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        對(duì)中考圖形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的探究

        2019-09-01 12:39:22鄧沛森
        讀寫算 2019年5期
        關(guān)鍵詞:常規(guī)教學(xué)思考與探索類比

        鄧沛森

        摘 要?圖形旋轉(zhuǎn)是新課標(biāo)重要的內(nèi)容之一,也是中考??嫉膬?nèi)容之一,是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。學(xué)生解題要把握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)前后哪些是不變的量,哪些是變化的量,也要結(jié)合不同背景中有關(guān)幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題題型,教師需引導(dǎo)與培養(yǎng)學(xué)生的自主探究、分析和解決問(wèn)題的能力。筆者在常規(guī)教學(xué)中,浸透旋轉(zhuǎn)思想,通過(guò)新舊知識(shí)類比,激化學(xué)生勇于思考,拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,大大提高解決圖形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的有效性。

        關(guān)鍵詞?圖形旋轉(zhuǎn);常規(guī)教學(xué);類比;思考與探索

        中圖分類號(hào):A,O421+.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1002-7661(2019)05-0147-02

        圖形與變換是新課程標(biāo)準(zhǔn)明確規(guī)定的重要內(nèi)容之一,有利于培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐與操作能力,形成空間觀念和運(yùn)動(dòng)變化意識(shí)。旋轉(zhuǎn)問(wèn)題在中考題中很常見,而且很多作為開放題,這要求考生具備扎實(shí)數(shù)學(xué)的基本功、較強(qiáng)的觀察力及綜合分析問(wèn)題的能力,解題時(shí)要切實(shí)把握幾何圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程,并注意運(yùn)動(dòng)過(guò)程中特殊位置,抓住圖形旋轉(zhuǎn)前后哪些是不變的量,哪些是變化的量。在“動(dòng)”中探求:“靜”,在“靜”中探求“動(dòng)”的一般規(guī)律.同時(shí)在平時(shí)教學(xué)中需要浸透圖形旋轉(zhuǎn)思想,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)類比,激發(fā)學(xué)生勇于思想,拓展數(shù)學(xué)思維。

        一、常規(guī)教學(xué)引入旋轉(zhuǎn)思想,促進(jìn)學(xué)生思考解題思路

        解題思路是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的突破口,學(xué)生拿到題目后,首要任務(wù)就是從題目中找到切入口,我們要在平時(shí)教學(xué)中加以應(yīng)用,將圖形的旋轉(zhuǎn)解決思想融入常規(guī)的教學(xué)中,培養(yǎng)學(xué)生解題思維。

        (一)《扇形的弧長(zhǎng)和面積》教學(xué)中,引入線段旋轉(zhuǎn)思想

        解決中考旋轉(zhuǎn)問(wèn)題,不僅需要針對(duì)性題目訓(xùn)練,在平時(shí)教學(xué)中也需引入旋轉(zhuǎn)思想,讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)圖形的由來(lái),同時(shí)將數(shù)學(xué)的代數(shù)與圖形進(jìn)行整合,提高教學(xué)的有效性。

        例1:推導(dǎo)“弧長(zhǎng)及扇形的面積”公式(如圖1)

        首先讓學(xué)生了解生成圓與扇形的由來(lái),定義:圓是由線段繞著固定一點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周而成的圖形,而扇形是線段繞著固定一點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)n度的圖形。結(jié)合圓心面積S=的公式,推導(dǎo)扇形面積公式1°的圓心角所對(duì)的扇形面積S扇形=_______。90°的圓心角所對(duì)的扇形面積S扇形,結(jié)合圓的周長(zhǎng)公式:C=2пR,推導(dǎo)弧長(zhǎng)公式1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是_______。

        90°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是_______。

        ……

        n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是_______。

        推導(dǎo):n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)L=,扇形面積S扇=。

        評(píng)注:很多老師把教學(xué)的重點(diǎn)放在公式的記憶上,但筆者認(rèn)為記憶公式固然重要,關(guān)鍵是旋轉(zhuǎn)圖形知識(shí)的形成與公式推導(dǎo)。前者,學(xué)生記憶完公式后,容易忘記;后者,遺忘率較低,即便出現(xiàn)忘記公式,學(xué)生也能自己推導(dǎo)出來(lái)。教師切記要求學(xué)生理解扇形與圓是半徑繞著固定點(diǎn)O而成的圖形,筆者在教學(xué)中使用此方法,收到良好的效果。

        (二)學(xué)習(xí)《全等三角形》引入圖形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

        在全等三角形證明過(guò)程中,很多是圖形旋轉(zhuǎn)的問(wèn)題,如果能加入旋轉(zhuǎn)思想,部分復(fù)雜的題目便簡(jiǎn)單化,那么學(xué)生解決全等三角形問(wèn)題能力大大加強(qiáng),同時(shí)能促進(jìn)旋轉(zhuǎn)思想的教學(xué),為解決中考旋轉(zhuǎn)問(wèn)題埋下伏筆。

        教學(xué)中常規(guī)題目:

        例2:圖2.已知在△ABC中,ADBC于D,AD=BD,DC=DE,求證:∠C=∠1。

        略證:∵ADBC,∠ADC=∠BDE=90

        ∵AD=BD,DC=DE,∴△BDE≌△ADC.∴∠C=∠1。

        評(píng)注:這雖然只是證明兩個(gè)三角形全等,但可以加入旋轉(zhuǎn)思想,將△BDE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)后則與△ADC重合,如果學(xué)生掌握旋轉(zhuǎn)思想,那么學(xué)習(xí)全等三解形的證明與圖形旋轉(zhuǎn)相互相承,達(dá)到事半功倍的效果。

        此類型問(wèn)題在三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四邊形的性質(zhì)與判定、圓以及直角坐標(biāo)系等很多章節(jié)都有與圖形旋轉(zhuǎn)有關(guān)的題目。教師在常規(guī)教學(xué)中浸透圖形旋轉(zhuǎn)或變換思想,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)圖形旋形進(jìn)行思考與探索。

        二、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)類比,提高解題效率

        所謂類比,就是用熟悉的問(wèn)題的解決方面去解決新問(wèn)題的一種解題方法,通過(guò)類比,發(fā)現(xiàn)新題型的共同點(diǎn),利用已有知識(shí),解決新的問(wèn)題,從而提高解題的效率。

        (一)利用中考題之間進(jìn)行類比

        例3:在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α(0<α<120°),得△A1BC1,交AC于點(diǎn)E,AC分別交A1C1、BC于D、F兩點(diǎn)。

        (1)如圖3,觀察并猜想,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,線段EA1與FC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論;

        (2)如圖3,當(dāng)=30°時(shí),試判斷四邊形BC1DA的形狀,并說(shuō)明理由;

        (3)在(2)的情況下,求ED的長(zhǎng)。

        【答案】(1)EA=FC;提示證明△ABE≌△CBF(2)①菱形(證明略)

        (3)過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB,則AG=BG=1

        在Rt△AEG中,

        由(2)知AD=AB=2??∴ED=AD-AE=2-

        評(píng)注:利用證明全等三角形旋轉(zhuǎn)的思想,對(duì)兩道中考題,通過(guò)知識(shí)的類比,對(duì)知識(shí)進(jìn)行遷移,學(xué)生很容易找到旋轉(zhuǎn)思想的突破點(diǎn),這樣兩道中考題就容易解決了,從而打開學(xué)生的思路。

        (二)三角形旋轉(zhuǎn)與四邊形旋轉(zhuǎn)進(jìn)行類比

        例4(07年臺(tái)州市)把正方形ABCD繞著點(diǎn)A,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到正方形AEFG,邊FG與BC交于點(diǎn)H(如圖7).試問(wèn)線段HG與線段HB相等嗎?請(qǐng)先觀察猜想,然后再證明你的猜想.

        分析:(1)由已知正方形ABCD繞著點(diǎn)A,按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到正方形AEFG,所以可得AG=AB;

        (2)要證明線段HG與線段HB相等只需證明這兩條線段所在的兩個(gè)三角形是否全等即可;或證明△GHB是否為等腰三角形也可以解:HG=HB。

        證法1:連結(jié)AH(如圖4).

        ∵四邊形ABCD,AEFG都是正方形,

        ∴∠B=∠G=90°.

        由題意,知AG=AB,又AH=AH,

        ∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL).

        ∴HG=HB.

        三、激勵(lì)學(xué)生勇于思考,開拓?cái)?shù)學(xué)思維

        例5(2009,廣東)(1)如圖10,圓內(nèi)接△ABC中,AB=BC=CA,OD、OE為的半徑,ODBC于點(diǎn)F,OEAC于點(diǎn)G,求證:陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的。(2)如圖11,若∠DOE保持角度不變,求證:當(dāng)∠DOE繞著O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形(圖中陰影部分)面積始終是△ABC的面積的。

        證明:(1)如圖,連結(jié)OA、OC,因?yàn)辄c(diǎn)o是等邊三角形ABC的外心,所以,Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA

        ,因?yàn)椋浴?/p>

        (2)解法:連結(jié)OA、OB和OC,則△AOC≌△COB≌△BOA,∠1=∠2,不妨設(shè)OD交BC于點(diǎn)F,OE交AC于點(diǎn)G,∠AO=∠3+∠4=120°,∠DOE=∠5+∠4=120°,∠3=∠5,

        在△OAG和△OCF中

        ∴△OAG≌△OCF。

        評(píng)注:這道題是三角形與圓結(jié)合在一起的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題,第一問(wèn)題相對(duì)容易,利用垂徑定理及全等三角形便解決問(wèn)題;第二問(wèn)題,考生緊緊抓住△COF旋轉(zhuǎn)到△AOG,得到△AOG≌△COF,確定在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中哪一些不變量與變量,無(wú)論題型如何變化,萬(wàn)變不離其宗。

        四、總結(jié)

        《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將圖形的變換作為重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容,圖形的運(yùn)動(dòng)是研究圖形性質(zhì)的有效方法,軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)是初中幾何重要的圖形變換,其中圖形的旋轉(zhuǎn)較為復(fù)雜,變化較多。而且此類型問(wèn)題在三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四邊形的性質(zhì)與判定、圓以及直角坐標(biāo)系等。

        通過(guò)以上幾例發(fā)現(xiàn),在解決幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵要抓住圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段的大小保持不變,以及圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,對(duì)應(yīng)線段的夾角也相等,這些不變量非常重要,解題時(shí)還要切實(shí)把握幾何圖形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。因此,教師在平時(shí)教學(xué)和復(fù)習(xí)中,利用課本已有的幾何旋轉(zhuǎn)題型,結(jié)合不同背景中有關(guān)幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題題型,引導(dǎo)與培養(yǎng)學(xué)生的自主探究、分析和解決問(wèn)題的能力。這樣在中考旋轉(zhuǎn)問(wèn)題上才能不慌不忙,尋找突破口。

        面對(duì)中考圖形變換,筆者將旋轉(zhuǎn)思想引入常規(guī)教學(xué)中,剛開始學(xué)生拿到題目都無(wú)從下手,筆者對(duì)上述方法引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行發(fā)現(xiàn)、研究、推導(dǎo),通過(guò)新舊知識(shí)類比,激化學(xué)生勇于思考,拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)空間,所帶的班在中考這類問(wèn)題上,往往得分率較高,收獲很大。

        參考文獻(xiàn):

        [1]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿).北京師范大學(xué)出版社,2001.

        [2]義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè).

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