鄧沛森
摘 要?圖形旋轉(zhuǎn)是新課標(biāo)重要的內(nèi)容之一,也是中考??嫉膬?nèi)容之一,是教學(xué)的重點和難點。學(xué)生解題要把握圖形旋轉(zhuǎn)前后哪些是不變的量,哪些是變化的量,也要結(jié)合不同背景中有關(guān)幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問題題型,教師需引導(dǎo)與培養(yǎng)學(xué)生的自主探究、分析和解決問題的能力。筆者在常規(guī)教學(xué)中,浸透旋轉(zhuǎn)思想,通過新舊知識類比,激化學(xué)生勇于思考,拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,大大提高解決圖形旋轉(zhuǎn)問題的有效性。
關(guān)鍵詞?圖形旋轉(zhuǎn);常規(guī)教學(xué);類比;思考與探索
中圖分類號:A,O421+.4 文獻標(biāo)識碼:A 文章編號:1002-7661(2019)05-0147-02
圖形與變換是新課程標(biāo)準(zhǔn)明確規(guī)定的重要內(nèi)容之一,有利于培養(yǎng)學(xué)生實踐與操作能力,形成空間觀念和運動變化意識。旋轉(zhuǎn)問題在中考題中很常見,而且很多作為開放題,這要求考生具備扎實數(shù)學(xué)的基本功、較強的觀察力及綜合分析問題的能力,解題時要切實把握幾何圖形運動過程,并注意運動過程中特殊位置,抓住圖形旋轉(zhuǎn)前后哪些是不變的量,哪些是變化的量。在“動”中探求:“靜”,在“靜”中探求“動”的一般規(guī)律.同時在平時教學(xué)中需要浸透圖形旋轉(zhuǎn)思想,引導(dǎo)學(xué)生進行知識類比,激發(fā)學(xué)生勇于思想,拓展數(shù)學(xué)思維。
一、常規(guī)教學(xué)引入旋轉(zhuǎn)思想,促進學(xué)生思考解題思路
解題思路是解決數(shù)學(xué)問題的突破口,學(xué)生拿到題目后,首要任務(wù)就是從題目中找到切入口,我們要在平時教學(xué)中加以應(yīng)用,將圖形的旋轉(zhuǎn)解決思想融入常規(guī)的教學(xué)中,培養(yǎng)學(xué)生解題思維。
(一)《扇形的弧長和面積》教學(xué)中,引入線段旋轉(zhuǎn)思想
解決中考旋轉(zhuǎn)問題,不僅需要針對性題目訓(xùn)練,在平時教學(xué)中也需引入旋轉(zhuǎn)思想,讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)圖形的由來,同時將數(shù)學(xué)的代數(shù)與圖形進行整合,提高教學(xué)的有效性。
例1:推導(dǎo)“弧長及扇形的面積”公式(如圖1)
首先讓學(xué)生了解生成圓與扇形的由來,定義:圓是由線段繞著固定一點O旋轉(zhuǎn)一周而成的圖形,而扇形是線段繞著固定一點O旋轉(zhuǎn)n度的圖形。結(jié)合圓心面積S=的公式,推導(dǎo)扇形面積公式1°的圓心角所對的扇形面積S扇形=_______。90°的圓心角所對的扇形面積S扇形,結(jié)合圓的周長公式:C=2пR,推導(dǎo)弧長公式1°的圓心角所對的弧長是_______。
90°的圓心角所對的弧長是_______。
……
n°的圓心角所對的弧長是_______。
推導(dǎo):n°的圓心角所對的弧長L=,扇形面積S扇=。
評注:很多老師把教學(xué)的重點放在公式的記憶上,但筆者認(rèn)為記憶公式固然重要,關(guān)鍵是旋轉(zhuǎn)圖形知識的形成與公式推導(dǎo)。前者,學(xué)生記憶完公式后,容易忘記;后者,遺忘率較低,即便出現(xiàn)忘記公式,學(xué)生也能自己推導(dǎo)出來。教師切記要求學(xué)生理解扇形與圓是半徑繞著固定點O而成的圖形,筆者在教學(xué)中使用此方法,收到良好的效果。
(二)學(xué)習(xí)《全等三角形》引入圖形旋轉(zhuǎn)問題
在全等三角形證明過程中,很多是圖形旋轉(zhuǎn)的問題,如果能加入旋轉(zhuǎn)思想,部分復(fù)雜的題目便簡單化,那么學(xué)生解決全等三角形問題能力大大加強,同時能促進旋轉(zhuǎn)思想的教學(xué),為解決中考旋轉(zhuǎn)問題埋下伏筆。
教學(xué)中常規(guī)題目:
例2:圖2.已知在△ABC中,ADBC于D,AD=BD,DC=DE,求證:∠C=∠1。
略證:∵ADBC,∠ADC=∠BDE=90
∵AD=BD,DC=DE,∴△BDE≌△ADC.∴∠C=∠1。
評注:這雖然只是證明兩個三角形全等,但可以加入旋轉(zhuǎn)思想,將△BDE繞點D旋轉(zhuǎn)后則與△ADC重合,如果學(xué)生掌握旋轉(zhuǎn)思想,那么學(xué)習(xí)全等三解形的證明與圖形旋轉(zhuǎn)相互相承,達到事半功倍的效果。
此類型問題在三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四邊形的性質(zhì)與判定、圓以及直角坐標(biāo)系等很多章節(jié)都有與圖形旋轉(zhuǎn)有關(guān)的題目。教師在常規(guī)教學(xué)中浸透圖形旋轉(zhuǎn)或變換思想,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)圖形旋形進行思考與探索。
二、引導(dǎo)學(xué)生進行知識類比,提高解題效率
所謂類比,就是用熟悉的問題的解決方面去解決新問題的一種解題方法,通過類比,發(fā)現(xiàn)新題型的共同點,利用已有知識,解決新的問題,從而提高解題的效率。
(一)利用中考題之間進行類比
例3:在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角α(0<α<120°),得△A1BC1,交AC于點E,AC分別交A1C1、BC于D、F兩點。
(1)如圖3,觀察并猜想,在旋轉(zhuǎn)過程中,線段EA1與FC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論;
(2)如圖3,當(dāng)=30°時,試判斷四邊形BC1DA的形狀,并說明理由;
(3)在(2)的情況下,求ED的長。
【答案】(1)EA=FC;提示證明△ABE≌△CBF(2)①菱形(證明略)
(3)過點E作EG⊥AB,則AG=BG=1
在Rt△AEG中,
由(2)知AD=AB=2??∴ED=AD-AE=2-
評注:利用證明全等三角形旋轉(zhuǎn)的思想,對兩道中考題,通過知識的類比,對知識進行遷移,學(xué)生很容易找到旋轉(zhuǎn)思想的突破點,這樣兩道中考題就容易解決了,從而打開學(xué)生的思路。
(二)三角形旋轉(zhuǎn)與四邊形旋轉(zhuǎn)進行類比
例4(07年臺州市)把正方形ABCD繞著點A,按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG,邊FG與BC交于點H(如圖7).試問線段HG與線段HB相等嗎?請先觀察猜想,然后再證明你的猜想.
分析:(1)由已知正方形ABCD繞著點A,按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG,所以可得AG=AB;
(2)要證明線段HG與線段HB相等只需證明這兩條線段所在的兩個三角形是否全等即可;或證明△GHB是否為等腰三角形也可以解:HG=HB。
證法1:連結(jié)AH(如圖4).
∵四邊形ABCD,AEFG都是正方形,
∴∠B=∠G=90°.
由題意,知AG=AB,又AH=AH,
∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL).
∴HG=HB.
三、激勵學(xué)生勇于思考,開拓數(shù)學(xué)思維
例5(2009,廣東)(1)如圖10,圓內(nèi)接△ABC中,AB=BC=CA,OD、OE為的半徑,ODBC于點F,OEAC于點G,求證:陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的。(2)如圖11,若∠DOE保持角度不變,求證:當(dāng)∠DOE繞著O點旋轉(zhuǎn)時,由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形(圖中陰影部分)面積始終是△ABC的面積的。
證明:(1)如圖,連結(jié)OA、OC,因為點o是等邊三角形ABC的外心,所以,Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA
,因為,所以。
(2)解法:連結(jié)OA、OB和OC,則△AOC≌△COB≌△BOA,∠1=∠2,不妨設(shè)OD交BC于點F,OE交AC于點G,∠AO=∠3+∠4=120°,∠DOE=∠5+∠4=120°,∠3=∠5,
在△OAG和△OCF中
∴△OAG≌△OCF。
評注:這道題是三角形與圓結(jié)合在一起的旋轉(zhuǎn)問題,第一問題相對容易,利用垂徑定理及全等三角形便解決問題;第二問題,考生緊緊抓住△COF旋轉(zhuǎn)到△AOG,得到△AOG≌△COF,確定在旋轉(zhuǎn)過程中哪一些不變量與變量,無論題型如何變化,萬變不離其宗。
四、總結(jié)
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將圖形的變換作為重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容,圖形的運動是研究圖形性質(zhì)的有效方法,軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)是初中幾何重要的圖形變換,其中圖形的旋轉(zhuǎn)較為復(fù)雜,變化較多。而且此類型問題在三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四邊形的性質(zhì)與判定、圓以及直角坐標(biāo)系等。
通過以上幾例發(fā)現(xiàn),在解決幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問題時,關(guān)鍵要抓住圖形在旋轉(zhuǎn)過程中,對應(yīng)角、對應(yīng)線段的大小保持不變,以及圖形在旋轉(zhuǎn)過程中,對應(yīng)線段的夾角也相等,這些不變量非常重要,解題時還要切實把握幾何圖形的運動過程。因此,教師在平時教學(xué)和復(fù)習(xí)中,利用課本已有的幾何旋轉(zhuǎn)題型,結(jié)合不同背景中有關(guān)幾何圖形的旋轉(zhuǎn)問題題型,引導(dǎo)與培養(yǎng)學(xué)生的自主探究、分析和解決問題的能力。這樣在中考旋轉(zhuǎn)問題上才能不慌不忙,尋找突破口。
面對中考圖形變換,筆者將旋轉(zhuǎn)思想引入常規(guī)教學(xué)中,剛開始學(xué)生拿到題目都無從下手,筆者對上述方法引領(lǐng)學(xué)生進行發(fā)現(xiàn)、研究、推導(dǎo),通過新舊知識類比,激化學(xué)生勇于思考,拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)空間,所帶的班在中考這類問題上,往往得分率較高,收獲很大。
參考文獻:
[1]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿).北京師范大學(xué)出版社,2001.
[2]義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書.數(shù)學(xué)九年級下冊.