樂(lè)明勝

摘 要：轉(zhuǎn)化思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)階段。數(shù)學(xué)的教學(xué)不能簡(jiǎn)單地教授數(shù)學(xué)知識(shí)，而應(yīng)該滲透數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也不能簡(jiǎn)單堆砌、累積數(shù)學(xué)知識(shí)，而是要將所學(xué)的知識(shí)內(nèi)化，要能夠靈活應(yīng)用知識(shí)。在小學(xué)數(shù)學(xué)課本中，編排教材時(shí)都根據(jù)學(xué)生的理解水平滲透了這種思想。通過(guò)對(duì)一些舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化能得到新知識(shí)，通過(guò)對(duì)一些復(fù)雜問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能夠使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單且易于解決。本文就對(duì)小學(xué)課本中存在的一些轉(zhuǎn)化思想作了系統(tǒng)的研究和歸納。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化思想 等價(jià)轉(zhuǎn)化 構(gòu)造轉(zhuǎn)化

一、轉(zhuǎn)化思想的定義及分類

什么是轉(zhuǎn)化思想呢？要搞清這個(gè)問(wèn)題，首先我們就得弄清什么是轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化又稱為化歸，它是指將未知的、陌生的、復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)演繹歸納為已知的、熟悉的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題，從而使問(wèn)題得以順利地解決。而轉(zhuǎn)化思想就是應(yīng)用轉(zhuǎn)化的一種思維方法。當(dāng)然，轉(zhuǎn)化思想的核心是要將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題。這種思維方法始終貫穿在數(shù)學(xué)中，理解了這些轉(zhuǎn)化思想就可以起到事半功倍的效果。我們經(jīng)常用到的轉(zhuǎn)化思想有：復(fù)雜簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化、模型轉(zhuǎn)化、一般特殊轉(zhuǎn)化、等價(jià)轉(zhuǎn)化、聯(lián)想轉(zhuǎn)化、類比轉(zhuǎn)化、構(gòu)造轉(zhuǎn)化等。

二、有關(guān)轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用及實(shí)例

轉(zhuǎn)化思想作為一種最普遍的數(shù)學(xué)思想，在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是非常廣泛的，下面我們就來(lái)看一看一些具體的應(yīng)用及實(shí)例。

（一）復(fù)雜簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化

復(fù)雜簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化是指將一些復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系。這種轉(zhuǎn)化思想通常體現(xiàn)在簡(jiǎn)便計(jì)算上。如計(jì)算9999+999+99+9，如果直接計(jì)算則比較難算，可以將9999轉(zhuǎn)化為10000-1，999轉(zhuǎn)化為1000-1，99轉(zhuǎn)化為100-1，9轉(zhuǎn)化為10-1，整個(gè)算式可轉(zhuǎn)化為10000+1000+100+10-4，這樣就能使計(jì)算簡(jiǎn)便。

（二）模型轉(zhuǎn)化

所謂模型轉(zhuǎn)化是指將某一類數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化為某一具體的數(shù)學(xué)模型，借助這一個(gè)模型使得這一類問(wèn)題能夠被更好地解決。一個(gè)正確的數(shù)學(xué)模型在形式上應(yīng)當(dāng)是簡(jiǎn)單的。[1]從這個(gè)角度看，當(dāng)把一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象成一個(gè)數(shù)學(xué)模型后，利用這個(gè)數(shù)學(xué)模型便可以讓我們方便地解決這類問(wèn)題。雞兔同籠問(wèn)題原是討論一個(gè)籠子里有雞和兔，已知有多少個(gè)頭，多少個(gè)腳，問(wèn)雞和兔各有多少只？當(dāng)數(shù)值較小時(shí)可以用列表法，然后從表中觀察雞、兔腳只數(shù)的變化，得到了在頭數(shù)不變的前提下，每增加一只兔就會(huì)多兩只腳，每增加一只雞就會(huì)少兩只腳。如果假設(shè)全是雞，那么籠子里就會(huì)多了腳，因?yàn)橐恢煌米颖纫恢浑u多兩只腳，正因?yàn)榛\子里還有兔子所以都會(huì)多出腳來(lái)，用多出的腳數(shù)除以2就得到了兔子的只數(shù)，再用頭數(shù)減去兔子的只數(shù)就得到了雞的只數(shù)。這是一個(gè)典型的解法，那么對(duì)這樣一類的問(wèn)題就可以抽象為這個(gè)模型，利用假設(shè)法加以解決。同樣，植樹(shù)問(wèn)題及鴿巢原理亦是如此。

（三）一般特殊轉(zhuǎn)化

一般特殊轉(zhuǎn)化包含了兩個(gè)方面：一方面是將要求解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊形式來(lái)解決；另一方面是通過(guò)解決一般性問(wèn)題而使得特殊問(wèn)題得以解決。學(xué)習(xí)有關(guān)數(shù)的性質(zhì)、簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)是通過(guò)將一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊的、個(gè)別的應(yīng)用題或圖形，通過(guò)觀察、計(jì)算、分析、比較后歸納出具有一般性的結(jié)論。而對(duì)于圖形的認(rèn)識(shí)，則是對(duì)具體的個(gè)別圖形進(jìn)行分析和研究，歸納出圖形的共同屬性。如三角形的認(rèn)識(shí)，通過(guò)觀察一個(gè)三角形得出：任何一個(gè)三角形都有三個(gè)角、三條邊、三個(gè)頂點(diǎn)。

（四）等價(jià)轉(zhuǎn)化

等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解決的問(wèn)題的一種思維方法。等價(jià)轉(zhuǎn)化主要體現(xiàn)在“等價(jià)”二字上，任何轉(zhuǎn)化擺脫了“等價(jià)”，一切都是徒勞。這種轉(zhuǎn)化主要有三種形式：數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化、形與形的轉(zhuǎn)化。

1.數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

數(shù)與形的轉(zhuǎn)化是指應(yīng)用數(shù)與形的關(guān)系將兩者進(jìn)行結(jié)合，以便更直觀的了解數(shù)或形的變化情況及特征。通常它包括了兩個(gè)方面：一方面是利用數(shù)來(lái)精確地闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；另一方面是借助于形來(lái)直觀描述數(shù)量之間的關(guān)系，即“以形助數(shù)”。在學(xué)習(xí)正比例關(guān)系和反比例關(guān)系時(shí)就可用數(shù)與形結(jié)合來(lái)闡明兩種量的變化關(guān)系。如正比例關(guān)系中，兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化另一種量也隨著變化，這兩種量所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定。將其轉(zhuǎn)化為圖形能更直觀地了解數(shù)量間的變化情況。

2.數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化

數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化是指在將一個(gè)數(shù)等價(jià)的轉(zhuǎn)化成另一種數(shù)或一個(gè)式子。在計(jì)算99×87時(shí)可將99轉(zhuǎn)化成100-1，然后再用乘法分配律進(jìn)行求解較為方便，這就是數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化。另外，小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)之間的轉(zhuǎn)化也屬于數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化。

3.形與形的轉(zhuǎn)化

形與形的轉(zhuǎn)化指的是在不改變我們所要求的形的某種屬性（如周長(zhǎng)、面積等）的情況下將這個(gè)圖形等價(jià)轉(zhuǎn)化成另外一種我們所熟知的圖形，以便于求它的某些屬性。形與形的轉(zhuǎn)化多體現(xiàn)在多邊形的周長(zhǎng)和面積的推導(dǎo)與計(jì)算中。小學(xué)階段學(xué)習(xí)四邊形的面積是從長(zhǎng)方形開(kāi)始的，在學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形面積后依次涉及平行四邊形、梯形、三角形、圓等平面圖形的面積。推導(dǎo)平行四邊形面積時(shí)是將平行四邊形沿高切開(kāi)再拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別與平行四邊形的底和高相等，由于面積不變，所以這個(gè)長(zhǎng)方形的面積就是的平行四邊形面積，故平行四邊形面積是底乘高。梯形則是將兩個(gè)同樣的梯形拼接成一個(gè)平行四邊形，這個(gè)平行四邊形的高與梯形的高相等，底是梯形的上底與下底的和，故這個(gè)平行四邊形的面積是上底與下底的和再乘高，而梯形面積是平行四邊形面積的一半，所以再用這個(gè)平行四邊形面積除以2。三角形的面積推導(dǎo)類似于梯形面積的推導(dǎo)，先將兩個(gè)同樣的三角形拼成一個(gè)平行四邊形，這個(gè)平行四邊形的底和高分別與三角形的底和高相等，一個(gè)三角形的面積就是這個(gè)平行四邊形面積的一半，所以三角形的面積是底×高÷2。圓面積的推導(dǎo)則是將圓等價(jià)轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形（當(dāng)切割的小扇形份數(shù)越多，則拼成的圖就越接近長(zhǎng)方形，當(dāng)切割的份數(shù)無(wú)限多時(shí)，拼成的圖就是一個(gè)長(zhǎng)方形，這是極限的思想），長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別等于圓周長(zhǎng)的一半πr和圓的半徑r。由于長(zhǎng)方形的面積與圓的面積相等，所以圓的面積就是πr2。另外對(duì)于求陰影部分這樣的題型，多數(shù)情況下也是將其等價(jià)轉(zhuǎn)化成我們所熟知的圖形或易于求解的圖形進(jìn)行計(jì)算。

圓柱的側(cè)面是一個(gè)曲面，當(dāng)沿高將側(cè)面剪開(kāi)，展平后就得到了一個(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別與圓柱的底面圓的周長(zhǎng)和高相等，因此長(zhǎng)方形的面積就是圓柱的側(cè)面積。即圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長(zhǎng)乘高。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的等價(jià)轉(zhuǎn)化還體現(xiàn)在空間立體圖形上。六年級(jí)下冊(cè)教材上求一個(gè)瓶子的容積就用到了這個(gè)轉(zhuǎn)化思想。由于瓶子的上部是我們不熟悉的形狀，故可以借助已知體積的液體充滿這個(gè)不熟悉的空間。當(dāng)瓶子倒置時(shí)，剩余的空間是一個(gè)圓柱，所以將這兩部分體積相加，即可得到瓶子的容積。這個(gè)過(guò)程充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的優(yōu)越性。同理，當(dāng)要求一個(gè)不規(guī)則的石塊的體積時(shí)，可以將這個(gè)石塊的體積轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的規(guī)則的物體的體積。將石塊放入一個(gè)裝了水的長(zhǎng)方體（或圓柱體）容器中，在石塊沒(méi)入水中且水沒(méi)有溢出的情況下，前后兩次的體積差就是石塊的體積。

（五）聯(lián)想轉(zhuǎn)化

聯(lián)想轉(zhuǎn)化是指面對(duì)一個(gè)問(wèn)題要展開(kāi)積極大膽地聯(lián)想，將這些問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟知的或比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題。愛(ài)因斯坦說(shuō)：“想像力比知識(shí)更重要，知識(shí)是有限的，想像力可以囊括世界?！痹跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中我們會(huì)遇到一些陌生的問(wèn)題，恰當(dāng)運(yùn)用聯(lián)想轉(zhuǎn)化可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化。如求圓錐的體積時(shí)，可以用一個(gè)與它等底等高的圓柱進(jìn)行比較而得到解決的辦法。兩者的關(guān)系是將圓錐轉(zhuǎn)化后的圓柱的高是圓錐高的1/3，故它的體積就是與它等底等高圓柱體積的1/3。通常在進(jìn)行簡(jiǎn)算時(shí)，我們也會(huì)用到這種轉(zhuǎn)化思維。計(jì)算（76+82）×4+79×2時(shí)，因?yàn)?6+82=158正好是79的2倍，所以此式可以轉(zhuǎn)化為79×2×4+79×2，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為79×10，其解題效率可以大大提高。再如，因?yàn)椋?，，，再將它們相加后就可以將中間的項(xiàng)消去，只乘頭尾兩項(xiàng)，故易得出。像這樣的例子還有很多，這里就不一一列舉了。

（六）類比轉(zhuǎn)化

類比轉(zhuǎn)化是指根兩個(gè)或兩類對(duì)象有部分屬性相同，從其中一類對(duì)象屬性類似推理出另一類對(duì)象的屬性，從而使問(wèn)題得以解決。簡(jiǎn)而言之就是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去“分析比較，舉一反三”。例如：要推導(dǎo)圓柱的體積可以類比圓的面積的推導(dǎo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。圓面積的推導(dǎo)過(guò)程是將圓平均分割成偶數(shù)份小扇形，拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，那么圓柱在某個(gè)角度可以理解為帶有厚度的圓片。則圓柱也可以沿其高切成底面是扇形的幾何體，最終拼合成一個(gè)長(zhǎng)方體。類比圓的面積推導(dǎo)，長(zhǎng)方體底面長(zhǎng)為圓周長(zhǎng)的一半，寬為圓的半徑，高與圓柱高相等，因此可以得到長(zhǎng)方體的體積為πr2h，而長(zhǎng)方體體積與圓柱體體積相等，再者πr2又是圓柱的底面積，故圓柱的體積就是圓柱的底面積乘高。在《數(shù)法題解》中出現(xiàn)了這樣的題：求下面這個(gè)立體圖形的體積（單位：厘米）[2]解題的轉(zhuǎn)化過(guò)程如圖1所示

此類題型可以與梯形的面積的推導(dǎo)產(chǎn)生聯(lián)系，用類比轉(zhuǎn)化的方法這個(gè)物體的體積就能求出了。將兩個(gè)相同的這樣的幾何體組成一個(gè)圓柱體，這個(gè)圓柱的高是15+20=35（厘米）。求出這個(gè)圓柱的體積再除以2就可以得到這個(gè)幾何體的體積了。即3.14×（4÷2）2×35÷2=219.8（立方厘米）。

（七）構(gòu)造轉(zhuǎn)化

表面看似無(wú)關(guān)的兩類問(wèn)題，通過(guò)分析比較可以將一類問(wèn)題構(gòu)造成另一類我們所熟悉的問(wèn)題加以解決，這種方法就是構(gòu)造轉(zhuǎn)化。例如：一次籃球比賽我們班全場(chǎng)得了42分，下半場(chǎng)得分只有上半場(chǎng)得分的一半，求上半場(chǎng)和下半場(chǎng)各得多少分？[3]這類題用方程解雖然很方便，但是對(duì)于很多小學(xué)生來(lái)說(shuō)一涉及到方程就頭疼，通過(guò)分析比較我們可以將其構(gòu)造轉(zhuǎn)化成另一類更簡(jiǎn)單的問(wèn)題，即按比例分配的問(wèn)題。全場(chǎng)得分42分，下半場(chǎng)得分是上半場(chǎng)得分的一半，說(shuō)明上半場(chǎng)得分：下半場(chǎng)得分=2：1，知道兩個(gè)量的和及兩個(gè)量的比就可以用按比例分配解，可得上半場(chǎng)得分為42×=28（分），下半場(chǎng)得分：42×=14（分）。尤其是對(duì)一些復(fù)雜的問(wèn)題，有時(shí)用方程解雖然方便但是對(duì)很多小學(xué)生而言列方程不易解方程更難，故對(duì)一些特殊的題型可以采用這種構(gòu)造轉(zhuǎn)化的方法加以解決。例如：光明小學(xué)五年級(jí)原來(lái)的男生人數(shù)是女生人數(shù)的4/5，后來(lái)又轉(zhuǎn)來(lái)3名男生，現(xiàn)在男生人數(shù)是女生人數(shù)的5/6。現(xiàn)在有男生多少名？[4]用方程和構(gòu)造轉(zhuǎn)化兩種方法解題如下：

通過(guò)比較兩種解法，顯然構(gòu)造轉(zhuǎn)化的解法簡(jiǎn)單，其計(jì)算量及計(jì)算難度也更小。

三、小結(jié)：

轉(zhuǎn)化思想是多種多樣的，而且各種轉(zhuǎn)化思想間也存在一定的聯(lián)系，甚至是包含關(guān)系。這種思想以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體廣泛存在于小學(xué)數(shù)學(xué)中，雖然在解決問(wèn)題時(shí)沒(méi)有一個(gè)固定的模式，但我們要善于發(fā)現(xiàn)各種數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系，靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，使我們的思維更開(kāi)闊，解題更高效。

參考文獻(xiàn)：

[1] 吳軍，2012年6月，《數(shù)學(xué)之美》，175頁(yè)，人民郵電出版社；

[2] 《數(shù)法題解與達(dá)標(biāo)訓(xùn)練》編寫組，2017年1月，《數(shù)法題解與達(dá)標(biāo)訓(xùn)練 人教版六年級(jí)下冊(cè)》，47頁(yè)，湖南少年兒童出版社；

[3] 湖南省教育科學(xué)研究院，2015年7月，《同步實(shí)踐評(píng)價(jià)——課程基礎(chǔ)訓(xùn)練數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)》，34頁(yè)，湖南少年兒童出版社出版。