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則 最大值為，最小值為。

根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相適應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來(lái)，并充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問(wèn)題得到解決。比如方程表示的曲線是_____

分析：直接化簡(jiǎn)較繁！如能聯(lián)想到點(diǎn)到直線的距離公式，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，則簡(jiǎn)潔明了。

原方程可化為：即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等方程表示的曲線是拋物線。

（二）斜率型

畢達(dá)哥拉斯說(shuō)過(guò)“在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們?cè)趺粗朗裁??！庇行r(shí)候通過(guò)題意直接分析題求解時(shí)很不直觀，不能直接找到突破口;或者求解時(shí)計(jì)算量很大、很費(fèi)時(shí)間;或者有時(shí)根本就無(wú)法求解。這個(gè)時(shí)候就要求我們學(xué)會(huì)分析轉(zhuǎn)化題意的能力了，因此恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想就顯得很有必要了，靈活的運(yùn)用屬性思想不僅可以化解題目難度，還可以做到快、準(zhǔn)等意想不到的收獲。

比如，已知點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求：的最大值和最小值.

分析：看成點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，有圖像可知直線與圓相切是分別取到最大值和最小值。范圍為。

（三）Ax+By截距型

許多題目通常起點(diǎn)都比較大，給人一種難度較大，比較繁瑣的感覺(jué)，若我們只是從題干一味琢磨，想直接從已知條件推出結(jié)果，往往等待我們的就是死胡同。但我們?nèi)羰悄軌蛞罁?jù)題意，用圖形等其他方式把題意表達(dá)出來(lái)，然后再通過(guò)觀察圖形來(lái)找出問(wèn)題的突破口，有時(shí)會(huì)找到意想不到的收獲，甚至有時(shí)會(huì)享有一種頓悟后求解的喜悅感。

已知，求的取值范圍。

分析：此題直接求解較難，數(shù)形結(jié)合聯(lián)想直線的截距。結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系即可求?？煽醋餍甭蕿?，過(guò)半圓上點(diǎn)的直線在軸上的截距，由圖可知：

（四）圓錐曲線型

已知點(diǎn)在拋物線上，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（?）

分析： 點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離之和取得最小值時(shí)， 點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和也取得最小值，這樣就可以把點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)為到焦點(diǎn)的距離求出. 點(diǎn)在拋物線的外部，要使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸的距離之和取得最小值，根據(jù)拋物線的定義知，須使點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小，即三點(diǎn)共線時(shí)最小. 由斜率公式得，所以的方程為，

解方程組得，點(diǎn)，故選A.

四、滲透數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)反思

實(shí)施數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)以來(lái)，讓我深深體會(huì)到：強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是提高學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)的有效途徑。解題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合，思想不僅形象易懂，而且可以幫助學(xué)生克服思維定勢(shì)，學(xué)生還可以進(jìn)行大膽合理的想象，不拘泥于教師的解題模式。使之前計(jì)算繁瑣的題目變得簡(jiǎn)單，極大的提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。因此，我們應(yīng)該抓住數(shù)形結(jié)合的解題契機(jī)：（1）在審題時(shí)與解題前，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法勾畫(huà)題目大意，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，確定解題思路，做到胸有成竹，從而有條不紊地解題。（2）在解題過(guò)程中，通過(guò)適當(dāng)轉(zhuǎn)換變形后，運(yùn)用數(shù)形結(jié)的思想方法調(diào)整解題背景。利用數(shù)形結(jié)合思想能優(yōu)化解題思路，把問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)和諧統(tǒng)一之美。代數(shù)中的“楊輝三角”和幾何中的“黃金分割”都是數(shù)學(xué)中的和諧統(tǒng)一美的典例。和諧統(tǒng)一的數(shù)形結(jié)合可以使解析幾何復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單話，抽象問(wèn)題具體化，讓學(xué)生重拾對(duì)解析幾何的信心。而且數(shù)與形的巧妙結(jié)合能使學(xué)生從邏輯推理中領(lǐng)略到數(shù)形和諧統(tǒng)一美的神韻。

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