殷賀

【摘要】 對利用數(shù)列遞推式求通項公式的研究旨在讓學生在做題時達到舉一反三，觸類旁通的效果.文中列舉了此類題目的兩種解法，可看作此類題目的通用解法，學生掌握起來非常方便，易于理解，同時也促使學生慢慢養(yǎng)成研究問題的心態(tài).

【關鍵詞】 數(shù)列;遞推式;通項公式;構造數(shù)列

利用數(shù)列的遞推式求通項公式是求數(shù)列通項公式問題中一類比較重要的問題，很多學生在面對這類問題時不知道要從何處下手.針對課堂上出現(xiàn)的這一類問題，筆者進行了總結歸納，其中的一類問題其實可以用一種比較簡單實用的解法解出來，在這里介紹一下.

例1?? 已知：an+1=2an+2n+1，a1=1，求an.

解? 在等式兩邊同除以2n+1可得： an+1 2n+1 = an 2n +1，

即 an+1 2n+1 - an 2n =1，這樣就構造了一個等差數(shù)列? an 2n? ，

首項為 a1 2 = 1 2 ，公差為1，

從而可求得： an 2n = 1 2 +（n-1）=n- 1 2 ，

則an= n- 1 2? ·2n.

筆者發(fā)現(xiàn)這道題之所以能夠構造等差數(shù)列，在于它是an+1=ban+cbn形式的，因此，兩邊同除以bn+1后可以構造出等差數(shù)列來.問題如果變一變，剛才的辦法也是適用的.

例2?? an+1=3an+2n+1，a1=1，求an.

解法一? 在等式兩邊同時除以3n+1可得：

an+1 3n+1 = an 3n +? 2 3? n+1，

即 an+1 3n+1 - an 3n =? 2 3? n+1，這時我們沒有構造出等差數(shù)列，但是可以用疊加法求通項公式.

由上述遞推式可得： an 3n - an-1 3n-1 =? 2 3? n，

an-1 3n-1 - an-2 3n-2 =? 2 3? n-1，

……

a2 32 - a1 31 =? 2 3? 2.

疊加得： an 3n - a1 31 =? 2 3? n+? 2 3? n-1+…+? 2 3? 2= 4 3 - 4 3 ×? 2 3? n-1.

因而，可求得：an=5×3n-1-2n+1.

由以上兩個題可得，形如an+1=Aan+C×Bn的遞推式，不管A與B是否相等，均可以在等式兩邊同時除以An+1，從而可構造出可用疊加法求通項公式的數(shù)列.

那么問題如果在復雜一點，是不是還可以采用上面的辦法？

例3?? 已知an+1=3an+2n+1+3，其中a1=1，求an.

解? 在等式兩邊同時除以3n+1可得：

an+1 3n+1 = an 3n +? 2 3? n+1+? 1 3? n，

即 an+1 3n+1 - an 3n =? 2 3? n+1+? 1 3? n.

顯然可以用疊加法繼續(xù)求得通項公式：an= 13 2 ×3n-1-2n+1- 3 2 ，這里就不再贅述了.

然而并不是說上面的問題只能用這個辦法來做，其實像例2、例3我們還可以用待定系數(shù)法構造等比數(shù)列.

例2解法二：an+1+x·2n+1=3（an+x·2n），

可解得：x=2.

從而構造出：an+1+2n+2=3（an+2n+1），

其中a1+22=5，

所以{an+2n+1}是以5為首項，3為公比的等比數(shù)列.

則an+2n+1=5×3n-1，即an=5×3n-1-2n+1.

例3解法二：不同于例2的解法二，我們在設參數(shù)時需要增加一個參數(shù)y，即

an+1+x·2n+1+y=3（an+x·2n+y），

同理解得x=2，y= 3 2 .

從而構造出：an+1+2n+2+ 3 2 =3 an+2n+1+ 3 2? ，

首項為a1+22+ 3 2 = 13 2 ，

即有 an+2n+1+ 3 2? 是以 13 2 為首項，3為公比的等比數(shù)列.

則有an+2n+1+ 3 2 = 13 2 ×3n-1，

從而an= 13 2 ×3n-1-2n+1- 3 2 .

例2、例3的解法二均采用了待定系數(shù)法，構造出等比數(shù)列，此法也使得問題簡單化.以上給大家提供了這類問題的兩種不同的解法，這兩種解法使得這類問題簡單易行，學生容易掌握，大呼過癮.而對其他類似的問題也就不感覺那么難了.