王蕾

【摘 要】工程數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)課程的延伸，本文闡述了它和高等數(shù)學(xué)在理論體系上的異同，并結(jié)合對(duì)自己在教學(xué)過程中一些想法，提出對(duì)一些知識(shí)點(diǎn)的處理建議。

【關(guān)鍵詞】工程數(shù)學(xué)；復(fù)變函數(shù)；積分變換；教學(xué)方法

工程數(shù)學(xué)是高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程，是一門重要的工科專業(yè)必修課。它不僅在數(shù)學(xué)的其他分支，如常微分方程、積分方程，有著重要的應(yīng)用，還在其他科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如理論物理、流體力學(xué)等。

我校是醫(yī)學(xué)院校，針對(duì)我校生物醫(yī)學(xué)工程專業(yè)，我們?cè)趯W(xué)生大二第一學(xué)期開設(shè)了工程數(shù)學(xué)這門課程，是一門必不可少的專業(yè)基礎(chǔ)類必修課程。它為電工與電路分析、模擬電子技術(shù)、信號(hào)與系統(tǒng)等后續(xù)專業(yè)專業(yè)課學(xué)習(xí)提供了必要的數(shù)學(xué)工具，在整個(gè)課程體系中占有舉足輕重的地位和作用。因此，如何學(xué)好工程數(shù)學(xué)這門課程是非常重要的。我校工程數(shù)學(xué)計(jì)劃54學(xué)時(shí)，包括復(fù)變函數(shù)和積分變換，學(xué)時(shí)少，內(nèi)容多。在教學(xué)過程中，學(xué)生也時(shí)常反應(yīng)概念難懂、方法不易掌握、習(xí)題難做，容易與高等數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)混淆。對(duì)此，本文結(jié)合實(shí)際授課經(jīng)驗(yàn)和我校工程數(shù)學(xué)這門課程教學(xué)改革，淺談教學(xué)過程中遇到的一些問題和對(duì)一些知識(shí)點(diǎn)的處理建議。

工程數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)既有區(qū)別又有聯(lián)系。它們的研究對(duì)象都是函數(shù)，研究主線都是通過變量研究函數(shù)，從而定義極限，利用極限去研究函數(shù)的連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分。兩者的差異在于工程數(shù)學(xué)研究的函數(shù)是復(fù)變函數(shù)，高等數(shù)學(xué)研究的函數(shù)是實(shí)變函數(shù)。從實(shí)變函數(shù)到復(fù)變函數(shù)，函數(shù)的定義域與值域從實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。因此，復(fù)變函數(shù)是實(shí)變函數(shù)理論的延續(xù)和拓展，兩者的區(qū)別和聯(lián)系貫穿教學(xué)的始終，在教學(xué)過程中，通過類比的方式，利用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，理解復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的區(qū)別。例如，對(duì)許多基本概念及定義進(jìn)行理解時(shí)，使用類比法多做對(duì)比，找出相似點(diǎn)與不同點(diǎn)，加深對(duì)這些概念的理解。

1 復(fù)數(shù)的定義

一般稱（其中，x，y是實(shí)數(shù)）是一個(gè)復(fù)數(shù)。但這個(gè)概念的本質(zhì)是什么呢？類似實(shí)數(shù)可用直線上的點(diǎn)來表示，一個(gè)復(fù)數(shù)由一對(duì)有序?qū)崝?shù)（x，y）唯一確定，當(dāng)建立直角坐標(biāo)系后，平面xoy上的任意一點(diǎn)P（x，y）可以按照一定規(guī)則與一對(duì)有序?qū)崝?shù)（x，y）建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，也可以和起點(diǎn)為原點(diǎn)，終點(diǎn)為P的向量建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。因此，從幾何角度理解，復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)P或者向量來表示，也可以說復(fù)數(shù)是向量的另外一種表示方式。因此，復(fù)數(shù)的本質(zhì)應(yīng)該是向量，而不是“數(shù)”?！皵?shù)”的本質(zhì)特性是可以比較大小的，因此，可以從這個(gè)角度不難理解，復(fù)數(shù)為什么不能比較大小了。

2 復(fù)變函數(shù)的定義

復(fù)變函數(shù)是一元實(shí)變函數(shù)的直接推廣，它的定義與一元實(shí)函數(shù)的定義形式完全相同，但是復(fù)變函數(shù)的自變量和因變量都取自復(fù)數(shù)，其與兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)相對(duì)應(yīng)，因此，復(fù)變函數(shù)在幾何上就可以看成是z平面上的一個(gè)點(diǎn)集G到平面上一個(gè)點(diǎn)集的映射。因而，無法用直觀的圖形來表示函數(shù)關(guān)系，若要直角坐標(biāo)系畫出，需要四維空間，而一元實(shí)變函數(shù)在幾何上表示的是一條平面曲線。這是復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)定義上的一個(gè)不同。在向?qū)W生講解復(fù)變函數(shù)的幾何特性時(shí)，可以從簡(jiǎn)單的例子出發(fā)，例如，函數(shù)可以先介紹點(diǎn)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，然后是點(diǎn)集與點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)，如Z平面上的曲線在該函數(shù)作用下的圖像。復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)另外一個(gè)不同在于復(fù)變函數(shù)可以是多值函數(shù)，例如，開方函數(shù)可以將Z平面上的一點(diǎn)映射為平面上的兩個(gè)點(diǎn)。

3 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)

復(fù)變函數(shù)與一元實(shí)變函數(shù)的極限、連續(xù)在定義形式上相似，許多基本性質(zhì)與運(yùn)算法則也相同，但本質(zhì)上與二元實(shí)變函數(shù)一致。定理證明[1-2]，一個(gè)復(fù)變函數(shù)的極限存在充要條件是它的實(shí)部函數(shù)與虛部函數(shù)的極限都存在；一個(gè)復(fù)變函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)充要條件是它的實(shí)部函數(shù)與虛部函數(shù)在點(diǎn)是連續(xù)的。因此，研究復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)等問題可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的極限與連續(xù)問題。其次，復(fù)變函數(shù)中自變量的變化趨勢(shì)與實(shí)變函數(shù)的自變量的變化趨勢(shì)也有所不同，復(fù)變函數(shù)中自變量的變化趨勢(shì)指的是以任何方式任何路徑區(qū)域，不僅僅是左右兩個(gè)方向趨于，而實(shí)變函數(shù)的自變量的變化趨勢(shì)是指從左右兩個(gè)方向趨于。因此，復(fù)變函數(shù)的極限要求更高、更嚴(yán)格。而連續(xù)是基于極限這個(gè)基礎(chǔ)的，所以復(fù)變函數(shù)連續(xù)也要比實(shí)變函數(shù)連續(xù)要求更高。

4 解析函數(shù)

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)的一個(gè)重要研究對(duì)象。函數(shù)解析是比可導(dǎo)（可微）更強(qiáng)的一個(gè)概念，復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處解析，不僅要求在該點(diǎn)可導(dǎo)，還要求在該點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)。因此，復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)解析，一定是可導(dǎo)的，反之，不一定成立。在區(qū)域D內(nèi)每點(diǎn)都解析的函數(shù)稱為區(qū)域D上的解析函數(shù)。判斷復(fù)變函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)的充要條件是它的實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù)在這一點(diǎn)可導(dǎo)，且滿足柯西-黎曼方程。要判斷函數(shù)在這一點(diǎn)的解析性，一般只能通過定義。其次，要判斷一個(gè)復(fù)變函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的充要條件是它的實(shí)部函數(shù)和虛部函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)且在區(qū)域D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程。這里主要利用了開區(qū)域的定義，因?yàn)殚_區(qū)域每個(gè)點(diǎn)都是其內(nèi)點(diǎn)，故若函數(shù)在開區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則在D內(nèi)處處滿足上述兩個(gè)條件。因此，對(duì)于D內(nèi)任意一點(diǎn)，必存在該點(diǎn)的一個(gè)鄰域，使得函數(shù)在該鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)。故由函數(shù)解析的定義可得，函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)處解析。

5 復(fù)變函數(shù)的積分

從形式上看，復(fù)變函數(shù)的積分是實(shí)變函數(shù)定積分的一種自然推廣。但其本質(zhì)上是復(fù)平面上的，它可以與二元實(shí)函數(shù)的線積分聯(lián)系在一起。相對(duì)應(yīng)就有了柯西-古薩基本定理，在此基礎(chǔ)上，得到了一系列推廣定理如：復(fù)合閉路定理、閉路變形原理等。柯西積分公式的證明基于柯西-古薩定理。其重要性在于解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以通過其在邊界上的值通過積分得到。

綜上所述，工程數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)方法，特別是類比的數(shù)學(xué)方法。工程數(shù)學(xué)中很多問題可以通過一定的技巧轉(zhuǎn)化為高等數(shù)學(xué)的問題，很多的結(jié)論可以通過與高等數(shù)學(xué)的知識(shí)類比得到。但是，它們?cè)诟拍钌弦灿幸欢ǖ牟町?，因此，在教學(xué)過程中，要注重與高等數(shù)學(xué)知識(shí)銜接，比較和探究它們的異同，概括它們的原理，使得學(xué)生在掌握新概念的同時(shí)，領(lǐng)悟概念間的內(nèi)在聯(lián)系，從而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提高分析問題和解決問題的能力。

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[責(zé)任編輯：田吉捷]