王冬晴　張榮延

摘 要：新一輪的高中數(shù)學課程標準修訂中，數(shù)學核心素養(yǎng)占據(jù)了重要地位，因此數(shù)學核心素養(yǎng)應(yīng)貫穿于教學中的各個環(huán)節(jié).文章在“方程的根與函數(shù)的零點”的教學設(shè)計中，以方程思想與函數(shù)思想相互轉(zhuǎn)化為指導，將數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)滲透到課堂教學中.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；方程的根；零點存在性定理；教學設(shè)計

《普通高中數(shù)學課程標準》中指出數(shù)學核心素養(yǎng)分為六個方面：數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學推理、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)處理、空間想象.在數(shù)學課堂教學中，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)需要教師精心設(shè)計每個教學環(huán)節(jié)，筆者以“方程的根與函數(shù)的零點”為例，淺析核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學教學設(shè)計方法.

一、教學設(shè)計思路

本節(jié)課選自普通高中課程標準實驗教科書人教版必修一第三章第一節(jié)——第一課時方程的根與函數(shù)的零點，主要內(nèi)容是函數(shù)零點的概念、函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系、零點存在性定理.函數(shù)與其他知識具有廣泛的聯(lián)系，而函數(shù)的零點就是其中的一個鏈接點，它從不同的角度，將數(shù)與形，函數(shù)與方程聯(lián)系在一起，本節(jié)課教學重點為零點的概念，體會函數(shù)零點與方程的根之間的聯(lián)系；教學難點為對零點存在性定理的理解與應(yīng)用.學習本節(jié)課為下節(jié)“用二分法求方程的近似解”和后續(xù)的學習奠定基礎(chǔ).

本節(jié)課的設(shè)計思路是：1）從HPM的視角引入新課，引導學生在函數(shù)與方程之間建立聯(lián)系.在這一過程中，可以培養(yǎng)學生數(shù)學邏輯推理能力.2）從特殊到一般，引導學生自己得出函數(shù)零點概念、方程的根和函數(shù)圖象與x軸交點橫坐標之間的關(guān)系，在該環(huán)節(jié)中，可以培養(yǎng)學生數(shù)學抽象能力和直觀想象能力.3）根據(jù)函數(shù)圖象探究滿足什么條件，函數(shù)存在零點.此處應(yīng)培養(yǎng)學生形成數(shù)學抽象素養(yǎng).4）學生歸納出零點存在性定理后，教師引領(lǐng)學生實際操練，應(yīng)用零點存在性定理解決問題，使學生學以致用、鞏固新知，同時為下節(jié)“二分法”這一數(shù)學運算奠定基礎(chǔ).

二、教學過程設(shè)計

教學基本流程：問題導入 建構(gòu)零點概念 探究零點存在性定理 應(yīng)用零點存在性定理 課后作業(yè).

1.問題導入

問題1 求下列方程的根

1）

2）

3）

第1）小題 ，后面兩個小題不會.此時，老師引導學生，引用1824年挪威天才數(shù)學家阿貝爾成功的證明了五次及以上的方程沒有根式解這一數(shù)學史，將此過程巧妙過渡到本節(jié)課課題.接下來闡述現(xiàn)如今，高次方程求解方法有很多，今天我們探討其中的一個方法，從函數(shù)圖象角度來研究方程的根.

設(shè)計意圖 從HPM的視角來設(shè)計教學，激發(fā)學生的學習興趣，同時，在教學過程中潛移默化的豐富學生數(shù)學文化知識，同時引出本節(jié)課的研究內(nèi)容，在方程無法求解的情形下，如何判斷根的情況.

2.建構(gòu)零點概念

問題2 寫出函數(shù) 的圖象與x軸交點的坐標.

設(shè)計意圖 通過數(shù)形結(jié)合引導學生主動探究方程的根與函數(shù)圖象間的關(guān)系從數(shù)與形的角度方程的根在對應(yīng)的函數(shù)中所具有的多重意義.在這一環(huán)節(jié)中，該函數(shù)圖象不要求學生畫出，應(yīng)用學生已有的知識結(jié)構(gòu)想象出函數(shù)圖象的具體形式，以培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng).

零點概念：對于函數(shù) ，我們把使 的實數(shù)x叫做函數(shù) 的零點.

練習1 判斷下列函數(shù)是否存在零點？

1）

2）

3）

問題3一般方程的根和其對應(yīng)的函數(shù)零點之間有怎樣的關(guān)系？

方程的根與函數(shù)零點的等價關(guān)系 方程有實數(shù)根等價于函數(shù) 有零點，等價于函數(shù) 的圖象與x軸有交點.

設(shè)計意圖 由于函數(shù)的零點是新概念，所以為了避免學生與方程的根以及幾何概念中的點混淆，明晰三者之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系.雖然它們有各自不同的特性，但反映的卻是共同的本質(zhì).在這一環(huán)節(jié)中培養(yǎng)學生的抽象概括能力.

3.探究零點存在性定理

問題4 滿足什么條件，函數(shù)存在零點呢？

先解決這樣一個問題，已知函數(shù) 在區(qū)間[-2，1]、[2，4]內(nèi)有零點，計算 觀察乘積有什么特點.

設(shè)計意圖 在此環(huán)節(jié)中需要觀察圖象，在區(qū)間[-2，1]內(nèi)，

和 一個在x軸上方，一個在x軸下方，區(qū)間端點值異號，并且圖象連續(xù)不斷的穿過x軸，圖象就與x軸有交點，所以函數(shù)

在區(qū)間（-2，1）內(nèi)有零點.同樣的，在區(qū)間[2，4]內(nèi) 和 一個在x軸上方，一個在x軸下方，區(qū)間端點值異號，并且圖象連續(xù)不斷的穿過軸，圖象就與x軸有交點，所以函數(shù)在區(qū)間（2，4）內(nèi)有零點.在這一環(huán)節(jié)中培養(yǎng)學生數(shù)學運算能力，抽象概括地歸納出函數(shù)存在零點的條件.

零點存在性定理 如果函數(shù) 在區(qū)間 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 ，那么，函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有零點，即存在 ，使得 ，這個c就是方程

的 根.

練習2 判斷下列說法，若否定，則舉出反例.

1）如果函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù)的，那么函數(shù)

在該區(qū)間上一定有零點嗎？

2）如果函數(shù) 在區(qū)間 上滿足條件 ，

那么函數(shù) 在該區(qū)間上一定有零點嗎？

3）如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有零點，那么該函數(shù)一定滿足 的條件嗎？

設(shè)計意圖 這三個問題有助于學生理解零點存在性定理的本質(zhì)，明確定理中充分不必要的條件，有助于培養(yǎng)學生直觀想象與數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).

4.應(yīng)用零點存在性定理

例1 1）判斷方程 根的個數(shù).

2）若該方程的一個跟在 區(qū)間內(nèi)，求出正整數(shù)

設(shè)計意圖 此例題解決了問題導入中遺留的問題，這一例題的解決進一步促進學生體會函數(shù)思想與方程思想的轉(zhuǎn)化，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力，同時為下節(jié)課“二分法”做了鋪墊.

5.課后作業(yè)

練習3 判斷方程 有幾個根？每個根所在的區(qū)間 內(nèi)，求 的值.

設(shè)計意圖 本題讓學生應(yīng)用零點存在性定理解決方程根的問題，進而培養(yǎng)學生較強的邏輯推理能力.

三、教學反思

本節(jié)課的設(shè)計有三個指導思想，分別是：方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想；作為下一節(jié)課的起始課；處理好數(shù)學抽象與直觀想象的關(guān)系.正如史寧中教授所指出的“數(shù)學在本質(zhì)上研究的是抽象的東西，數(shù)學的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象”.只有抽象的東西獲得具體事例的支持，實現(xiàn)從思維的抽象發(fā)展到思維的具體，在思維中再現(xiàn)整體性和具體性，才能深入認識新概念新思想.掌握數(shù)學發(fā)展的基本規(guī)律，讓學生親身體會思維過程，必然會深刻影響其數(shù)學核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

參考文獻

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[3]章建躍.高中數(shù)學教材落實核心素養(yǎng)的幾點思考[J].課程·教材·教法，2016，36（7）：44-49.