劉瑞紅

摘?要：本文以《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系》為例，探索深度學習理念下發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的課堂教學.從研究關(guān)系、探索發(fā)現(xiàn)到結(jié)合最近發(fā)展區(qū)的知識生成，從題組選擇到歸納反思，不斷加深對知識的主動理解.緊扣深度學習理論，重視數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展、形成和理解的過程性教學，通過問題鏈引導學生探究發(fā)現(xiàn)式學習，幫助學生強化歸納猜想、數(shù)學抽象的意識，形成數(shù)學建模的自覺，培養(yǎng)嚴謹推理的習慣，提升解決數(shù)學問題的綜合能力。

關(guān)鍵詞：深度學習理論;數(shù)學核心素養(yǎng);數(shù)學思維

1?深度學習理論的內(nèi)涵

學習是學習者經(jīng)過一定特殊的、有效的練習所出現(xiàn)的認知、動作技能和態(tài)度情感的變化，這種變化是長期的，通過后天習得的，可分為淺層學習和深度學習，其中深度學習更注重理解和應用，強調(diào)學習者結(jié)合已有的知識結(jié)構(gòu)和個人經(jīng)驗，在理解的基礎(chǔ)上主動地、批判性地學習新的知識.從本質(zhì)上看，深度學習是一種主動的、探究式的、理解性的學習方式，要求學生能夠主動地進行知識建構(gòu)、有效遷移應用和有關(guān)問題的解決.因此，教師在教學中引導學生開展深度學習，對于發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，提升學生的數(shù)學學習興趣和思維能力有積極的促進作用，值得一線教師在教學實踐中不斷探索.

2?數(shù)學核心素養(yǎng)的內(nèi)涵

教育部公布的《中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)（征求意見稿）》中提出，數(shù)學核心素養(yǎng)包含了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析六個方面.數(shù)學課堂是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)，發(fā)展學生數(shù)學思維的有效載體，在數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展、形成和理解的過程中，可以幫助學生強化數(shù)學抽象的意識，形成數(shù)學建模的自覺，培養(yǎng)嚴謹推理的習慣，提升解決數(shù)學問題的能力.在數(shù)學課堂上，以發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)為目的的深度學習，更加有利于學生基于數(shù)學知識，注重內(nèi)在聯(lián)系的知識建構(gòu)，獲得主動運用數(shù)學思想方法去研究問題的能力，即學會“用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學語言表達世界，用數(shù)學思維思考世界”.

3?深度學習發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的教學實踐

章建躍認為：“為了落實核心素養(yǎng)，應該結(jié)合教學內(nèi)容解讀核心素養(yǎng)，并把核心素養(yǎng)轉(zhuǎn)化為與數(shù)學教學內(nèi)容緊密結(jié)合的教學目標.”在教學中，教師應深入挖掘數(shù)學教學內(nèi)容的價值，弄清楚知識的發(fā)生、發(fā)展和延續(xù)，先通過追本溯源，找到學習內(nèi)容與學生已有知識之間的聯(lián)系，找到探究發(fā)現(xiàn)的切入點，然后通過設(shè)置數(shù)學情境，一步步引導學生主動地進行知識建構(gòu)，發(fā)展學生的數(shù)學思維，這樣才能更好地結(jié)合課堂教學落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

3.1?從研究關(guān)系發(fā)展數(shù)學學科思維

在本節(jié)習題課教學中，教師沒有采用直接讓學生去算平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系的方式來發(fā)現(xiàn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，也沒有從三角函數(shù)線的研究直接證明，而是設(shè)計了開放性的探索問題，引導學生用研究數(shù)量關(guān)系的基本思路，嘗試去主動發(fā)現(xiàn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，教學生數(shù)學學習的方法，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).

問題1?觀察下列三組三角函數(shù)值，你能發(fā)現(xiàn)同角的三個三角函數(shù)之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？

教師引導學生回憶，我們經(jīng)常用運算來研究數(shù)量關(guān)系，而我們熟悉的運算就是加、減、乘、除、平方和、平方差，你能通過這些運算去研究一下，每一行的三個三角函數(shù)值之間有什么聯(lián)系嗎？

【設(shè)計意圖】運用深度學習理論，創(chuàng)設(shè)學生主動探究的數(shù)學情境，教學生用高中研究數(shù)量關(guān)系的基本思路進行開放性探究，由特殊到一般，歸納猜想同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，發(fā)展學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).課堂上通過小組合作交流和同伴互助學習，促使同學們在這個探究過程中都有收獲，根據(jù)歸納、推理和猜想，發(fā)現(xiàn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，然后教師引導學生發(fā)現(xiàn)，通過簡單運算得出的同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，而其他運算關(guān)系都是可以由基本關(guān)系式變形得到的.在這個過程中，關(guān)注學生的研究成果，及時給予肯定，并進行分享和展示，提升學生的學習參與度和學習興趣.通過這樣的探究性學習，不斷強化學生的數(shù)學學科思維，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

3.2?從最近發(fā)展區(qū)找到知識的內(nèi)在聯(lián)系

問題2?你能用所學的知識證明你的猜想嗎？你會聯(lián)想到哪些知識？

【設(shè)計意圖】運用深度學習理論中的最近發(fā)展區(qū)理論，啟發(fā)學生注重新舊知識的聯(lián)系，將所學知識納入已有的知識體系，不斷優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu).聯(lián)系任意角三角函數(shù)的定義，借助單位圓中的三角函數(shù)線，從數(shù)形結(jié)合的角度直觀感知，然后嚴格證明同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.請學生運用數(shù)形結(jié)合的方法對猜想進行說理證明，完成對同角三角函數(shù)基本關(guān)系的第一次認識.通過對軸線角的研究，發(fā)展學生思維的嚴謹性，學生探索獲得同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系，教師引導完善，完成教學重點.探究和證明的過程是學生體驗、認知和內(nèi)化知識和思想方法的過程，同時也培養(yǎng)學生解決問題的數(shù)學思維，發(fā)展學生邏輯推理的核心素養(yǎng).

問題3?當角α的終邊與坐標軸重合時，等式也成立嗎？兩個等式適用的范圍是什么？

【設(shè)計意圖】學生經(jīng)過共同分析、合作交流，得出同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.教師板書課題并分析同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，體會數(shù)學中變與不變，無限與有限之間的辯證聯(lián)系，感受數(shù)學的美.

問題4?請判斷下列等式是否成立？你能談?wù)剬Α巴恰钡睦斫鈫幔?/p>

【設(shè)計意圖】通過概念辨析，強化學生對同角三角函數(shù)基本關(guān)系式結(jié)構(gòu)的認知，教師給出從數(shù)到字母再到式子的變化，加深學生對同角的認識.教師引導學生歸納出“同角”的兩層含義：一是角相同，二是對任意有意義的角，基本關(guān)系式都成立.將同角三角函數(shù)基本關(guān)系的研究從推導證明過渡到研究本質(zhì)，由感性認識上升到理性認識，完成對同角三角函數(shù)基本關(guān)系的第二次認識，加深對“同角”含義的理解，突破教學難點.在同角三角函數(shù)基本關(guān)系的發(fā)現(xiàn)過程中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，感受數(shù)與形的完美統(tǒng)一.通過對同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的結(jié)構(gòu)分析，體會變與不變，無限與有限之間的辯證聯(lián)系，感受數(shù)學公式的結(jié)構(gòu)美，獲得美好的學習情感體驗.

3.3?以素養(yǎng)為導向的題組設(shè)計

根據(jù)建構(gòu)主義和深度學習的理論，任何知識的探究源頭來源于“問題”，在課堂教學中，創(chuàng)設(shè)問題情境還包括選擇適合的題組來促進學生思維和能力的提升.課堂知識內(nèi)容的設(shè)計是促進深度學習的根本，內(nèi)容設(shè)計得詳略得當，有的放矢才能提升知識的內(nèi)在吸引力，而題組設(shè)計更有利于學生對知識變化發(fā)展的認知，通過知識的內(nèi)在聯(lián)系和發(fā)展，引導學生在解決問題中自然而然地進行歸納和總結(jié)，發(fā)展學生的核心素養(yǎng).讓學生真正參與進來，是促進深度學習的外在動力，因此一方面習題的選擇應該具有問題性、開放性，另一方面借助題組的變式，加強知識與方法之間的關(guān)聯(lián)性，可以發(fā)展學生的數(shù)學思維和核心素養(yǎng).

【設(shè)計意圖】深度學習強調(diào)學習者結(jié)合已有的知識結(jié)構(gòu)和個人經(jīng)驗，主動建構(gòu)新知識與原有知識之間的聯(lián)系.例題1的設(shè)置以同角三角函數(shù)的基本關(guān)系為基礎(chǔ)，以方程為核心思想，旨在幫助學生從方程的角度認識同角基本關(guān)系，明確“知一求二”的基本方法，進而從正向以方程滲透消元思想，逆向以“齊次分式”結(jié)構(gòu)的觀察，探索出“弦化切”的適用情況和技巧.通過例題及變式的層層深入，引導學生聯(lián)系已有的數(shù)學知識、數(shù)學思想方法，形成不同的解題方法，培養(yǎng)學生邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

問題5?觀察分式的結(jié)構(gòu)特點，想一想，什么樣的式子可以使用構(gòu)造法來完成弦化切？

【設(shè)計意圖】深度學習發(fā)生在教師設(shè)置的數(shù)學情境中，教師有效的引導，有利于學生思維的發(fā)展和核心能力的提升.三種解題方法有利于學生結(jié)合知識的最近發(fā)展去主動建構(gòu)和完善解題思維，將多種方法融會貫通，提升數(shù)學思維能力.避免盲目地解題練習，而讓知識和解題方法的產(chǎn)生水到渠成，更有利于發(fā)展學生的邏輯推理能力和數(shù)學運算能力.變式練習使得學生對商數(shù)關(guān)系的作用和同角三角函數(shù)中的“弦切互化”有了更深層次的思考和認識.教師可以追問，一定要是一次的齊次分式嗎？如果是二次的齊次分式行不行？結(jié)合變式，學生探索出應該“同時除以cos2α（cos α≠0）”來構(gòu)造“弦化切”？

題組式的題目設(shè)計有利于學生開展深度學習，對知識的聯(lián)系比單純練習再總結(jié)，體會更深刻，知識的內(nèi)化效果好，有利于學生獲得成功的學習體驗.教師再給出變式5，將問題轉(zhuǎn)化成弦的二次整式，讓學生再分析是否可以用構(gòu)造法完成“弦化切”，又延伸出“1”的恒等變換，培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想，也讓學生感受到數(shù)學知識運用的巧妙.

例2.化簡（1+tan2α）·cos2α.

【設(shè)計意圖】深度學習理論重視學生的自主學習，對于學生可以自主完成的內(nèi)容，教師不需要講也不用花費過多的時間，該例題由學生獨立完成，然后講解思路分析和做法，讓學生跳一跳可以夠到果子.教師需要引導學生對三角函數(shù)化簡進行歸納總結(jié)，加強知識與方法之間的聯(lián)系，使學生的數(shù)學運算能力獲得提升.

4?實踐反思

深度學習理論在數(shù)學課堂教學中的應用，首先需要老師樹立學習觀和教學觀，精心準備才能保證教學活動的順利開展.充分挖掘教學內(nèi)容對核心素養(yǎng)培養(yǎng)的價值，根據(jù)課標的要求，在每一節(jié)數(shù)學課中貫徹落實核心素養(yǎng)的培養(yǎng).深度學習理論能夠很好地幫助學生建立知識之間的聯(lián)系和優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu).知識點的拓展要有度，能夠讓學生理解和接受，獲得積極的學習體驗，拓展延伸要根據(jù)學生的實際情況來制定教學計劃.通過合作學習可以幫助不同程度的學生獲得自己的提升，同時構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，對于提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和優(yōu)化數(shù)學認知結(jié)構(gòu)有積極的作用.

在課堂教學中，還可以再進行優(yōu)化的是：給學生更多自主學習的空間，增加一些動手實踐和操作，通過調(diào)整教學形式，讓課堂多一些趣味，這樣學生學習的積極性會更高.在學習過程中，師生是合作互助的關(guān)系，多些互動交流會促進建立和諧的師生關(guān)系，教師對于學生過程性的表現(xiàn)，要及時給予積極的反饋，肯定學生的努力和取得的進步，對于學生提出的問題，要幫助學生尋求解決辦法，鼓勵學生不斷進步，這樣學生也會更積極努力地參與到教學活動中來，在尋求答案的過程中，學生的核心素養(yǎng)得到了鍛煉.

實踐證明，基于深度學習理論發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)是有效的，值得一線教師不斷鉆研，在積極踐行中，總結(jié)出行之有效的做法并推廣，使學生在數(shù)學學習中獲得更多的數(shù)學能力提升.新時代需要的人才是具備良好的學習能力，能夠不斷提升自己，解決實際問題，同時又富有想象力和創(chuàng)造力，能與他人交流合作并迅速接受新知識和利用新技術(shù)的高素質(zhì)人才，這些都要求我們能夠終身學習和深度學習.在新形勢下，我們需要不斷優(yōu)化教學方式，通過深度學習不斷加強對學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)、提高學生的綜合素質(zhì).

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