欒功

[摘? ?要]新一輪的課程改革明確指出“課堂教學(xué)要融入學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)”.“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法為落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了理論依據(jù)和操作方法.基于“問題導(dǎo)學(xué)”法，以《空間向量的應(yīng)用——距離的計算》為例，著重落實“問題導(dǎo)學(xué)”五環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞]問題導(dǎo)學(xué);核心素養(yǎng);空間向量

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）17-0038-02

2018年12月，在廣西桂林市舉辦了第九屆高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課展示活動.這次活動中，章建躍博士指出：“要以新課標(biāo)研讀為核心，加強學(xué)習(xí)，領(lǐng)會新一輪課改的精神，明確課改方向，掌握培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的方法策略，努力使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)融入日常教學(xué)中.”筆者有幸代表廣西參加了組委會指定課題《空間向量的應(yīng)用——距離的計算》的優(yōu)質(zhì)課展示.筆者基于“問題導(dǎo)學(xué)”的教學(xué)設(shè)計得到了評委和學(xué)術(shù)委員會的高度評價，“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法為落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)提供了理論依據(jù)和操作方法.

《空間向量的應(yīng)用——距離的計算》是學(xué)生在學(xué)習(xí)了空間向量及其運算，并應(yīng)用向量的方法解決有關(guān)空間位置關(guān)系和夾角問題后，所進一步學(xué)習(xí)的立體幾何中的向量方法，它是前面內(nèi)容的延展與深化，進一步滲透了數(shù)形結(jié)合思想，很好地闡釋了中學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)量關(guān)系→空間形式→數(shù)形結(jié)合”的學(xué)習(xí)主線.本課蘊含了豐富的數(shù)學(xué)價值和思想方法，能很好地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).本節(jié)課，筆者采用“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法，讓學(xué)生盡快地進入情境，主動參與提出問題和探索問題的過程，通過問題驅(qū)動、自主探索、合作交流形成概念，并逐步深化概念.以下是本節(jié)課“問題導(dǎo)學(xué)”五環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計.

一、新課引入

問題1：觀察加油站的設(shè)計圖，你能提出哪些距離問題？

新課引入是學(xué)生對一節(jié)新授課的第一印象，引入應(yīng)力求自然合理，同時讓學(xué)生對新知識感到好奇，產(chǎn)生強烈的探索欲望.本課中，筆者通過學(xué)生熟悉的加油站這一具體實例引入抽象的距離問題，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，在引出課題的同時培養(yǎng)了學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng).

二、概念形成

“概念形成”是這節(jié)課的重點，它對學(xué)生構(gòu)建自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)起關(guān)鍵作用.這一環(huán)節(jié)的主要任務(wù)是讓學(xué)生理解概念形成的合理性，理解知識發(fā)生發(fā)展的過程.為了讓這個過程更簡潔地呈現(xiàn)給學(xué)生，筆者設(shè)置了問題2和問題3.

問題2：設(shè)直線[l]是過點[P]平行于向量S的直線，[A]是直線外一定點，請嘗試用向量的運算求解點[A]到直線[l]的距離.

問題3：類比點到直線距離的向量求法，求解平面[α]外一點[P]到平面[α]的距離.

在這一環(huán)節(jié)中，教師不能急于講述公式，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考怎么賦予幾何條件向量的意義，如何用向量的運算求解距離，為什么要把距離問題轉(zhuǎn)化為向量的運算.這個過程要展示知識的生成、發(fā)展過程，暴露學(xué)生的思維過程.于是，筆者設(shè)置了第一個任務(wù)“結(jié)合你的課前研究進行小組交流分享”，學(xué)生在交流的過程中提出了很多種想法，有給直線作垂線的，也有用正弦值計算的.這些思考都符合學(xué)生的實際.在小組交流的過程中，學(xué)生最終達成共識：刻畫直線還是用方向向量最為方便，用向量的投影計算距離更為便捷.以下是學(xué)生的討論和展示.

生1：作直線的法向量，利用投影可計算.

生2：對直線而言，方向向量更為簡潔，可用方向向量解決問題.

師：若用方向向量解決問題，直線[l]上的點[P]可以移動嗎？方向向量的方向會影響結(jié)果嗎？

生3：點[P]的選擇是任意的，無論點[P]在哪里選取，按照向量的運算結(jié)果，距離都是唯一的，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，可以更好地解決一些復(fù)雜的幾何問題.

有了解決問題2的基礎(chǔ)，學(xué)生很容易類比模仿問題2的方法解決問題3，學(xué)生在解決相似問題的過程中感悟數(shù)學(xué)的通性通法，體會其中的數(shù)學(xué)思想方法.

教師可讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程，給學(xué)生提供探索、概括的機會，讓學(xué)生感知用向量求解距離問題合情合理，并通過“自主探索——小組交流——分享展示”等數(shù)學(xué)活動來培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)，提升學(xué)生的歸納、概括與交流能力.

三、概念深化

問題4：用向量法求解距離問題時主要有哪幾個要素？本質(zhì)是什么？

問題5：用幾何法和向量法分別求解正方體[ABCD-A1B1C1D1]（圖1）中的各個距離：

（1）點[M]到平面[ACD1]的距離;（2）點[C]到平面[AMD1]的距離;（3）點[C1]到平面[AND1]的距離.

概念深化是這節(jié)課的又一個重點，也是一節(jié)新授課的靈魂，它直接影響學(xué)生能否以更高的觀點去看待問題的思維品質(zhì)的形成。以往在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中，教師都是在講完公式后直接給出題目讓學(xué)生練習(xí)公式的應(yīng)用.這樣處理，沒有發(fā)揮教材的作用.為了探尋點線、點面距離的向量計算方法的本質(zhì)，筆者設(shè)置了問題4和問題5，引導(dǎo)學(xué)生挖掘概念的內(nèi)涵與外延，一起總結(jié)歸納向量計算方法的要素，突出概念的本質(zhì)特征.這對學(xué)生來說是一種更高層次的思維訓(xùn)練，對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)起到助推的作用.

四、應(yīng)用探索

“應(yīng)用探索”這一環(huán)節(jié)的主要任務(wù)是例題的講解、拓展和探究，這是數(shù)學(xué)中強化新知學(xué)習(xí)、展示數(shù)學(xué)思想方法、培養(yǎng)學(xué)生能力的重要載體.對此，筆者分層設(shè)置了兩個例題.

[例1]如圖2， 四棱柱[ABCD-A1B1C1D1]的底面[ABCD]是正方形，[O]為底面中心，[A1O]⊥平面[ABCD]，AB=AA1=[2].

（1）求點[A]到直線[OB1]的距離;（2）求點[D]到平面[OCB1]的距離.

[例2]如圖3，正方體[ABCD-A1B1C1D1]的棱長為1，[M]、[N]分別是[BB1]、[B1C1]的中點.

（1）求直線[MN]到平面[ACD1]的距離;

（2）若[G]是[A1B1]的中點，求平面[MNG]與平面[ACD1]的距離.

例1主要考查學(xué)生能否運用向量法解決點線距離、點面距離，體會向量法的優(yōu)點，進一步鞏固向量法求解距離問題的一般思考程序;例2在學(xué)生熟悉的正方體中考查了線面距離、面面距離，要求學(xué)生能靈活運用向量法，把復(fù)雜陌生的問題轉(zhuǎn)化為簡單熟悉的問題，進而達到培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.

五、總結(jié)歸納

問題6：圍繞本課內(nèi)容及反映的數(shù)學(xué)思想，以知識發(fā)生發(fā)展過程為線索，請你用自己的語言歸納本課所學(xué)內(nèi)容，提煉思想方法，總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗.

生1：這節(jié)課，我學(xué)會了求解點到直線的距離和點到平面距離的向量方法和基本步驟.

生2：在方法上有了更多的選擇，幾何法和向量法哪個容易就用哪個.

生3：思維上看，向量法是把幾何運算變成了代數(shù)運算，用代數(shù)方法可以解決更復(fù)雜的幾何問題.

設(shè)置問題6，學(xué)生通過交流與反思，運用自己的語言解釋和交流數(shù)學(xué)概念、應(yīng)用和思想方法，并能對幾何法與向量法進行比較評價，進一步培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

綜上，“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法下的教學(xué)設(shè)計，課堂主線清晰，課堂結(jié)構(gòu)完整，以問題驅(qū)動數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的知識發(fā)生發(fā)展過程，不僅能很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，更能讓教師有了具體的操作方法.

[? 參? ?考? ?文? ?獻? ]

黃河清.高中數(shù)學(xué)“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法[M].北京：教育科學(xué)出版社，2013.

（責(zé)任編輯 黃春香）