馬奇

[摘? 要] 文章以一堂整體思想習(xí)題課實(shí)錄為例，探討習(xí)題課中，如何滲透整體意識(shí)，以達(dá)到完善學(xué)生思維結(jié)構(gòu)的目的.

[關(guān)鍵詞] 整體意識(shí);思維結(jié)構(gòu);初中數(shù)學(xué);運(yùn)算能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一. 因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)算能力培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教師的核心任務(wù)[1]. 然而，在日常教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)：初中學(xué)生的運(yùn)算能力不容樂(lè)觀，“小錯(cuò)天天有，大錯(cuò)三六九”，歸根結(jié)底是學(xué)生對(duì)問(wèn)題的觀察能力不夠，分析能力不夠. 因此，教師有必要調(diào)整教學(xué)策略與方法，把運(yùn)算能力的培養(yǎng)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù). 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，也是解題的法寶. 有道是：數(shù)學(xué)解題，思想先行. 整體思想，是數(shù)學(xué)解題的重要思想方法之一，是簡(jiǎn)化運(yùn)算、優(yōu)化解題過(guò)程的助推器. 然而，學(xué)生卻不善于利用這種思想. 因此，教師在教學(xué)中應(yīng)滲透整體意識(shí)，以達(dá)到完善學(xué)生思維結(jié)構(gòu)的目的. 為此，筆者在中考復(fù)習(xí)階段，給學(xué)生上了一堂應(yīng)用整體思想解題的習(xí)題課，下文就是這堂課的實(shí)錄.

課堂實(shí)錄

1. 引入例題，認(rèn)知整體思想

【引例】已知-=4，則的值等于（? ? ）

A. 6? ? ?B. -6? ? C.? ?D. -

教師點(diǎn)撥：根據(jù)條件顯然無(wú)法計(jì)算出a，b的值，只能考慮在所求代數(shù)式中構(gòu)造出-的形式，再整體代入求解.

學(xué)生解答：

=

==6.

教師提問(wèn)：本題也可以將條件變形為b-a=4ab，即a-b=-4ab，再整體代入求解. 這種解題方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中的哪種思想？

眾學(xué)生：整體思想.

教師：對(duì)！整體思想，整體思想是指在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，進(jìn)而對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行整體處理，它是一種解題方法，更是一種數(shù)學(xué)思想[2]. 從整體上去認(rèn)識(shí)問(wèn)題、思考問(wèn)題，常常能起到化繁為簡(jiǎn)、變難為易的作用. 這種思想的應(yīng)用能訓(xùn)練大家思維的靈活性. 我們遇到的整體思想主要有：整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想、整體補(bǔ)形、整體改造等等. 整體思想不僅在代數(shù)問(wèn)題中應(yīng)用廣泛，在幾何問(wèn)題中也大有用武之地. 只要我們善于觀察，就一定能從題目中捕捉到“整體思想”的信息.

2. 小試牛刀，應(yīng)用整體思想

師：既然整體思想為我們解題打開了快捷的綠色通道. 那么讓我們一起來(lái)感受一下它的神奇魅力吧. 請(qǐng)同學(xué)們合作完成下面幾個(gè)問(wèn)題，并選幾位交流.

題1已知關(guān)于x，y的二元一次方程組3x-ay=5，

x+by=11 的解為x=5，

y=6， 那么關(guān)于x，y的二元一次方程組3（x+y）-a（x-y）=5，

x+y+b（x-y）=11的解為______.

題2已知+4

+=，求1872+48

的值.

10分鐘后，教師請(qǐng)兩位學(xué)生上講臺(tái)交流并展示.

學(xué)生1：對(duì)于題1，如果把x=5，

y=6代入3x-ay=5，

x+by=11，解出a，b的值，再代入3（x+y）-a（x-y）=5，

x+y+b（x-y）=11進(jìn)行求解，應(yīng)當(dāng)是可行的，但運(yùn)算量比較大，相對(duì)而言比較煩瑣.

解：在方程組3x-ay=5，

x+by=11中令x+y=m，

x-y=n，則此方程組變形為3m-an=5，

m+bn=11，對(duì)照第一個(gè)方程組即知m=5，

n=6，從而x+y=5，

x-y=6，容易得到第二個(gè)方程組的解為

x=，

y=-，這樣就避免了求a，b的值，又簡(jiǎn)化了方程組，簡(jiǎn)便易操作. 故本題答案為：

x=，

y=-.

學(xué)生感悟：本題通過(guò)整體加減既避免了求復(fù)雜的未知數(shù)的值，又簡(jiǎn)化了方程組，解答直接簡(jiǎn)便.

學(xué)生2：對(duì)于問(wèn)題2，如果我們把題目中的x看成一個(gè)未知數(shù)來(lái)求，然后將它代入1872+48

中求值，計(jì)算量非常大，最終結(jié)果可能會(huì)導(dǎo)致“無(wú)功而返”，如果我們把+看成一個(gè)整體，通過(guò)通分得到，再把它看作一個(gè)整體，取其倒數(shù)就是，利用這種思路解答，本題就變得輕而易舉了.

解：因?yàn)?4

+=，即+4

=，故4

= ，則=，所以=. 把=代入得1872+48×=2000.

學(xué)生感悟：從本題的解答可以看出，整體思想與換元法類似，把某一部分看作一個(gè)整體來(lái)處理，能讓我們少走彎路，直達(dá)目的地.

師：兩位同學(xué)的分析、解答和感悟都十分精彩，我們?yōu)樗麄兊木拾l(fā)言鼓掌. （學(xué)生熱烈鼓掌）

3. 自主練習(xí)，升華整體思想

我的課堂我做主. 學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了整體思想在解題中的重要性，接下來(lái)，教師要求學(xué)生自己查閱資料，找到體現(xiàn)整體思想的練習(xí)題，并說(shuō)出自己的解題感受，允許小組合作完成. 在學(xué)生探討問(wèn)題時(shí)，教師巡視，并回答學(xué)生隨時(shí)提出的問(wèn)題. 十分鐘后選擇部分學(xué)生交流發(fā)言.

學(xué)生3： 我說(shuō)一個(gè)代數(shù)式求值問(wèn)題：已知a-b=b-c=，a2+b2+c2=1，求ab+bc+ca的值.

本題用常規(guī)思路做，就是由已知條件求出a，b，c的值，再代入待求式計(jì)算，解答過(guò)程十分煩瑣，而注意到由a-b=b-c=可先求出a-c的值，再將ab+bc+ca變形，用a2+b2+c2、a-b、b-c及a-c來(lái)表示，這樣整體代入之后題目就變得簡(jiǎn)單多了，解答如下：

由a-b=b-c=，可以得到a-c=. 由（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=2（a2+b2+c2）-2（ab+bc+ac）得到 ab+bc+ca=（a2+b2+c2）-[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2]，將a2+b2+c2，a-b，b-c及a-c的值整體代入，可得ab+bc+ca=1-

2+

2+

2=1-×=-.

學(xué)生4：我舉個(gè)數(shù)值比大小的例子：若M=123456789×123456786，N=123456788×123456787，試比較M與N的大小.

本題的數(shù)值較大，求出后再比較大小顯然行不通. 我通過(guò)仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)都在123456788左右波動(dòng)，于是不妨將123456788看成一個(gè)整體用a代換，于是123456789=a+1，123456786=a-2，123456787=a-1，于是M=（a+1）（a-2）=a2-a-2，N=a（a-1）=a2-a，故M-N=（a2-a-2）-（a2-a）=-2<0，由此可得M

學(xué)生5：剛才兩位同學(xué)舉的例子都是代數(shù)問(wèn)題中的整體思想的應(yīng)用，我認(rèn)為幾何問(wèn)題中也可以應(yīng)用整體思想，從而讓解答更精彩. 我舉例如下：如圖1，六邊形ABCDEF的六個(gè)角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，則六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)等于______.

[圖1][B][D][C][E][A][F]

對(duì)于這題，我是這樣處理的：分別作線段AB，CD，EF的延長(zhǎng)線和反向延長(zhǎng)線，使它們交于點(diǎn)G，H，P，如圖2. 因?yàn)榱呅蜛BCDEF的六個(gè)角都等于120°，故六邊形ABCDEF的每個(gè)外角都是60°，故△AHF、△BGC、△DPE、△GHP均為正三角形. 于是GC=BC=3，DP=DE=2， GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，F(xiàn)A=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2. 故六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)為：1+3+3+2+2+4=15.

[圖2]

本題采用了整體補(bǔ)形思想，我根據(jù)已知圖形的特點(diǎn)，將不規(guī)則或不完整的圖形，通過(guò)簡(jiǎn)單的拼接，補(bǔ)充成規(guī)則的或完整的圖形，從而將它轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形加以解決.

……

下課鈴響起，學(xué)生們卻意猶未盡，筆者只好讓學(xué)生把自己找的相關(guān)題目作為今天的作業(yè)，明天課上繼續(xù)交流.

一點(diǎn)感悟

阿基米德曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“給我一個(gè)支點(diǎn)，我就能撬起地球. ”學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，這個(gè)“支點(diǎn)”由誰(shuí)給呢？當(dāng)然是教師. 教師是課堂教學(xué)的組織者、指導(dǎo)者與參與者，更是學(xué)生課堂活動(dòng)的策劃者與學(xué)生思維的引領(lǐng)者. 平時(shí)我們經(jīng)常埋怨學(xué)生，這道題做了很多次還是不會(huì)做. 是學(xué)生真的不會(huì)做，還是教師根本沒(méi)有教會(huì)他？這個(gè)問(wèn)題值得深思. 利用整體思想解題一直是學(xué)生的弱點(diǎn)，遇到復(fù)雜的問(wèn)題，他們往往感到茫然. 筆者認(rèn)為，造成這種現(xiàn)象的原因是教師沒(méi)有在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)加以引導(dǎo)與啟發(fā). 教師教給學(xué)生的知識(shí)往往是零散的，沒(méi)有整體性，因而導(dǎo)致學(xué)生思考問(wèn)題過(guò)于片面，只見(jiàn)樹木，不見(jiàn)森林，真可謂“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”. 要徹底改變這種現(xiàn)象，教師應(yīng)在教學(xué)中不斷滲透整體思維，幫助學(xué)生搭建知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維框架，如引進(jìn)思維導(dǎo)圖，教師可以課堂上提出一個(gè)中心問(wèn)題，讓學(xué)生全方位地整體思考，相互補(bǔ)充，就像本節(jié)課，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，吸引每個(gè)學(xué)生參與到課堂活動(dòng)中來(lái)，而且隨著問(wèn)題的解決，學(xué)生的整體意識(shí)被激發(fā)，思維能力也有了很大的提高.

參考文獻(xiàn)：

[1]吳海寧. 體悟數(shù)學(xué)：讓數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的種子在課堂中萌發(fā)——以“6.1線段、射線、直線”一課為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2019（02）.

[2]張新志，周春霞. “合一”何須“分二”——例談數(shù)學(xué)解題中的“整體”策略[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2019（01）.