王紅芳 邵森弟

摘 要：文章根據(jù)方格圖在教學(xué)中的使用現(xiàn)狀，分析方格圖在教材體系中的編排與分布，剖析方格圖的外在特征和內(nèi)在本質(zhì)。論述了方格圖在教學(xué)中的具體運用，數(shù)格子，自然建構(gòu)方法與思想;擺格子，無痕鏈接操作與概念;畫格子，無形融合算理與圖形;算格子，無縫對接經(jīng)典與創(chuàng)新。最后，文章列舉了格子圖在教學(xué)中的三個注意點，以期完美使用格子圖，提升教法學(xué)法，發(fā)展學(xué)生思維。

關(guān)鍵詞：方格圖;操作實驗;幾何直觀

在日常教學(xué)實踐中，學(xué)生們認(rèn)為數(shù)方格是笨方法，對這種方法不屑一顧，甚至老師們也認(rèn)為這是一種低層次的思維活動。筆者在以往的教學(xué)中，也忽略了方格圖的編寫意圖，忽視了方格圖的運用。但在現(xiàn)行教材中許多內(nèi)容的編寫都采用了方格圖，如認(rèn)識公因數(shù)和最大公因數(shù)，分?jǐn)?shù)乘除法的計算，平移和旋轉(zhuǎn)，平面圖形的面積等。專家們對方格圖的編寫不離不棄，是否意味著方格圖與課程內(nèi)容有著特殊的寓意和獨特的作用。然而，直到聽了特級教師袁曉萍老師的“平行四邊形的面積”一課 ，一系列精心設(shè)計的數(shù)方格活動，讓學(xué)生自然而然想到了剪、移、拼成長方形的方法。讓筆者對“數(shù)方格”有了全新的認(rèn)識，也引發(fā)了筆者對方格圖在現(xiàn)行教學(xué)中運用的分析與探究。

一、教材中方格圖的地位及作用

（一）教材中方格圖的分布與地位

縱觀我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教材（人教版），方格圖在“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”領(lǐng)域中經(jīng)常被采用，特別在“圖形與幾何”領(lǐng)域，格子圖的應(yīng)用幾乎涵蓋了所有平面圖形的內(nèi)容，在每個年級的教材中都有編排，并通過不同形式來呈現(xiàn)。這種呈現(xiàn)在遵循學(xué)生的認(rèn)知特點，符合內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特點的前提下，體現(xiàn)出循序漸進(jìn)、螺旋上升的編寫理念。

審視方格圖在不同年級以不同的形式呈現(xiàn)，對于學(xué)生理解概念、掌握方法、發(fā)展空間觀念有著不可替代的作用。從一年級的“位置”中的引用學(xué)生熟悉的座位排序等實物圖、初步感知方格圖的最初事物模型，到二年級的“圖形與變換”和“觀察物體”中學(xué)習(xí)軸對稱、平移時方格圖的運用，為學(xué)生描述平移的運動，定量刻畫物體的平移，提供了重要的輔助工具;從三年級中依托方格圖感受四邊形中“平行”“相等”這些概念，體會方格圖的標(biāo)準(zhǔn)與直觀，到四年級點子圖（方格圖的變式）的出現(xiàn)，由于點子圖這種只有點而缺少線的特點，為學(xué)生提供了更大的想象空間;在五年級則成了測量的重要依據(jù)，讓學(xué)生在數(shù)方格中自主探究出平面圖形面積的計算方法，最后到六年級的“數(shù)對”，感受數(shù)對與位置的一一對應(yīng)關(guān)系，有效地發(fā)展學(xué)生的空間觀。

（二）教材中方格圖的剖析與作用

方格圖是由很多邊長相等的小正方形組成的， 正方形是由點、線構(gòu)成的面。如果說點、線是一維的，那么面就是二維的，因此方格圖兼具了一維和二維的特性。從一維角度看，方格圖上的點、線，蘊(yùn)含許多特性，易與其它內(nèi)容相結(jié)合。從二維角度看，小方格就是一個單位面積，是整個方格圖的基礎(chǔ)，對于平面圖形的認(rèn)識和測量都有著非常重要的作用。

1、凸顯點線關(guān)系

方格圖上的點與點、線與線之間都有其特性。點點之間的距離都是邊長的倍數(shù)，線線之間關(guān)系更是特殊，一種是互相平行，另一種是互相垂直。學(xué)生最喜歡這種橫平豎直的參照，將圖形置于方格圖中，凸顯了點和線的位置與特點，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，理解圖形的特征?？梢哉f，方格圖是圖形與幾何教學(xué)的重要載體。

2、提供測量標(biāo)準(zhǔn)

從一維角度看，單位面積的小方格，由于邊長一定，學(xué)生借助它觀察線段的長度，很容易比較出物體或線段的長短。從二維角度看，方格圖作為測量標(biāo)準(zhǔn)，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)和歸納計算方法，更為學(xué)生理解面積單位，面積單位的個數(shù)和平面圖形面積計算方法之間的聯(lián)系起到了重要的作用。

3、積累測量方法

由于方格圖是由很多邊長相等的小正方形組成的，運用于平面圖形周長和面積的學(xué)習(xí)，不但可以幫助學(xué)生推導(dǎo)出計算方法，還可以讓學(xué)生掌握最基本的“測量”方法，使用“單位”累加來完成自己的研究，實現(xiàn)自己的發(fā)現(xiàn)。學(xué)習(xí)“周長”，使用“長度單位”進(jìn)行累加，學(xué)習(xí)“面積”，運用“面積單位”進(jìn)行累加，面積單位的累加組成圖形的總面積，對于圖形面積本質(zhì)的理解，圖形面積計算公式的推導(dǎo)，“測量”方法的習(xí)得都是至關(guān)重要的。

4、滲透對應(yīng)思想

在六年級“用數(shù)對確定位置”這一課，教材編寫了帶橫向、縱向數(shù)據(jù)的網(wǎng)格圖。其實，這是對初中知識的一種滲透，為今后學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系做孕伏。從整體上看，縱橫交錯的網(wǎng)格上的點是縱向和橫向唯一的交點。在圖中，用一對有序數(shù)來表示一個點的位置，幫助學(xué)生感受數(shù)對與位置的一一對應(yīng)關(guān)系，滲透函數(shù)思想，提升空間觀念。

二、方格圖在教學(xué)中的運用

（一）數(shù)格子，方法與思想的自然建構(gòu)

“平行四邊形的面積”這一內(nèi)容，在面積計算公式推導(dǎo)之前有一個“數(shù)方格”的活動，許多老師在處理這一活動往往只是輕描淡寫地帶過，對后續(xù)的自主探究沒有起到實質(zhì)性的引領(lǐng)作用。筆者在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)展示課上觀摩了袁曉萍老師所執(zhí)教的課，教者讓一張小小的方格紙（亦稱為單位面積卡）發(fā)揮了奇妙的作用，讓“數(shù)方格”這一活動平淡中見神奇，樸實中見豐盈，“數(shù)”出了別樣的精彩。

【“平行四邊形的面積”教學(xué)片斷】

1.引入新課

（課伊始，老師用課件在格子圖中呈現(xiàn)一個平行四邊形）

師：認(rèn)識這個圖形碼？關(guān)于平行四邊形你已有哪些認(rèn)識？

師：關(guān)于平行四邊形，你還想學(xué)習(xí)什么？今天這節(jié)課，我們就一起來研究平行四邊形的面積計算。

2.用格子圖探究面積

（1）初次數(shù)方格

師：同學(xué)們手中都有這樣一張平行四邊形紙片，你有辦法知道它的面積嗎？

師：如果一個小方格表示1平方厘米，請用數(shù)格子的方法數(shù)出平行四邊形的面積。并用筆畫一畫、標(biāo)一標(biāo)，讓人一眼看出你數(shù)的方法。（生嘗試，師巡視指導(dǎo)）

（2）匯報展示

師：你是怎么數(shù)的？

生1：我是先數(shù)整格的，有20格，再把上下不到一格的兩個兩個拼起來數(shù)的，也是4格。

生2：（用箭頭符號表示拼的過程）左右兩邊的正好拼起來是一個格子，這樣兩個兩個地可以拼成8個方格，再加上占整個的有20個方格，我這樣一共數(shù)出24個方格。

生3：把左邊的三角形移到右邊（并用同一個數(shù)字表示左右相對應(yīng)的方格），拼成長方形后再數(shù)一數(shù)是24個平方厘米。

（解讀：教師設(shè)計數(shù)出方格紙上的平行四邊形的環(huán)節(jié)，數(shù)的過程中，學(xué)生遇到問題：不滿一格怎么辦？并促使學(xué)生思考：如何把不滿一格轉(zhuǎn)化成滿格？這時，老師適時鼓勵學(xué)生用筆畫一畫，將平行四邊形的轉(zhuǎn)化成長方形這種剪拼方法呼之欲出，大部分同學(xué)已自己得出方法）

（3）再次數(shù)方格

師：誰能用拼的方法來數(shù)出它的面積。但是要注意，拼的次數(shù)越少就越能顯示出你的水平高。

（解讀：學(xué)生思維層次不同、空間想象水平有差異，拼的次數(shù)肯定有多有少，第二次拼，教師指向明確，就是要拼的次數(shù)越少水平越高，這里的活動具有挑戰(zhàn)性，成功激發(fā)了學(xué)生的戰(zhàn)斗力，盡顯方格魔力）

袁老師在《平行四邊形的面積》一課中，巧妙的運用一系列的數(shù)格子活動，讓學(xué)生自然而然的想到了剪、移、拼成長方形的方法，既使學(xué)生水到渠成地得出了平行四邊形的面積等于底乘高這一方法，又潛移默化地滲透了“轉(zhuǎn)化”這一重要的數(shù)學(xué)思想，教學(xué)設(shè)計真是妙不可言！

（二）擺格子，概念與操作的無痕鏈接

一直以來，“公因數(shù)”教學(xué)，往往以抽象、單調(diào)、乏味困擾師生。賦予“公因數(shù)”圖形的意義，既豐富了概念，豐盈了教學(xué)，又讓學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合加深理解。在“公因數(shù)”教學(xué)中運用格子圖，讓動手操作與概念理解無痕鏈接。

【“公因數(shù)”教學(xué)片斷】

1.分別用邊長9厘米和4厘米的正方形紙片鋪右邊的長方形，能正好鋪滿嗎？

（1）學(xué)生操作，交流驗證。（投影學(xué)生作品）

（2）想一想：為什么不能夠正好鋪滿呢？

生：9能整除18，9是18的因數(shù)。而9不是12的因數(shù)。

……

2.怎樣的正方形才能正好鋪滿這個長方形？

師板書：6既是18的因數(shù)，又是12的因數(shù)。6是18和12的公因數(shù)。

3.邊長3厘米、2厘米、1厘米的正方形呢？能否正好鋪滿這個長方形？請在腦中描繪，并用語言表達(dá)。同理講授。

多樣的素材，真正豐富了學(xué)生的感知;精心的設(shè)計，真正讓學(xué)生自主建構(gòu)起“公因數(shù)”的概念，并幫助學(xué)生初步理解“正好鋪滿”的本質(zhì)意義。設(shè)計操作格子圖活動，組織學(xué)生展示自己的思考過程，逐步完善對概念的理解，無痕地實現(xiàn)對“公因數(shù)”概念的建構(gòu)。

（三）畫格子，算理與圖形的無形融合

算理對于學(xué)生來說是抽象的、無形的，如何讓學(xué)生真正理解算理，數(shù)形結(jié)合不失為一種有效的方法。具有直觀形象特征的方格圖的合理使用，能將抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，把無形的解題思路具體化?！斑B除應(yīng)用題”的教學(xué)一直是學(xué)生理解的難點，將算理與畫格子結(jié)合在一起，在直觀圖示的導(dǎo)引和教師的啟發(fā)下，學(xué)生能比較容易地理解數(shù)量之間的關(guān)系，理清解題的思路，提高分析問題和解決問題的能力。

【“連除應(yīng)用題”教學(xué)片斷】

例題：有30個桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了幾個？

30÷2÷3，學(xué)生畫了下圖：

先平均分成2份，再將其中1份平均分成3小份。

②30÷3÷2，學(xué)生畫了下圖：

先平均分成3份，再將其中1份平均分成2小份。

③30÷（3×2），學(xué)生畫了下圖：

先平均分成6份，再表示出其中的1份。

教師要求學(xué)生借助長方形表示思路的方法。因為長方形是二維的，通過二維圖中的表達(dá)，讓學(xué)生很容易表達(dá)出小猴的只數(shù)、吃的天數(shù)與桃子個數(shù)之間的關(guān)系。很顯然，學(xué)生通過畫一畫的操作，借助圖形語言，借助已學(xué)過的除法知識，解決了連除應(yīng)用題的問題，從而理解了連除的意義。通過數(shù)形結(jié)合，讓抽象的數(shù)量關(guān)系、思考路徑形象地外顯了，非常直觀，宜于學(xué)生理解。

三、方格圖在教學(xué)中的注意點

格子圖作為單位面積的正方形格子，得到老師和同學(xué)們的青睞，在教學(xué)、練習(xí)過程中也大量的使用。盡管方格圖有直觀，清晰，單位面積一定，便于數(shù)數(shù)比較等優(yōu)點，但需要注意恰當(dāng)運用，切記不要事倍功半。

（一）注意適配內(nèi)容

雖然有些課的內(nèi)容使用格子圖能得到事半功倍的作用，這些內(nèi)容往往都與方格有緊密的聯(lián)系。面積教學(xué)有單位面積量的需求;平移旋轉(zhuǎn)有對垂直線段、單位刻度的需要;公因數(shù)、連除、分?jǐn)?shù)乘除法有長方形面積長乘寬兩個數(shù)相乘的呈現(xiàn)。但是更多的內(nèi)容很難與格子圖適配，如概念教學(xué)、計算教學(xué)。因此，教者要分析教材、課題內(nèi)容，選擇最適合的素材，不能為了使用而使用。

（二）注意適度操作

格子圖用于數(shù)形結(jié)合時所花的時間相對較少，但用于操作時，耗時較大，影響教學(xué)進(jìn)度。如平行四邊形的面積，大多是教師引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化得出面積方法，而格子圖則需大量時間用來操作。由此，需要教者的精密設(shè)計，適度操作，才更能讓格子圖散發(fā)光彩。

（三）注意適時提升

小學(xué)生的思維正由具體形象思維過渡到抽象邏輯思維。俗話說，數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)是鍛煉思維，發(fā)展思維，提升思維。不管是數(shù)格子，擺格子，算格子還是畫格子，都應(yīng)以落實內(nèi)容，思維提升為前提。使用格子圖這種直觀的圖形，也應(yīng)注意是否優(yōu)化教法，升華學(xué)法，提升思維。

總之，正確使用格子圖，能起到事半功倍的作用，通過直觀的手段幫助學(xué)生學(xué)習(xí)幾何初步知識，乃至數(shù)與代數(shù)知識。凸顯了空間與圖形的顯現(xiàn)特征，賦予了數(shù)與代數(shù)直觀意義，滲透了中學(xué)的函數(shù)思想。但直觀呈現(xiàn)也需要提升，具體到抽象、模糊到清晰是必然的過渡，這個過程使得空間想象力得到充分有序地訓(xùn)練，空間觀念得到有效地提升。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳敏.“三角形的面積”教學(xué)再嘗試 [J].小學(xué)教學(xué)，2012，（9）.

[2]鮑延清.打破經(jīng)典，思而解惑—談“圓面積”教學(xué)處理 [J]. 小學(xué)時代·教師，2010，（11）

[3]周海萍、朱希萍.數(shù)形結(jié)合在教學(xué)中的運用 [J].小學(xué)教學(xué)，2011，（6）.

1浙江省杭州市蕭山區(qū)臨浦鎮(zhèn)第一小學(xué)，浙江 杭州311200

2浙江省杭州市余杭區(qū)五常中心小學(xué)，浙江 杭州311100