李冬芳 徐國(guó)明

【摘要】橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其是“圖形與幾何”概念的教學(xué)，往往從生活世界引向數(shù)學(xué)世界，比較重視幾何直觀，忽視縱向數(shù)學(xué)化。其實(shí)，雖然小學(xué)階段學(xué)生形象思維占主導(dǎo)，實(shí)際上學(xué)生知識(shí)的掌握卻是在橫向數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)中逐步向縱向數(shù)學(xué)化展開。因此，我們需要反思幾何抽象在“圖形與幾何”學(xué)習(xí)中的地位，小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)是否需要縱向數(shù)學(xué)化，以及需要怎樣的數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)過程。

【關(guān)鍵詞】圖形與幾何 數(shù)學(xué)教學(xué) 縱向數(shù)學(xué)化 橫向數(shù)學(xué)化

小學(xué)數(shù)學(xué)中“圖形與幾何”的內(nèi)容屬于經(jīng)驗(yàn)幾何的范疇，基本上是一些直觀感性的內(nèi)容，加之小學(xué)生的思維特點(diǎn)是形象思維占主導(dǎo)，學(xué)生在理解抽象的幾何概念時(shí)，受心理因素的影響，容易遇到辨認(rèn)困難、缺乏空間想象力等一系列學(xué)習(xí)障礙。此時(shí)，設(shè)計(jì)合理的生活情境，給學(xué)生提供具體形象的學(xué)習(xí)材料，從生活引入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是行之有效的教學(xué)方法。然而，我們知道，幾何是指基于空間和圖形這種存在而抽象出概念（如點(diǎn)、線、面、體），得到概念之間的關(guān)系（如兩點(diǎn)確定一條直線），建立基于概念的命題（如等邊三角形的各個(gè)角都是60°）?！皥D形與幾何”領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)概念在現(xiàn)實(shí)生活中并不存在，作為用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)揭示圖形與幾何本質(zhì)屬性的思維形式，概念的學(xué)習(xí)相對(duì)比較抽象，因而縱向數(shù)學(xué)化是非常重要的。

一、問題發(fā)現(xiàn)，“圖形與幾何”教學(xué)一定要從生活原型出發(fā)嗎

橫向數(shù)學(xué)化是“把生活世界引向符號(hào)世界”，縱向數(shù)學(xué)化是“在符號(hào)世界里，符號(hào)的生成、重塑和被使用”。小學(xué)數(shù)學(xué)中的“圖形與幾何”領(lǐng)域是一些直觀感性的內(nèi)容，小學(xué)“圖形與幾何”教學(xué)一定要從生活原型出發(fā)嗎？奧地利數(shù)學(xué)家和心理學(xué)家恩斯特·馬赫指出：人們的空間感覺系統(tǒng)與歐氏空間是不同的。幾何空間在一切地方和在一切方向都是同一性質(zhì)的，是無(wú)邊界的、無(wú)限的。視覺空間是有邊界的和有限的，而且它的廣延在不同方向是不同的，“天穹頂”就是一個(gè)極好的例子。這就說明，“圖形與幾何”教學(xué)中概念的學(xué)習(xí)不能僅僅停留在感官的基礎(chǔ)上，縱向數(shù)學(xué)化是深入學(xué)習(xí)必不可少的一種學(xué)習(xí)方式。

例如，蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“三角形的高”的兩次對(duì)比教學(xué)：第一次，采用生活中的人字梁導(dǎo)入，讓學(xué)生測(cè)量人字梁中的幾條垂直線段，再通過人字梁的高度是上面頂點(diǎn)到它對(duì)邊的距離，類比抽象出三角形高的內(nèi)涵，揭示數(shù)學(xué)概念：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂直線段是三角形的高，然后讓學(xué)生練習(xí)（圖1），整個(gè)新授過程用了20分鐘。雖然從生活原型出發(fā)的教學(xué)符合小學(xué)生的思維特征，卻會(huì)因?yàn)檫^分依賴于生活直觀，而受生活經(jīng)驗(yàn)中高自上而下非本質(zhì)屬性影響，在練習(xí)中不少學(xué)生出現(xiàn)從頂點(diǎn)自上而下畫出一條線段的高的錯(cuò)誤。第二次教學(xué)，教師先讓學(xué)生找出三角形的一組頂點(diǎn)和對(duì)應(yīng)邊，學(xué)生基于上學(xué)期“垂直與相交”單元所學(xué)知識(shí)，嘗試“作點(diǎn)到直線的距離”，在此基礎(chǔ)上直接推衍出概念：這個(gè)頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂直線段就是該三角形的高。只用了10分鐘左右，學(xué)生自己探索出畫法，完成了練習(xí)。對(duì)比發(fā)現(xiàn)：縱向數(shù)學(xué)化的教學(xué)效率和學(xué)習(xí)效果明顯優(yōu)于橫向數(shù)學(xué)化。兩次教學(xué)的數(shù)據(jù)對(duì)比見下表。

從兩次教學(xué)的數(shù)據(jù)對(duì)比可以看出常規(guī)練習(xí)的結(jié)果差別不大，變式練習(xí)差異明顯。我們知道四年級(jí)學(xué)生的思維已經(jīng)具有一定的抽象水平，并且在上學(xué)期“垂直與相交”單元學(xué)習(xí)了點(diǎn)到已知直線的距離，學(xué)生以此為上位概念。新舊知識(shí)鏈接貫通的縱向數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)，更容易讓學(xué)生排除非本質(zhì)因素的影響，關(guān)注數(shù)學(xué)本身，直擊概念本質(zhì)。

由此，筆者認(rèn)為在“幾何與圖形”的教學(xué)中，過多依賴于生活直觀，注重橫向數(shù)學(xué)化，對(duì)縱向數(shù)學(xué)化重視程度不夠，甚至對(duì)縱向數(shù)學(xué)化下意識(shí)地回避，其直接后果就是學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容缺乏深刻理解，無(wú)法建構(gòu)起整體的聯(lián)系，浪費(fèi)了大量的寶貴教學(xué)時(shí)間。事實(shí)上，課程改革理念重視在具體的感性材料里提取數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征，形成理性認(rèn)識(shí)。這并不代表忽略縱向數(shù)學(xué)化，從發(fā)展思維的角度看，縱向數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和思維發(fā)展有著重要的價(jià)值。

二、理性思考，“圖形與幾何”教學(xué)中縱向數(shù)學(xué)化的時(shí)機(jī)

幾何概念是抽象的，學(xué)生幾何思維水平是由直觀向抽象發(fā)展的。荷蘭范·希爾夫婦針對(duì)平面圖形的認(rèn)識(shí)提出如下的幾何思維水平：水平1為直觀化；水平2為描述/分析；水平3為抽象/關(guān)聯(lián)；水平4為演繹/形式化推理；水平5為嚴(yán)密/元數(shù)學(xué)。中小學(xué)階段對(duì)于幾何圖形的學(xué)習(xí)，顯然主要是上面的第一、二水平，而第三、四水平呢，應(yīng)該是高中，甚至大學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)達(dá)到的?？梢钥闯?，學(xué)生思維水平是一個(gè)從直觀化水平不斷地提高到描述、分析、抽象和演繹等復(fù)雜水平，不斷進(jìn)步的過程，從直觀辨認(rèn)到探索特征是符合兒童認(rèn)知規(guī)律的。什么情況下可以進(jìn)行縱向數(shù)學(xué)化呢？弗賴登塔爾指出：“數(shù)學(xué)教育本身是個(gè)過程，不僅是傳授知識(shí)，更要在過程中讓學(xué)生親身實(shí)踐而抓住其發(fā)展規(guī)律，學(xué)會(huì)抽象化、形式化的方法?！睂W(xué)習(xí)都是有階段性的，在某一階段，學(xué)生經(jīng)過學(xué)習(xí)會(huì)經(jīng)歷一些過程，同時(shí)得到一些結(jié)論，這樣的結(jié)論在更高階段的學(xué)習(xí)中又作為繼續(xù)學(xué)習(xí)的常識(shí)和基礎(chǔ)。因此，概念的形成不可能只停留在直觀感知的水平上，隨著學(xué)生學(xué)力的增長(zhǎng)，數(shù)學(xué)化是可以從橫向進(jìn)一步往縱向深入的。我們認(rèn)為：當(dāng)學(xué)生頭腦中已經(jīng)具備順應(yīng)新知的上位概念時(shí)，必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象思維，進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)。

例如：蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)《軸對(duì)稱圖形》一課，“對(duì)稱軸”概念是新知，對(duì)于教材中的問題：“你能從幾何圖形中找出軸對(duì)稱圖形，并指出對(duì)稱軸的位置嗎？”教學(xué)中，教師雖然要求學(xué)生用提供的圖形動(dòng)手折一折、找一找，但實(shí)際學(xué)生卻極少主動(dòng)通過動(dòng)手去折的方法找到圖形的所有對(duì)稱軸的。他們看著圖形想了一下就找到了，只是在直觀想象有困難、有疑惑時(shí)，他們才考慮操作。如在判斷平行四邊形是否是軸對(duì)稱圖形時(shí)，動(dòng)手操作驗(yàn)證自己的想象對(duì)不對(duì)。這是因?yàn)閷W(xué)生在三年級(jí)時(shí)，知識(shí)體系中就具備了一個(gè)圖形只要“對(duì)折后兩邊能完全重合”就是軸對(duì)稱圖形的概念。在三年級(jí)學(xué)習(xí)時(shí)通過折疊來(lái)判斷一個(gè)圖形是不是軸對(duì)稱圖形，到了四年級(jí)，他們已經(jīng)不需要折疊操作了，完全可以在頭腦中想象完成操作。此時(shí)，學(xué)生的思維已經(jīng)具備了“為直觀化”水平。說明學(xué)生的幾何思維水平跳一跳，完全可以達(dá)到“水平2”；學(xué)生不需要實(shí)際動(dòng)手去折，他們通過頭腦想象出折疊的樣子，就能找到對(duì)稱軸，并畫下來(lái)。學(xué)生的感受依然很深刻，思維卻更趨向理性。可見，現(xiàn)實(shí)背景和實(shí)踐操作能為學(xué)生理解概念提供有效的感知基礎(chǔ)，但不是唯一的途徑。雖然分析、抽象對(duì)于小學(xué)生來(lái)說有難度，但也正是這種難度讓學(xué)生的思維深度發(fā)展，學(xué)習(xí)變得更有價(jià)值。

三、實(shí)踐建構(gòu)：探尋縱向數(shù)學(xué)化的可行之策

1.變“孤立學(xué)習(xí)”為“比較中學(xué)習(xí)”

學(xué)生的知識(shí)掌握是螺旋上升的，在某一階段，學(xué)生習(xí)得的一些知識(shí)經(jīng)驗(yàn)又作為后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，先前習(xí)得的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)會(huì)“再一次被提煉、組織，而凝聚成新的法則，新的法則又成為新的常識(shí)，如此不斷地螺旋上升，以至于無(wú)窮”。數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)不能孤立?？v向數(shù)學(xué)化注重知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，可在有限的時(shí)間內(nèi)把新知與舊知、顯性與隱性的知識(shí)點(diǎn)勾連起來(lái)，螺旋上升，在聯(lián)系中比較，以“動(dòng)一發(fā)牽全身”的基本思想來(lái)組織教學(xué)，以達(dá)到最佳的學(xué)習(xí)效果。

例如：教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“直線、射線和角”一課時(shí)，教師首先復(fù)習(xí)線段的特點(diǎn)，出示歐幾里得“公設(shè)2”：一條線段可以繼續(xù)延長(zhǎng)。讓學(xué)生將線段有限延長(zhǎng)，得出還是線段，仍然有兩個(gè)端點(diǎn)，有限長(zhǎng)。接著讓學(xué)生將線段的一端“無(wú)限延長(zhǎng)”，嘗試畫出圖形，得出描述性定義：這樣的圖形就是射線。那射線為什么是直的，怎樣表示無(wú)限延長(zhǎng)？因?yàn)榫€段是直的，射線是線段無(wú)限延長(zhǎng)得到的，所以射線也是直的，線段的一端無(wú)限延長(zhǎng)是射線，射線只有一個(gè)端點(diǎn)。這時(shí)，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)把線段的兩個(gè)端點(diǎn)去掉，兩端無(wú)限延長(zhǎng)，得到的圖形是直線。師生共同畫出直線，揭示概念。最后通過填寫表格（如下表），比較異同，呈現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系，完善認(rèn)知。

這樣教學(xué)從已經(jīng)學(xué)過的線段出發(fā)，有限延長(zhǎng)，無(wú)限延長(zhǎng)，在對(duì)比中打通了三種線之間的關(guān)系，揭示了三種線的概念與特征。橫向數(shù)學(xué)化使學(xué)生掌握的知識(shí)逐步完整，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)逐步達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的境界。

2.變“碎片式學(xué)習(xí)”為“結(jié)構(gòu)式學(xué)習(xí)”

數(shù)學(xué)知識(shí)之間具有很強(qiáng)的邏輯聯(lián)系，但教材往往以分散式的點(diǎn)狀在各學(xué)段安排知識(shí)點(diǎn)，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，降低了教學(xué)效率。幾何概念本來(lái)就是相互關(guān)聯(lián)的，對(duì)于圖形的認(rèn)識(shí)，不僅包含對(duì)圖形自身特征的認(rèn)識(shí)，還包括對(duì)圖形與圖形之間的關(guān)系、圖形各元素之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)。各類圖形與幾何知識(shí)在教材中的編排又是分散學(xué)習(xí)的，教學(xué)中教師應(yīng)重視在圖形及其性質(zhì)之間建立聯(lián)系，以適當(dāng)?shù)男问桨逊稚⒌膬?nèi)容串起來(lái)，變“碎片式學(xué)習(xí)”為“結(jié)構(gòu)式學(xué)習(xí)”，有助于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例如：教學(xué)“梯形的面積”時(shí)，可讓學(xué)生回憶以前學(xué)過的求圖形面積的方法。尤其是三角形的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)方法，共同理出一條研究的路線轉(zhuǎn)化成學(xué)過的求圖形面積的方法——面積與底和高相關(guān)，使學(xué)生從整體上初步感知這些知識(shí)，為后續(xù)發(fā)現(xiàn)問題、研究問題提供“腳手架式”的結(jié)構(gòu)支撐；接著通過類比遷移、實(shí)踐操作逐步展開探究：梯形可以轉(zhuǎn)化成平行四邊形，在轉(zhuǎn)化中學(xué)會(huì)梯形的面積計(jì)算公式。然后對(duì)單元知識(shí)進(jìn)行整理（見圖2），即實(shí)現(xiàn)第二個(gè)整體，同中比異，異中求同，縱橫溝通，形成知識(shí)體系。這樣，學(xué)生對(duì)每個(gè)圖形的面積都有了更為深刻的認(rèn)識(shí)。

3.變“單一教學(xué)”為“縱橫交錯(cuò)學(xué)習(xí)”

任何知識(shí)的學(xué)習(xí)都不是孤立的，在學(xué)習(xí)中教師要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化，建立起學(xué)科的知識(shí)體系和框架。同時(shí)，任何學(xué)習(xí)方法也不是單一的，縱向數(shù)學(xué)化和橫向數(shù)學(xué)化的使用也不是互不相容的，合理選擇運(yùn)用，二者互相補(bǔ)充，可以取得事半功倍之效。

例如：蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)面積”一課的教學(xué)，教材上的安排是從生活出發(fā)的橫向數(shù)學(xué)化，按照“物體上有面—面有大小—面積”，一步一步環(huán)環(huán)相扣，幾乎花去一大半的教學(xué)時(shí)間才揭示面積的概念：“物體面的大小是物體的面積?！逼鋵?shí)，面積的概念是在學(xué)習(xí)周長(zhǎng)之后學(xué)習(xí)的，生活中也很常見，如大家常說家里的住房面積，田地的面積，學(xué)校的占地面積。我們不妨先采用縱向數(shù)學(xué)化的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師出示紅黃兩根同樣長(zhǎng)的長(zhǎng)繩，設(shè)計(jì)三次比賽活動(dòng)。第一次，比線的長(zhǎng)短。第二次，圍成兩個(gè)圖形（見圖3），比較周長(zhǎng)。第三次，跟第二次圍的圖形相同，比較圍成的圖形大小。比較圍成的圖形大小時(shí)，提出問題：

圖形大小還是指邊線的長(zhǎng)短嗎？讓學(xué)生指出圖形大小指的是什么，并用彩筆涂色表示圍成的圖形大小，得出圍成的圖形的大小就是圖形的面積。然后，回歸到生活中，進(jìn)行橫向數(shù)學(xué)化學(xué)習(xí)，摸一摸、找一找生活中常見物體的面積，比較面積大小。再提供學(xué)具操作，學(xué)習(xí)比較平面圖形的面積大小。面積與周長(zhǎng)的概念唇齒相依，將面積概念建立在與周長(zhǎng)的聯(lián)系與區(qū)別中進(jìn)行認(rèn)識(shí)，由周長(zhǎng)入手，從對(duì)比中引入面積，學(xué)生在建構(gòu)面積時(shí)眼中也有周長(zhǎng)，周長(zhǎng)和面積的區(qū)別也不言而喻。這樣設(shè)計(jì)將縱向數(shù)學(xué)化和橫向數(shù)學(xué)化交錯(cuò)使用，體驗(yàn)更有針對(duì)性，學(xué)生的思維由此打通，“破繭飛翔”。

小學(xué)階段“圖形與幾何”屬于直觀幾何，教學(xué)中需要“橫向數(shù)學(xué)化”通過直覺觀察、操作感知來(lái)學(xué)習(xí)，也需要“縱向數(shù)學(xué)化”的“系統(tǒng)性”，為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打開了一扇理性精神之門。

【參考文獻(xiàn)】

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