高興霞
摘 要:分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的思想方法之一,在具體教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的分類意識并形成運(yùn)用這一思想解決問題的能力,具有重要的意義,這也是教師探索實踐的任務(wù)之一。通過對教材中所蘊(yùn)含的分類思想加以簡單論述,借以說明從教材著手深入探討、研究教材中的分類思想,是教師引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)分類意識,運(yùn)用分類思想解決問題的重要方法之一。
關(guān)鍵詞:分類討論;數(shù)學(xué)思想;探索實踐
分類討論是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)思想方法之一,它是解決較復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的有效方法,是人們實事求是、區(qū)別對待處理問題的一種思維方式,運(yùn)用這一方法有助于把抽象的、繁雜的問題轉(zhuǎn)化為若干簡單問題,然后各個突破,逐一解決。
但是,有很多學(xué)生對怎樣的題用分類討論的方法、如何應(yīng)用分類討論以及在分類時對分類的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)如何確定等問題都感到比較棘手。因而,如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的分類意識并逐步形成運(yùn)用這一思想解決問題的能力,一直是教師探索實踐的任務(wù)之一。
筆者認(rèn)為,蘊(yùn)含在教材中的分類思想是最真實、最基本,也是最具活力的第一手材料。深入研究并認(rèn)真體會滲透在教材中的分類思想,才能幫助學(xué)生學(xué)好分類討論思想,培養(yǎng)學(xué)生的分類意識,才不至于使這一思想成為無水之源。
首先,教材中有些數(shù)學(xué)概念,在定義時就進(jìn)行了分類定義,如a的絕對值,就是按a>0,a=0,a<0三種情況定義的。因此對式中含有絕對值的問題,在去掉絕對值進(jìn)行化簡時,就要分類處理。
例1 方程x|x|-5|x|+6=0的最大根與最小根之積為( )
A.-6 B.-3 C.3 D.6
解:易知x=0不是原方程的解,當(dāng)x>0時,原方程可化為x2-5x+6=0,所以x1=2,x2=3;當(dāng)x<0時,原方程可化為-x2+5x+6=0所以x3=-1,x4=6(舍去),最大根為3,最小根為-1,積為-3,故選(B)。
教材中對概念的分類定義還有很多,諸如P點分有向線段所成的比:?姿>0時,P為內(nèi)分點,?姿<0時,P為外分點;直線的斜率,α≠90°,k=tanα,α=90°,k不存在,等等。認(rèn)真理解并體會這些概念的分類定義后,在具體的問題中,當(dāng)遇到與這些概念相關(guān)的問題時,就會自然而然地想到分類,而且也非常明確分類的標(biāo)準(zhǔn)。
其次,有些函數(shù)性質(zhì)本身就是分類表述的,如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等。對數(shù)函數(shù)y=logax,當(dāng)01時,函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)。
總之,教材中的有些概念、性質(zhì)、公式,還有一些定理以及圖形的位置關(guān)系等,都不能在某個統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)和前提下進(jìn)行闡述,為了使問題更清晰、更透徹、更深入、更科學(xué),應(yīng)運(yùn)用分類定義及說明。筆者所舉例題僅是教材中蘊(yùn)含的分類思想的點滴,還有很多豐富的分類思想隱含在教材的知識體系中,相信只要在平時教學(xué)中深入探討研究教材中的分類思想,對培養(yǎng)學(xué)生這一數(shù)學(xué)思想,并用其來解決數(shù)學(xué)問題是大有裨益的。
編輯 馮志強(qiáng)