卞晗之 夏爽
摘 要 代數(shù)中的恒成立問題對于高中學生來說,是一個很重要的必考知識點。以函數(shù)知識為基礎,內容涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)、圖像等,需要采用換元、數(shù)形結合等多種方式進行解題,非??简炈季S能力。因此,在遇到恒成立問題的時候,要先分析題目,找到最適用的解題方法來快速得出答案。文章對高中數(shù)學恒成立問題進行分析,探討典型的解題思路和分析解題技巧,以此來提升對恒成立問題的理解和掌握。
關鍵詞 高中數(shù)學;恒成立;解題思路
中圖分類號:G32??????????????????????????????????????????????????????? 文獻標識碼:A????????????????????????????????????????????????? 文章編號:1002-7661(2019)12-0151-02
恒成立的問題是高中數(shù)學中綜合性最強的難點,解題所要涉及的知識面十分的廣泛,特別是解題中涉及不等式、數(shù)列、函數(shù)等方面,都是高考的重點。恒成立的問題如此難解,主要是因為其形式多變,沒有固定的解題方法,很多同學遇到此類題目會比較茫然,不知從何下手。文章主要介紹了筆者在遇到這類問題的解題思路,拋磚引玉,為大家提供一些解題思路,希望同學們在數(shù)學成績上有所突破。
一、探究高中數(shù)學中恒成立問題的解題方法的重要性
筆者在學習數(shù)學的過程中,發(fā)現(xiàn)恒成立問題的題目模式主要是有關函數(shù)的知識點,題型特點是在已知的條件下,非局限性的變量不管如何改變,題目的結果和命題都是成立的。所以,在解決恒成立問題的題目時,思維不能被固化,要從抽象的角度去理解和分析其中的變量。老師曾說出卷者設計此類模式題目的目的是為了提高學生的創(chuàng)新思維能力,考查同學們對邏輯性問題的思考能力,也可以激起同學們對于勇于挑戰(zhàn)高難度數(shù)學的興趣。因此,同學們需要通過培養(yǎng)邏輯思維能力,采用多元的解題方法,才能做到充分有效的掌握恒成立問題的解題思路與方法。
二、高中數(shù)學中關于含參不等式恒成立問題的分析
數(shù)學不等式恒成立中的一個重要形式就是函數(shù)。解決含參不等式恒成立問題,首先要解決定義域以及值域的問題,關鍵是判斷給定的定義域是否在函數(shù)中恒成立,在恒成立的基礎上確定參數(shù)的取值范圍,從而對于所求的不等式進行證明。對于含參不等式恒成立問題通常采取代數(shù)法(分離參數(shù))以及幾何法(數(shù)形結合)進行證明。關于含參不等式恒成立的題型通常都會涉及到兩個參數(shù),而題目本身提供一個已知的參數(shù),通過已知的參數(shù)結合函數(shù)來對第二個參數(shù)的范圍進行求解。求解參數(shù)的范圍即求解參數(shù)的最大值和最小值,存在參數(shù)m的情況下,通常在求解過程中都需要進行分類討論,一種方法是通過畫出函數(shù)的圖像,結合函數(shù)的性質結合考慮,這種方法過程比較復雜,需要依靠比較強的邏輯思維能力。所以在一般情況下,首選分離變量法來對含參不等式恒成立問題的解答。以下詳細介紹分離參數(shù)法以及數(shù)形結合法。
2.1分離參數(shù)法
2.2數(shù)形結合法
如果給出的函數(shù)題型中,含參不等式中參數(shù)與主元不易分離,并且對不等式進行巧妙地變型,使得變型后地函數(shù)很容易挖掘出函數(shù)的圖像,并根據(jù)圖像所表達出的幾何意義來解決恒成立問題,這種解決問題的方法對于一些題型非常有效。首先,將復雜的含參數(shù)不等式函數(shù)經(jīng)過變型成基本的初等函數(shù),構造出相應的圖形,以觀察圖形之間的關系。解題的思路是從圖形的邊界處著手,從而確定參數(shù)的范圍。以下舉例進行證明。
三、函數(shù)構造法解決數(shù)學中恒成立問題
3.1構造一次函數(shù)法
在恒成立問題的題型上,有些沒有那么的復雜,即可以化為一次函數(shù)的類型來進行計算,及構造成一次函數(shù),則是以圖形結合的邏輯思維來進行一次函數(shù)的計算,此方法非常的便捷,也更加容易計算。
y=f(x)=ax+b(a≠0)
若y=f(x)在[m,n]上,f(x)>0
則f(m)>0,f(n)>0
題中有兩個變量的字母:x和a,要先將其中一個變量字母當做一個常數(shù),可有利于計算。顯然題中可將a當為自變量,則可將此類型的問題轉化為[-2,2]內的關于a的大于0的恒成立問題上的一次函數(shù)[5]。
解:原不等式可轉換為(x-1)a+x-2x+1>0在a≤2時恒成立
設f(a)=(x-1)a+x-2x+1
F(a)在[-2,2]上>0,則f(-2)>0,f(2)>0,即x-4x+3>0,x-1>0
解得:x>3,即x滿足[-∞,-1]和(3,+∞)