邢秀文 馮炎青 沈洋

摘 要：根據(jù)當前社會狀況以及應用型工科學生的需求，制定了一套數(shù)學物理方法課程的內(nèi)容體系以及講解方法，包括復變函數(shù)與積分變換部分、數(shù)學物理方程兩部分，適合三本院校教師參考。

關鍵詞：復變函數(shù)；積分變換；數(shù)學物理；課程建設

1、課程建設的意義

我國現(xiàn)行的數(shù)學物理方法課程包含復變函數(shù)與積分變換、數(shù)學物理方程兩大模塊。該課程是物理類專業(yè)的重要課程，是銜接普通物理與理論物理的重要紐帶。該課程的學習涉及到大量的關聯(lián)知識，包括高等數(shù)學、力學、電磁學、交流電路分析等，具有高度的抽象性，是一門公認的難學的課程。

隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，整個社會關注的焦點逐漸由科學技術向經(jīng)濟金融轉變，大學作為社會的一部分，也在經(jīng)歷著這樣一個過程。這一轉變最具體的表現(xiàn)就是理工科專業(yè)的熱度逐漸下降，經(jīng)濟管理金融等專業(yè)變得異?；鸨?。即便是理工類專業(yè)的在讀學生，對專業(yè)知識的興趣也在逐年下降。這直接導致了數(shù)學物理類課程的課時逐漸減少，難度很大的數(shù)學物理方法課程在很多學校甚至已經(jīng)消失。在這樣的背景下，如何改革傳統(tǒng)的數(shù)理方法課程體系，使之適合現(xiàn)階段應用型工科專業(yè)的學生特點，就變得尤為重要。

2、課程的開設情況

北京理工大學珠海學院是一所三本層次的獨立本科院校，開設數(shù)理方法課程的專業(yè)有：電子科學與技術、通信工程、信息工程、自動化、電氣工程及其自動化、應用物理學。上述專業(yè)因為涉及到電信類的專業(yè)課程，因此目前都設置了復變函數(shù)與積分變換的教學內(nèi)容。信息工程專業(yè)會涉及到無線電與雷達等后續(xù)專業(yè)課，早年曾經(jīng)開設過數(shù)學物理方程，后來因為難度大而停止。只有應用物理學專業(yè)堅持開設完整的數(shù)理方法課程。

上述理工科專業(yè)在學習數(shù)理方法類課程之前，都已經(jīng)學習了11學分的高等數(shù)學。從考試成績反饋的信息可以發(fā)現(xiàn)，學生對于一元微積分掌握的很好，對常微分方程、冪級數(shù)與傅里葉級數(shù)部分掌握的稍差，多元微積分與場論掌握很差。從多年的教學經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學生對數(shù)學類課程的理解上限就是高等數(shù)學，對于更高層次的數(shù)理方法很難透徹理解。

3、對數(shù)理方法課程的要求

從筆者了解的情況來看，我校各個專業(yè)對數(shù)理方法的內(nèi)容要求都有所不同。下面分別闡述：

1）通信類專業(yè)，后續(xù)的《信號與系統(tǒng)》課程基本就是積分變換的延續(xù)，尤其是對頻譜概念要求很高；后續(xù)的《電磁場與電磁波》課程對數(shù)理方程中的泊松方程和波動方程要求很多，而對于熱傳導方程基本無需求。

2）自動化類專業(yè)，在其后續(xù)的《自動控制原理》課程中，大量應用積分變換和極點的概念來研究線性控制系統(tǒng)。

3）應用物理學專業(yè)，主要培養(yǎng)的是無損檢測方向，后續(xù)課程涉及到少量信號處理的知識，要求了解頻譜的概念；其后續(xù)的《聲學》課程對常微分方程和波動方程有較高的要求；后續(xù)的《渦流檢測》以及《磁粉檢測》涉及到一些波動方程與泊松方程。

4、復變函數(shù)與積分變換部分的內(nèi)容設計

按照本文前面的描述，這部分內(nèi)容的終極目標是讓學生理解頻譜的概念；理解極點的概念；理解積分變換在求解線性微積分方程中的應用，從而了解積分變換在線性系統(tǒng)中的應用。下面我們從課程目標倒推我們需要講授哪些概念：

1）為了學習傅里葉變換與拉普拉斯變換，需要復習高數(shù)中的傅里葉級數(shù)，需要學習一些復積分的知識。

2）為了理解拉式逆變換的積分公式，需要學習留數(shù)定理。

3）為了學習留數(shù)定理，需要了解復變函數(shù)以及復變函數(shù)的洛朗展開。

4）所有涉及復變函數(shù)、復級數(shù)、復積分的知識，都需要復數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開方運算。

基于上述由課程目標倒推所得到的結論以及學生的高等數(shù)學基礎，我按照24-32課時設計復變函數(shù)部分的教學大綱如下：

1）復習復數(shù)的概念，掌握復數(shù)的加、減、乘、除、乘方、開方運算。

2）掌握復變函數(shù)的概念、復變函數(shù)的導數(shù)、解析函數(shù)的概念、奇點的概念。

3）理解復積分的含義，以及連通區(qū)域的柯西積分定理。但是不學習柯西積分公式。

4）理解復函數(shù)的冪級數(shù)展開。由于不學習柯西積分公式，所以不能用它導出復函數(shù)的級數(shù)展開。復函數(shù)的級數(shù)展開應該將高等數(shù)學的泰勒展開公式直接拿來應用，并簡單的說明差異。

5）了解復函數(shù)的洛朗展開。不應該證明洛朗展開的定理，而是從冪級數(shù)展開直接拓展。例如通過sin（z）的級數(shù)展開，直接寫出sin（z）/z、sin（z）/z2等函數(shù)的洛朗展開，進而說明洛朗級數(shù)的形狀特點，以及奇點的分類。只要求學生了解函數(shù)在奇點鄰域內(nèi)可以展開為洛朗級數(shù)以及奇點的分類，不要求學生能夠做具體函數(shù)的洛朗展開。

6）在了解洛朗級數(shù)的形狀之后，理解確定奇點類型的幾個規(guī)則。

7）通過將復函數(shù)的圍到積分轉化為洛朗級數(shù)的圍到積分，得到留數(shù)的概念以及留數(shù)定理。理解計算留數(shù)的幾個規(guī)則。

8）復習傅里葉級數(shù)，理解頻譜分解的思想。

9）理解傅里葉變換的定義，以及頻譜分解的思想。能夠計算最簡單函數(shù)的傅里葉變換。

10）理解拉普拉斯變換的定義，能夠計算簡單函數(shù)的拉氏變換。

11）理解拉氏變換的性質，能夠通過查表方法計算拉式逆變換。

12）理解拉氏變換求解一階振動系統(tǒng)和交流電路。

5、數(shù)學物理方程部分的內(nèi)容設計

這部分內(nèi)容更為龐雜，筆者還沒有特別滿意的處理方式。暫且提出初步的想法，與各位同行探討：

1）重點講述波動方程的建立，次重點講授泊松方程的建立，不講授熱傳導方程。要求學生理解方程的建立過程，不要求學生自己建立方程。

2）闡述方程的定解條件，要求學生理解，不要求學生自己書寫。

3）重點講授行波法，突出強調波的“傳播”思想，讓學生能夠辨認左行波、右行波、波速這三個要素。

4）直接寫出三維各向同性的波動方程，學生應該能夠辨認出各向同性發(fā)散波與各向同性匯聚波。

5）重點講授一維齊次弦振動方程的求解，與力學中的駐波做對比，與傅里葉分解做對比，強調特征頻率的概念，強調諧波疊加的概念。不講授非齊次方程，不講授非齊次邊條件。

6）講授二維圓域內(nèi)的拉普拉斯方程求解，寫出其通解的級數(shù)形式，要求學生能夠根據(jù)徑向邊界條件確定疊加系數(shù)。

7）教師演示球坐標中求解拉普拉斯方程的過程，學生需要理解軸對稱形式的方程通解，能夠根據(jù)徑向邊界條件確定疊加系數(shù)。

8）了解勒讓德函數(shù)，不要求理解生成函數(shù)以及性質。

9）教師演示柱坐標下拉普拉斯方程的求解，學生了解貝塞爾方程以及貝塞爾函數(shù)的記號。

10）教師演示波動方程的分離變量法求解，得到亥姆霍茲方程。教師直接寫出亥姆霍茲方程在柱坐標以及球坐標中的通解形式，學生了解即可。

6、不足之處與尚未解決的問題

1）從泰勒級數(shù)直接過渡到洛朗級數(shù)，學生還是有接受心理障礙，需要通過提升教學技巧來化解。

2）狄拉克δ函數(shù)還未有很簡潔的處理方法。

3）一維波動方程的行波法和分離變量法教授較為成熟，但是高維曲線坐標中的分離變量法還未有很好的處理技巧。

4）曾經(jīng)設想的用MATLAB中的工具箱DTOOLS數(shù)值求解方程，因為課時限制以及輸入邊界條件的難度，只講授過一次，沒有堅持下來。

全國教指委項目：應用型工科專業(yè)的數(shù)理方法課程內(nèi)容體系研究與實踐（JZW-15-SL-06）

參考文獻

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作者簡介：

邢秀文（1979），男，北理工珠海學院物理講師，碩士研究生，從事大學物理教學，研究聲波無損檢測以及射線無損檢測。

（作者單位：北京理工大學珠海學院 數(shù)理與土木工程學院）